指数与指数函数 · 专题讲义

适用于：高一同步学习 · 高考一轮复习 知识来源：人教A版必修第一册 · 第四章《指数函数与对数函数》（指数与指数函数部分） 结构：4 个知识点单元 · 8 道例题 · 9 题分层训练（基础 / 拓展 / 拔高）· 附全解析

使用说明与本专题导引

这个专题解决什么问题：指数运算与指数函数是函数板块的起点。学生常卡在四件事上——根式与分数指数幂的互化、判定一个式子到底是不是指数函数、求复合指数函数的定义域与值域、以及把增长和衰减问题翻译成指数模型。

入口：先识别式子属于哪一类：纯代数化简求值 → 进 U1；判断函数／过定点／看图象 → 进 U2；求定义域、值域、单调性、解指数不等式 → 进 U3；增长率、衰减、放射性衰变等实际背景 → 进 U4。

出口：学完本专题，你应该能独立：化简带根号、带分数指数的式子；判定并求指数型函数的图象与过定点；求复合指数函数的定义域、值域与单调区间；解指数不等式；用指数模型解决增长与衰减问题。

知识主线：根式 → 分数指数幂 → 幂的运算性质 → 指数函数概念 → 图象与性质 → 定义域、值域、单调性 → 实际应用。

最容易失分的三处：① 偶次根式的对偶规则（ 偶次取 ）；② 指数函数底数分  与  两套方向；③ 复合函数单调性记反“同增异减”。

难度分层说明

U1　指数运算与根式

【导语】 遇到根式、分数指数幂、或同底幂的乘除化简求值，就落在本单元。先把根式与分数指数幂互认，再用幂的运算性质计算。

一、方法适用条件（辨识）

看到  次根式、分数指数幂、同底幂的乘除就用本方法；若题目要求解指数不等式或方程，先把代数式算完，大小关系转 U3 处理。

二、标准步骤

第一步：把根式写成分数指数幂 （）；第二步：同底相乘除“底不变、指数相加减”，幂的乘方“底不变、指数相乘”；第三步：结果还原成最简根式或指数形式。

【易错警示】 偶次根号下被开方数要非负；对任意实数 ， 当  为偶数时等于  而不是 ，如  而非 。

例题

例 1　化简

思路：看到“共轭的带根式相加”，先尝试把  配成完全平方式 。

同理 ，且 ，可直接开平方。

原式 。

提炼： 型先试配方，把被开方式写成某两数和的平方，再开方、化简，结果常是整数或有理式。

例 2　若 ，求 。

思路：把指数  看作整体——，先求出  再取倒数。

由 ，且 ，得 。

提炼：“指数乘 2”就是“底数平方”；“负指数”就是取倒数。已知幂值反求底数的整数次幂，先用幂的性质化简。

U2　指数函数的概念与图象性质

导语

判断一个式子是不是指数函数、看懂指数函数的图象（增减、过定点、由底数决定），是这一节的核心能力。

一、方法适用条件（辨识）

看到“形如 （ 且 ）且系数为 1”的式子，先验指数函数定义；看到图象过哪个象限、过哪个定点、比较谁增长快，用本单元性质。

二、标准步骤

第一步：检验系数为 1 且底数 、；第二步：由  单调递增、 单调递减，且恒过 ；第三步：结合平移  判断定点与图象位置。

【易错警示】 指数函数要求系数恰为 1，底数不能为 1。 的图象过定点是 ，不是 。

例 3　若  是指数函数，则 （　）

思路：指数函数的系数必须为 1，同时底数  且 。

令 ，即 ，解得  或 。

 时底数为 1，不是指数函数，舍去；故 。

提炼：判指数函数只看两条——系数为 1、底数正且不为 1。

例 4　函数 （ 且 ）的图象必过定点（　）

思路：令指数部分为 0（），使  与  无关。

当  时 ，故图象恒过定点 。

提炼：形如  必过点 ；特例  必过 。

三、图象翻折与判断

由  图象做对称与翻折： 把  轴下方翻到上方； 把  轴右侧翻到左侧。

四、由底数判断图象

所有指数函数均过 ：底  时递增且底越大增长越快； 时递减且底越大衰减越慢。

U3　指数函数的定义域、值域与单调性

导语

定义域、值域、单调性是“用起来”指数函数的三把钥匙：定义域先看被开方式与换元约束，值域先换元求范围，比较大小与解不等式靠单调性。

一、求定义域

指数型函数的定义域由偶次根号被开式  与分式分母不为 0 决定；底数处出现  型结构时，用换元 。

例 5　求  的定义域。

思路：根号内 ，令  化成一元二次不等式。

提炼：底数处出现  结构时果断换元 ，解完一元二次再回代解指数不等式。

二、求值域

指数函数值域为 ；复合指数函数先换元求内层  的范围，再套外层函数，注意端点开闭。

例 6　求 （）的值域。

思路： 随  单调递增，值域由定义域端点决定。

提炼：单调函数的值域由端点决定；开区间端点取不到，故左端为开。

【易错警示】 换元求值域时， 是隐形约束不能丢；套外层函数要看底数在  还是 ，方向不同。

三、比较大小与解不等式

比较大小与解指数不等式，本质都是“利用单调性去掉底”。** 时随指数增大而增大； 时随指数增大而减小**（后者不等号要反向）。

例 7　比较 、、 的大小。

思路： 同底 ，由单调递减比较即可； 明显大于 1，作中间量。

底  递减，指数 ，故 。

提炼：比较大小三路——同底比指数、同指数比底数、借中间量 、。

U4　指数函数模型的简单应用

导语

增长率、衰减率、放射性衰变、退耕还田等实际题，本质是把自然语言翻译成  这个指数模型。

一、方法与辨识

看到“每年增长 / 减少 ”“剩留为原来的几分之几”“经过  年 /  次”→ 用 （增长取 ，衰减取 ）。

二、标准步骤

第一步：找初始量  与变化率 ；第二步：确定时间 （年数或次数）；第三步：代入  求值，或反解方程。

【易错警示】 年份要数清“经过几年”：2018 到 2025 是 7 年；衰减模型里“每次剩原来的 ”直接代  而非 。

例 8　2018 年底某地农民人均年收入 3000 元，若以每年 6% 的平均增长率增长，求 2025 年底的人均年收入。

步骤：，，时间  年。

提炼： 是跨过的年数（结束年减起始年），别把起始年也计入；增长用 。

本专题方法选择速查

配套分层练习（9 题）

建议先独立完成，再对照文末《参考答案与解析》订正；基础题限时每题 3–5 分钟，拓展题 8–10 分钟，拔高题 15 分钟。

基础 ★★

基础1　化简 （）得（　）

基础2　若  是指数函数，则 （　）

基础3　一种放射性物质每经过一年剩留质量约为原来的 ，则经过＿＿年，剩留质量变为原来的 。

拓展 ★★★

拓展1　若 ，则  等于（　）。

拓展2　若 ，则  等于（　）。

拓展3　不等式  的解集为＿＿。

拔高 ★★★★~★★★★★

拔高1　若函数  在区间  上是严格减函数，求实数  的取值范围。

拔高2　已知函数 （ 且 ），若  的定义域和值域都是 ，求  的值。

拔高3　已知  满足 ，求函数  的最大值与最小值。

参考答案与解析

基础 ★★

基础1　答案：

把系数、 的指数、 的指数分开算。

系数：。

指数： 为 ； 为 。

综上原式 。回到 U1 例 1、例 2。

基础2答案：

系数为 1：，解得  或 ；底数 ，舍 ，故 。回到 U2 例 3。

基础3 答案：（年）

经过  年后剩留 ，令 ，故 。回到 U4 例 8。

拓展 ★★★

拓展1 答案：

由 ，且 ，得 ，故 。回到 U1 例 2。

拓展2 答案：

令 ，则 。由恒等式 ，原式 。

，故原式 。回到 U1 例 2。

拓展3 答案：

统一底：。原式化为 ，底  递增，得 ，解得 。回到 U3 例 7。

拔高 ★★★★~★★★★★

拔高1 答案：

外层  关于  递减，故  在  递减 ⟺ 内层  递增。

，需  对  恒成立，最小值在  处：，故 。回到 U3 单调性。

拔高2 答案：

取  时  单调递减，最大值 ，最小值 。

令 ，得 ；令 ，得 。

检验： 在  上值域恰为 ，故 。回到 U3 例 6。

拔高3 答案：最大值 ，最小值 

由  即 ，解得 。

令 ，则 ，，对称轴  在区间内。

（此时 ）；端点  时  最大。故最大值 、最小值 。回到 U3 例 6、例 2。