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指数与指数函数
题型一：指数运算
【解题方法总结】
利用指数幂的运算性质，进行化简计算即可．
例1（多选题）下列各式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】 ， 错误； ， 正确；
， 错误； ， 正确
故选：
例2根式 的分数指数幂的形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
.
故选D.
例3（1）化简： .（结果用分数指数幂表示）
（2）化简： .（结果用分数指数幂表示）
（3）求值： .
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【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【详解】（1） ；
（2） ；
（3） .
题型二：指数函数的图像及性质
【解题方法总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，
从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
例4函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
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D．
【解题思路】分别讨论a＞1和0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图
像情况，即可得出答案．
【解答过程】解：根据指数函数的定义知，当a＞1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐
标系中的图像为图（1）所示：
当0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像为图（2）所示：
只有选项B满足题意．
故选：B．
例5（多选题）函数 的图象可能为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给 赋值，判断选项.当 时，
，图象A满足；
当 时， ， ，且 ，此时函数是偶函数，关于 轴
对称，图象B满足；
当 时， ， ，且 ，此时函数是奇函数，关于原
点对称，图象D满足；
图象C过点 ，此时 ，故C不成立.
故选：ABD
例6函数 的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若 ， 为增函数，
且 ，与图象不符，
若 ， 为减函数，
且 ，与图象相符，所以 ，
当 时， ，
结合图象可知，此时 ，所 ，则 ，所以 ，
故选:C.
题型三：指数函数的解析式、定义域与值域
【解题方法总结】
根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
例7若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指数函数，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．2
【解题思路】根据指数函数的定义列出方程组，求出a的值．
【解答过程】解：∵函数f（x）＝（a2﹣2a+2）（a+1）x是指数函数，
∴a2﹣2a﹣2＝1，且a＞0，a≠1
解得a＝3．
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故选：B．
例8若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】方程 有解，
有解，
令 ，
则可化为 有正根，
则 在 有解，又当 时，
所以 ，
故选： ．
例9已知函数 的值域是 ，则实数m的取值范围是 ．
【答案】 ．
【详解】 时， 且 ，即 ，
因此 时， 的取值范围应包含 ，
又 时， ，所以 ．
故答案为： ．
题型四：解指数不等式
【解题方法总结】
指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如 > 的不等式，可借助函数y= 的单调性求解，如果a的取值不确
定，需分a>1与
0<a<1两种情况进行讨论.
(2)隐含性质法：解形如 >b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再
借助函数y= 的
单调性求解.
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(3)图象法：解形如 > 的不等式.可利用对应的函数图象求解.
例10不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴x2﹣8＜2x，
解得﹣2＜x＜4．
故选：A．
例11不等式 的解集为 ．
【答案】
【详解】原式可化为 ，
因为 为减函数，所以 ，即 ，
解得 或 ，
所以原不等式的解集为 .
例12已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x
中x的取值范围是（ ）
−1 −1
A．（﹣∞， ） B．（ ，+∞）
5 5
−1 −1
C．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） D．R
5 5
【解题思路】根据函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，求出a的范围，得到函数y＝
ax的单调性，将a3x+1＞a﹣2x转化为x的不等式即可．
【解答过程】解：依题意，a﹣1＜0，即0＜a＜1，
所以函数y＝ax为R上的减函数，
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由a3x+1＞a﹣2x可得，3x+1＜﹣2x，
1
解得x＜− ，
5
故选：A．
题型五：指数型复合函数性质的应用
【解题方法总结】
借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行
求解即可.
例13已知函数 ， ．
(1)若 ，解关于 的不等式 ；
(2)若函数 的最小值为-4，求m的值．
【答案】(1)
(2)-3
【详解】（1） 时，由 得，
， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 ．
（2）因为 ，
令 ，因为 ，
所以 ，（当且仅当 时取得等号）
则 ， ，
①当 ，即 时， 在 上单调递增，
当 ，即 时， ，
所以 ，解得 ，符合题意；
②当 ，即 时，
在 上单调递减，在 上单调递增，
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当 ， ，
所以 ，解得 ，不合题意，舍去．
综上， 的值为-3．
例14已知 是定义域为R的奇函数．
(1)求a的值，判断 的单调性并证明；
(2)若 恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1) ，函数 在R上是单调递增函数，证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意得 ，所以 ，
当 时， 故 为奇函数，
在R上是单调递增函数，
证明如下：
对于 ， ，设 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，即函数 在R上是单调递增函数．
（2） 等价于 ，
因为 是R上的单调增函数，所以 ，即 恒成立，
所以 ，解得 ，所以k的取值范围为 ．
例15已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．
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（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式c⋅10x+6x 0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围．
＞
f(x)+3
【解题思路】（Ⅰ）由图像可知函数f（x）过点（0，﹣2）和（2，0），利用待定系数
法求出a，b的值，即可得到函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）依题意不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，再利用分离参数法转
化为求最值，结合指数函数的单调性即可求出实数c的取值范围．
【解答过程】解：（I）因为函数f（x）＝ax+b的图象经过点（0，﹣2）和（2，0），
又注意到a＞1，
∴{a0+b=−2，解得{a=❑√3，
a2+b=0 b=−3
故函数f（x）的解析式为 ．
f(x)=(❑√3) x−3
（Ⅱ）因为由（I）知 对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，
f(x)+3=(❑√3) x ＞0
所以由题设得不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，
即 6x ，亦即 3 对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，（*）
c＞− c＞−( ) x
10x 5
3
又易知函数y=−( ) x在（﹣∞，2]上单调递增，
5
3 9
所以根据（*）可得c＞−( ) 2=− ，
5 25
9
故所求实数c的取值范围(− ，+∞)．
25
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