必修第四章指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表）_数学_专项复习_2025年_2025年新高考高中数学知识点总结全归纳电子版选修必修公式定理_同步章节知识点总结

第四章 指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表）
一．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果 x n ＝ a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
二．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，＝a.
(2)n为偶数时，＝ |a |＝
(3)＝0.(4)负数没有偶次方根．
思考：()n中实数a的取值范围是任意实数吗？
提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；
当n为大于1的偶数时，a≥0.
三．分数指数幂的意义
正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
－
规定：a ＝＝
分数指数 负分数指数幂
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
幂
0的正分数指数幂等于0，
0的分数指数幂
0的负分数指数幂没有意义
思考：在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必须规定a>0?
提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值．
②若a<0，a＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
四．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ a r ＋ s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ a r s(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝ a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．
五．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用
于无理数指数幂．
六．指数函数的概念
一般地，函数 y ＝ a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R.
七．指数函数的图象和性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 ( 0 ，＋∞ )
性 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1
质 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于 y 轴 对称
思考1：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
提示：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升
趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．
思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？提示：指数函数值随自变量的变化规律．
八．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是 a > 0 ，且 a ≠ 1.
九．常用对数与自然对数
十．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)log 1＝0(a>0，且a≠1)．
a
(3)loga＝1(a>0，且a≠1)．
a
思考：为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logN时，不存在N≤0
a
的情况．
十一．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)log(MN)＝log M ＋ lo gN；
a a a
(2)log＝log M － lo gN；
a a a
(3)logMn＝ n lo gM(n∈R)．
a a
思考：当M>0，N>0时，log(M＋N)＝logM＋logN，log(MN)＝logM·logN是否成立？
a a a a a a
提示：不一定．
十二．对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，
则有logb＝.
a
十三．对数函数的概念
函数y＝logx(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 ( 0 ，＋∞ )．
a
思考1：函数y＝2logx，y＝log(2x)是对数函数吗？
3 3
提示：不是，其不符合对数函数的形式．
十四．对数函数的图象及性质a的范围 0<a<1 a>1
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性 定点 (1,0)，即x＝1 时，y＝0
质 单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？
提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．
十五．反函数
指数函数 y ＝ a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logx(a>0且a≠1)互为反函数．
a
十六、三种函数模型的性质
y＝ax(a>1) y＝logx(a>1) y＝kx(k>0)
a
在(0，＋∞)上的增
增函数 增函数 增函数
减性
随x增大逐渐近似与y 随x增大逐渐近似与x
图象的变化趋势 保持固定增长速度
轴平行 轴平行
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)
增长速度 的增长速度，y＝logx(a>1)的增长速度越来越慢；
a
②存在一个x，当x>x时，有 a x > k x >lo gx
0 0 a
十七．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使 f ( x ) ＝ 0 的实数 x 叫做函数y＝f(x)的零点．
思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？
提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
十八．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
十九．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f ( a ) f ( b )< 0，那么，函数y＝
f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
思考2：该定理具备哪些条件？
提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
二十．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f ( a )· f ( b )< 0 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区
间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
二十一．二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
0
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x＝c)，则c就是函数的零点；
0
②若f(a)f(c)＜0(此时x∈(a，c))，则令b＝c；
0
③若f(c)f(b)＜0(此时x∈(c，b))，则令a＝c.
0
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
二十二．常用函数模型
(1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
常用
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
函数
(4)对数函数模型 y＝mlogx＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
a
模型
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型 y＝
二十三.建立函数模型解决问题的基本过程
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
<解题方法与技巧>
1.带条件根式的化简
1有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.2有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数
或被开方的表达式的正负.
典例1： (1)若x<0，则x＋|x|＋＝________.
(2)若－3<x<3，求－的值．
[思路点拨] (1)由x<0，先计算|x|及，再化简．
(2)结合－3<x<3，开方、化简，再求值．
(1)－1 [∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，
∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1.]
(2)[解] －
＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.
当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.
因此，原式＝
2.根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
典例2：将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；
(3)(b>0)．
[解] (1)原式＝＝＝＝a.
(2)原式＝＝＝＝＝＝x.
(3)原式＝＝b＝b.
3.指数幂运算的常用技巧
1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
2负指数幂化为正指数幂的倒数.
3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便
于用指数幂的运算性质.
提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
典例3：化简求值：4.解决条件求值的思路
1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求
式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.
2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.
典例4：已知a＋a＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[思路点拨] ――――→――――→
[解] (1)将a＋a＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
5．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1.
典例5： (1)下列函数中，是指数函数的个数是( )
2
①y＝(－8)x；②y＝2x －1；③y＝ax；
④y＝2·3x.
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________.
(1)D (2) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，而是x的函数，
所以不是指数函数；
③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝得a－＝，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝.]
6.指数函数图象问题的处理技巧
1抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.
2利用图象变换，如函数图象的平移变换左右平移、上下平移.
3利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.
典例6：(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
(1)D (2)(3,4) [(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，
又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选D.
(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]
7.比较幂的大小的方法
1同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.
2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函
数值的大小.
3底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两
数比较.
4当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.
典例7：比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
[解] (1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是
增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，
且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.
(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，
所以1.70.2>0.92.1.
(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3.
8.利用指数函数的单调性解不等式（1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
（2）解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，
若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)
3x－1
⇔
典例8：(1)解不等式 ≤2；
(2)已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，a≠1)，求x的取值范围．
－1 3x－1 －1
[解] (1)∵2＝ ，∴原不等式可以转化为 ≤ .
x
∵y＝ 在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，
∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，
根据相应二次函数的图象可得－1<x<5.
综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>5；当a>1时，－1<x<5.
9.函数y＝afxa>0，a≠1的单调性的处理技巧
1关于指数型函数y＝afxa>0，且a≠1的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是fx的
单调性，它由两个函数y＝au，u＝fx复合而成.
2求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝fu，u＝φx，通过考查
fu和φx的单调性，求出y＝fφx的单调性.
2
x－2x
典例9：判断f(x)＝ 的单调性，并求其值域．
[思路点拨] ―→
―→――→
u
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝ .
u
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝ 在(－∞，＋∞)上递
减，2
x－2x
∴y＝ 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
u
∴y＝ ，u∈[－1，＋∞)，
u －1
∴0< ≤ ＝3，
∴原函数的值域为(0,3]．
10.指数式与对数式互化的方法
1将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
2将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
典例10：将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
(1)2－7＝；(2)log32＝－5；
(3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.
[解] (1)由2－7＝，可得log＝－7.
2
－5
(2)由log 32＝－5，可得 ＝32.
(3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.
(4)由ln x＝2，可得e2＝x.
11.求对数式logNa>0，且a≠1，N>0的值的步骤
a
1设logN＝m；
a
2将logN＝m写成指数式am＝N；
a
3将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logN＝b.
a
典例11：求下列各式中的x的值：
(1)log x＝－； (2)log 8＝6；
64 x
(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
[解] (1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，
所以x＝－2.
12.应用换底公式应注意的两个方面
1化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
2题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.
典例12：已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
[思路点拨] ――――→――――→
[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝logc，b＝logc，
3 5
∴＝log3，＝log5，
c c∴＋＝log15.
c
由log15＝2得c2＝15，即c＝.
c
13.求对数型函数的定义域时应遵循的原则
1分母不能为0.
2根指数为偶数时，被开方数非负.
3对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对
数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不
等于1.
典例13：求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；
(3)f(x)＝log (－4x＋8)．
(2x－1)
[解] (1)要使函数f(x)有意义，则logx＋1>0，即logx>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为
(0,2)．
(2)函数式若有意义，需满足即解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)．
(3)由题意得解得故函数y＝log (－4x＋8)的定义域为.
(2x－1)
14.函数图象的变换规律
1一般地，函数y＝fx±a＋ba，b为实数的图象是由函数y＝fx的图象沿x轴向左或向右平移|a|
个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的图象是关于直线x＝
a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象与y＝fx的图象在fx≥0的部分相同，在fx<0的部分关于
x轴对称.
典例14：(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logx的图象为( )
a
A B C D
(2)已知f(x)＝log|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
a
[思路点拨] (1)结合a>1时y＝a－x＝x及y＝logx的图象求解．
a
(2)由f(－5)＝1求得a，然后借助函数的奇偶性作图．
(1)C [∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logx是增函数，故选C.]
a
(2)[解] ∵f(x)＝log|x|，∴f(－5)＝log5＝1，即a＝5，
a a
∴f(x)＝log|x|，
5
∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．15.比较对数值大小的常用方法
1同底数的利用对数函数的单调性.
2同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
3底数和真数都不同，找中间量.
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.
典例15:比较下列各组值的大小：
(1)log 与log；
5 5
(2)log2与log2；
(3)log3与log4.
2 5
[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y＝logx在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log<log.
5 5 5
法二(中间值法)：因为log<0，log>0，
5 5
所以log<log.
5 5
(2)法一(单调性法)：由于log2＝，log2＝，
又因对数函数y＝logx在(0，＋∞)上是增函数，
2
且>，所以0>log>log，
2 2
所以<，所以log2<log2.
法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logx及y＝logx的图象，
由图易知：log2<log2.
(3)取中间值1，
因为log3>log2＝1＝log5>log4，
2 2 5 5
所以log3>log4.
2 5
16.常见的对数不等式的三种类型
1形如logx＞logb的不等式，借助y＝logx的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜
a a a
a＜1两种情况讨论；
2形如logx＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logx的单调性求解；
a a
3形如logx＞logx的不等式，可利用图象求解.
a b
典例16：已知函数f(x)＝log(x－1)，g(x)＝log(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
a a
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
[思路点拨] (1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．
(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．
[解] (1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f(x)≤g(x)，即为log(x－1)≤log(6－2x)，
a a
①当a＞1时，不等式等价于
解得1<x≤；
②当0＜a＜1时，不等式等价于解得≤x<3.
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；
当0＜a＜1时，不等式的解集为.
17.常见的函数模型及增长特点
1线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋bk>0的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
2指数函数模型
指数函数模型y＝axa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度
急剧，形象地称为“指数爆炸”.
3对数函数模型
对数函数模型y＝logxa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速
a
度平缓.
典例17：(1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 019x B．y＝2019
C．y＝log x D．y＝2 019x
2 019
x
(2)下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝ 与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(
)
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
(1)A (2)C [(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选
A.
(2)观察函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：
函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且
越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图
象递减速度不变．]
18.由图象判断指数函数、一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增
大，图象最“陡”的函数是指数函数.
典例18：函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
且x＜x.
1 2
(1)请指出图中曲线C，C分别对应的函数；
1 2(2)结合函数图象，判断f与g，f(2 019)与g(2 019)的大小．
[解] (1)C对应的函数为g(x)＝2x，C对应的函数为f(x)＝2x.
1 2
(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)
从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，
∴f＜g；
当x＞2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2 019)＞g(2 019)．
19.函数零点的求法
1代数法：求方程fx＝0的实数根.
2几何法：对于不能用求根公式的方程fx＝0，可以将它与函数y＝fx的图象联系起来.图象与x轴
的交点的横坐标即为函数的零点.
典例19：(1)求函数f(x)＝的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解] (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)的零点为0和－.
20.判断函数零点所在区间的三个步骤
1代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.
2判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.
3结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，
则在该区间内至少有一个零点.
典例20：(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(3,4) B．(2，e)
C．(1,2) D．(0,1)
(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是( )
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08
x＋3 2 3 4 5 6A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
(1)C (2)C [(1)因为f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.
(2)构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，
f(0)＝1－3＝－2<0，
f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，
f(2)＝7.39－5＝2.39>0，
f(3)＝20.08－6＝14.08>0，
f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]
21.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变
号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适
合.
典例21：已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
D [图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解
的个数为3，故选D.]
22.函数拟合与预测的一般步骤：
1根据原始数据、表格，绘出散点图.
2通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.
3求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.
典例22:某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．
已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数
模型，确定2019年的年产量为多少？
[思路点拨] ――→――→――→→
[解] (1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得解得∴f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少
30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．