文档文本内容
对数运算专题练习
【基础知识】
1.一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.
2.对数恒等式：
logaN
a
＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
3.loga(M·N)＝logaM＋logaN
4.logaM
N＝logaM－logaN；
5.logaMn＝nlogaM(n∈R)．
6．换底公式：logab＝logcb
logca(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
7.对数换底公式的重要推论：
(1)logaN＝
1
logNa(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)log
n
m
a b ＝m
nlogab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
【基础练习】
1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)
3
2
8
；
(2)
5
10
100000
；
(3)3
7
x
；
(4)
2
log 32
5
；
(5)
3
1
log
3
27 ；
(6)log
2
x b
．
【答案】(1)
2
log 8
3
(2)
10
log 100000
5
(3)
3
log 7
x
(4)
5
2
32
(5)
3
1
3
27
(6)
2
0
1
x
b x
x
且
【分析】
(
0
1)
x
a
b a
a
且
可化为
log
(
0
1)
a
x
b a
a
且
，由此化简各个小问。
【详解】（1）因为
3
2
8
，所以
2
log 8
3
（2）因为
5
10
100000
，所以
10
log 100000
5
（3）因为3
7
x
，所以
3
log 7
x
（4）因为
2
log 32
5
，所以
5
2
32
（5）因为
3
1
log
3
27 ，所以
3
1
3
27
（6）因为log
2
x b
，所以
2
0
1
x
b x
x
且
2.求值：
(1)
2
lne
lne
；
(2) lg8
lg125
；
(3)
3
3
2log 6
log 4
；
(4)
2
2
log
log 16 ；
(5)
8
4
log 27
log 9 ；
(6)
2
3 log 5
2
；
(7)
2
lg5 lg20
lg2
；
(8) 1
32
4
lg
lg
8
lg
245
2
49
3
．
【答案】(1) 1
(2)3
(3) 2
(4) 2
(5)1
(6) 40
(7)1
(8) 1
2
【分析】根据对数的概念、运算性质及换底公式计算即可.
【详解】（1）
2
lne
lne
1 2
1
；
（2）
lg8
lg125
lg 8 125
lg1000
3
；
（3）
3
3
3
3
3
3
36
2log 6
log 4
log
6
log 4
log
log 9
2
3
4
；
（4）
2
2
2
log
log 16
log 4
2
；
（5）
3
2
3
2
8
2
2
4
2
2
3log 3
log
3
log 27
3
1
2
log 9
log
3
log 3
2
；
（6）
2
2
2
2
3 log 5
log 8 log 5
log 40
40
2
2
2
；
（7）
2
2
lg5 lg 20
lg 2
lg5
2lg 2
lg5
lg 2
2
2
2
2lg5 lg 2
lg5
lg 2
lg 2
lg5
1
；
（8）
4
1
3
3
2
2
1
32
4
32
lg
lg 8
lg
245
lg
lg 2
lg 7 5
2
49
3
49
4 2
lg
lg4
lg 7 5
7
4 2
1
lg
7 5
7
4
1
lg 10
2
.
3.求下列各式的值：
(1)lg0.01；
(2)
4
3
2
log
2
4
；
(3) lg 2
lg5
；
(4)
3
3
3
27
2
6
log
log
log
5
3
5
；
(5)
2
2
2
7
1
log
log 12
log 42
1
48
2
；
(6)
2
lg2
lg2 lg50
lg25
.
【答案】(1) 2
(2)14
3
(3)1
(4)1
(5)
3
2
(6)2
【分析】根据对数的定义、对数的运算法则及运算性质求解各题即可.
【详解】（1）
2
lg0.01
lg10
2
.
（2）
2
4
4
3
3
3
2
2
2
2
2
14
log
2
4
log 2
log
4
4
log 2
4 3
3
.
（3）lg 2
lg5
lg10
1
.
（4）
3
3
3
3
3
27
2
6
27
2
6
log
log
log
log
log 3
1
5
3
5
5
3
5
.
（5）
2
2
2
2
2
7
1
7
2
1
3
log
log 12
log 42 1
log
12
42
1
log
1
1
48
2
48
2
2
2
.
（6）
2
lg2
lg2 lg50
lg25
lg 2
lg 2
lg50
2lg5
2lg 2
2lg5
2lg10
2
.
4.求值：
(1)
5
log 25；
(2)
3
1
log 243 ；
(3)
1
16
log
2；
(4)
3
log
9 ；
(5) lg100；
(6)
0.1
log
10 ；
(7)
15
1
log
225 ；
(8)
3
7
log
49 ．
【答案】(1)2
(2) 5
(3)
1
4
(4)4
(5)2
(6) 1
(7) 2
(8) 2
3
【分析】根据对数的定义，以及对数运算公式，即可求解.
【详解】（1）
5
5
log 25
2log 5
2
；
（2）
5
3
3
3
1
log
log 3
5log 3
5
243
；
（3）
4
1
2
2
16
1
1
log
2
log
2
log 2
4
4
-
=
= -
= -
；
（4）
1
2
3
3
3
log
9
log
9
2log 9
4
；
（5）
2
lg100
lg10
2lg10
2
；
（6）
1
0.1
10
log
10
log
10
lg10
1
；
（7）
2
15
15
15
1
log
log 15
2log 15
2
225
；
（8）
1
3
3
7
7
7
1
2
log
49
log 49
log 49
3
3
.
5．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：
(1)
lg xyz ；
(2)
2
3
lg x yz
；
(3)
2
3
lg x y
z
；
(4)
2
1
3
2
lg x
yz
．
【答案】(1)lg
lg
lg
x
y
z
(2) 2lg
lg
3lg
x
y
z
(3) 2lg
lg
3lg
x
y
z
(4)
1
2
lg
lg
lg
2
3
x
y
z
【分析】根据对数的运算法则和性质即可.
【详解】（1）lg(
)
lg
lg
lg
xyz
x
y
z
；
（2）
2
3
2
3
lg
lg
lg
lg
2lg
lg
3lg
x yz
x
y
z
x
y
z
；
（3）
2
2
3
2
3
lg
lg
lg
lg
lg
3lg
2lg
lg
3lg
x y
x y
z
x
y
z
x
y
z
z
；
（4）
2
2
1
1
3
3
2
2
1
2
lg
lg
lg
lg
lg
lg
lg
2
3
x
yz
x
y
z
x
y
z
.
6.计算：
3
27
8
2
(log 4
log
8)(log 9
log 3)
．
【答案】5
【分析】根据对数的运算性质计算即可
【详解】
3
27
8
2
(log 4
log
8)(log 9
log 3)
3
3
2
3
2
3
2
3
2
(log 2
log 2 )(log 3
log 3)
3
3
2
2
3
2
(2log 2
log 2)(
log 3
log 3)
3
3
3
2
5
3log 2
log 3
3
3
2
5
3
log 2 log 3
5
3
，
故答案为：5
7．
4
8
3
9
log 3
log 3
log 2
log 2
（
）
A．5
4
B．4
5
C．15
D．12
【答案】A
【分析】运用对数的运算性质进行求解即可.
【详解】
4
8
3
9
2
2
3
3
2
3
log 3
log 3
log 2
log 2
1
1
1
log 3
log 3
log 2
log 2
2
3
2
5
3
log 3
log 2
6
2
5
lg3
lg 2
4
lg 2
lg3
5 ,
4
故选：A
8．
2
2
log 3
3
5
8
2
lg
2lg 2
2
（
）
A．6
B．8
C．9
D．7
【答案】A
【分析】运用分数指数幂以及对数的运算公式进行化简求值.
【详解】解：
2
2
log 3
3
5
8
2
lg
2lg2
2
2
3
3
2
3
lg5
lg 2
2lg 2
2
2
3
lg5
lg 2
4
3 1
6
.
故选：A.
9．已知
2
log 5
m
．
(1)求
2
5
2
log 2
4
m
m
的值；
(2)用m 表示
25
log 20 ．
【答案】(1) 20
(2) 1
1
2
m
【分析】（1）直接利用对数的运算法则计算得到答案.
（2）变换得到
25
5
1
log 20
log 2
2
，得到答案.
【详解】（1）
2
log 5
m
，则
2
2
2
2log 5
log 5
2
5
2
5
2
5
2
log 2
4
2
log 5 log 2
4
2
log 5 log 2
4
m
m
25 1 4
20
.
（2）
25
5
5
5
5
5
2
1
1
1
1
1
1
log 20
log 20
log 4
log 5
2log 2
1
log 2
2
2
2
2
log 5
2
1
1
2
m
.
10.求值：
(1)
2
3
lg3
lg9
lg
27
lg 3
5
5
lg81 lg27
；
(2)
5
5
5
5
7
log 35
2log
log 7
log 1.8
3
．
【答案】(1)11
5
(2)2
【分析】结合对数的化简和对数的基本运算化简即可.
【详解】（1）
4
3 3
1
2
3
4
3 3
1
1
lg3
lg3
lg3
lg9
lg
27
lg 3
lg3
lg3
lg3
lg3
11
5
5 2
2
5
5
5
5 2
2
81
lg81 lg27
lg3
5
lg 27
；
（2）
2
5
5
5
5
5
5
5
5
7
7
log 35
2log
log 7
log 1.8
log 35
log
log 7
log 1.8
3
3
2
5
5
5
49
9
9
5
log
35
7
log
35
7
log 5
2
9
5
49
9
11．求下列各式中x 的值：
(1)
lg 10
1
3lg
x
x
；
(2)3ln
6
ln
x
x
；
(3) lg
2
2lg
10
x
x
；
(4)
1
log
2
2
x
x
．
【答案】(1)10
(2)
3e
(3)
1
3
10
(4) 1
4
【分析】根据对数运算公式和换底公式解方程即可.
【详解】（1）
lg 10
1
lg
1 1
3lg
x
x
x
，即2lg
2
x
，即lg
1
x ，
10
x
.
（2）3ln
6
ln
2ln
6
ln
3
x
x
x
x
，所以
3e
x
.
（3）
1
lg
2
2lg
lg
1
2
2lg
3lg
1
lg
10
3
x
x
x
x
x
x
，所以
1
3
10
x
.
（4）
1
lg 2
lg
1
1
log
2
lg
lg 4
lg
2
lg
2
4
x
x
x
x
x
，所以
1
4
x
.
12．(多选)已知
10
lg
log
1
x
y
，则（
）
A．
2
2
10
lg
log
2
x
y
B．
10
x y
C．
10
lg 10
log
10
4
x
y
D．当
1,
1
x
y
时，log 10
log
10
x
y
的最小值为4
【答案】ACD
【分析】由对数化简式和对数基本运算逐一验证ABC 选项即可；由换底公式和基本不等式可验证D 项
【详解】由题可知
0,
0
x
y
，则
2
2
10
10
lg
log
2lg
2log
2
x
y
x
y
，A 正确；
由
10
lg
log
1
x
y
，得
2
2
10
2
lg
log
lg
lg
lg
1
2
x
y
x
y
xy
，
所以
2
10
xy
，B 错误；
10
10
10
lg 10
log
10
lg10
lg
log
10
log
x
y
x
y
10
1 2
lg
log
3 1
4
x
y
，C 正确；
当
1,
1
x
y
时，
10
lg
0,log
0
x
y
，则
10
1
1
log 10
log
10
lg
log
x
y
x
y
10
10
10
10
log
1
1
lg
lg
log
2
lg
log
lg
log
y
x
x
y
x
y
x
y
10
10
log
lg
2
2
4
lg
log
y
x
x
y
，当且仅当
2
10
x
y
时，等号成立，
所以log 10
log
10
x
y
的最小值为4，D 正确．
故选：ACD
