2026北师大版初中数学八年级上册学生AI智能体深度理解16法：第14篇｜第四章 一次函数·1 函数——深度理解16法之「游戏本体论」

北师大版义务教育教科书 · 数学 八年级上册 · 第四章 一次函数·1 函数

🏫 学校：dxyc2360      👨‍🏫 指导教师：张元方

📖 一、开篇引言

孩子翻到第 75 页，第一眼看到的是一张摩天轮的图。图上一条波浪线，横轴写着 t/min，纵轴写着 h/m。他心里想的是"这不就是看图找数吗"，嘴上说"挺简单的"。可这一节的麻烦恰恰藏在"简单"两个字后面。

教材给的第一问是"根据图 4-1 填写下表"。表里 t/min 那一行印好了 0、1、2、3、4、5，后面一个省略号；h/m 那一行全空。孩子照着一格一格往上找，能填出来，填得还挺顺。真到第二问"对于给定的时间 t，相应的高度 h 确定吗"，有的孩子答"不确定，因为它一直在动"。这个"不确定"不是粗心，是他把"变化"和"不确定"混成了一件事。曲线在动，可t一旦定死，点在线上就只有一个位置，高度当然只有一个。这就是本节最关键的两个字：唯一。

第 76 页把话说全了。"如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数。"这句话一共三个条件，缺一个都不算：得是同一个变化过程，得有两个变量，得是"每一个 x 都配唯一一个 y"。孩子背得下来，做题时却常在第一和第三个条件上栽跟头。第 78 页那道抛射曲线的题就是专门用来验这一点的：给一个水平距离 s，高度 h 只有一个；反过来给一个高度 h，水平距离可能有两个。所以 h 是 s 的函数，s 不是 h 的函数。这一步要是绕不过来，后面学一次函数、反比例函数、二次函数，每次都要重犯。

还有一个更被忽视的地方：自变量的取值范围。教材在"尝试·思考"里单独立了一个小栏目问"上述问题中，自变量能取哪些值"。这不是添头。摩天轮那个 t 不能取负数，因为时间不从负的开始；热力学温度那条 T = t + 273.15 后面紧跟着 T ≥ 0，意思是摄氏温度不能低于 -273.15 ℃；随堂练习里的邮资表只管 100 g 以内的信，m 超过 100 就换另一套价钱了。范围写不出来，等于没说清这个函数管哪一段事。

这一篇用的读法是"游戏本体论"。听着玄，落到纸上很实：函数就是一个有规则的游戏，自变量是你能按的按钮，函数值是按下去必然出现的那个结果，取值范围是这个游戏允许你按的按钮范围。孩子玩游戏从不问"按一下会不会出两个结果"，他一按就知道只有一个。把这个手感搬到函数上，"唯一"这两个字就不用背了。

📊 二、思维导图

一张图看懂：从摩天轮的波浪线，到"y 是 x 的函数"这句定义，再到四种常见题型

这张导图从中间那句话长出来：什么叫函数。往左一支讲变量和"唯一对应"，往右一支讲三种表示方式，往下两支分别讲自变量取值范围和函数值，最下面一支落到本节五处题目（摩天轮、圆柱堆放、热力学温度、随堂练习、习题 4.1）。看的时候让孩子用手指着分支念一遍，念到哪一支就回想教材上对应的那一页，图上每个节点都能在书上指出出处，导图才算真用上了。

🔑 三、深度理解16法之「游戏本体论」

伽达默尔在《真理与方法》里讲游戏，讲得很不客气：游戏的主体不是玩游戏的人，而是游戏本身。这话初听别扭，细想极准。孩子打一场篮球，规则不是他定的，走步就是走步，三分线就是三分线。他可以打得臭，也可以打得漂亮，却不能"按自己的理解"把走步算成好球。规则先于玩者存在，玩者进去就得认。伽达默尔把这叫"被游戏"——不是你玩规则，是规则把你收进去了。

函数也是这么个东西。"对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应"，这一句就是规则，而且是一条不许商量的规则。它不管你喜欢不喜欢，也不管这个函数来自摩天轮还是来自邮资表。教材第 76 页那句定义之所以写得那么绕，就是因为它在陈述规则而不是在描述现象。孩子在摩天轮图上看见的是"高度随时间上下变化"这个现象；教材要的是"任意给定一个时间，高度只能有一个"这条规则。现象是看得见的，规则是要认下来的。

用这一法去读本节，孩子会碰到三个具体的坑，坑坑都能对上游戏里的经验。

第一个坑是"按一下出两个结果"。游戏里这不可能，按 A 键跳，就是跳，不会这次跳下次蹲。函数里的"唯一"说的是同一件事。孩子之所以在"给定 t，h 确定吗"这问上犹豫，是因为他盯着整条曲线看，看见线在动。让他改成盯着一个点看：把 t = 2 那条竖线画上去，跟曲线只交于一点，交点的高度就是一个数。这一点看通了，"唯一"就不再是抽象的字。

第二个坑是"规则换了装置还在"。同一套规则可以装在三种装置上：表格、关系式、图象。教材第 76 页明说这三种是函数的表示方式。就像同一个游戏可以出在手机、街机、电脑上，操作界面不同，规则是一个。孩子常犯的错是换个表示就不认了：给了表会判函数，换成图象就懵；给了关系式会算函数值，换回表格就不知道自己在算什么。让他把圆柱堆放那一题（表）、热力学温度那一题（式子）、摩天轮那一题（图）摆在一起看，三样东西说的是同一句规则，这一层就打通了。

第三个坑是"按钮有边界"。没有哪个游戏是无限按键的，手柄就那几个键。函数的按钮边界就是自变量的取值范围。教材在"尝试·思考"里特意问了一句"上述问题中，自变量能取哪些值"，这一问不是装饰。摩天轮的 t 从 0 起，因为时间不倒着走；热力学温度的式子后面跟着 T ≥ 0，把摄氏温度卡在 -273.15 ℃ 之上；邮资表只管 100 g 以内的信。孩子把范围写成"全体实数"，等于说这个游戏什么键都能按，规则就空了。

这一法真正管用的地方，是把"背定义"换成"认规则"。定义背下来只能应付填空，认下规则才能判对反例。第 78 页那道抛射曲线，h 是 s 的函数，s 不是 h 的函数，靠背是背不出来的，靠的是问一句"我按 s，h 只有一个吗；我按 h，s 只有一个吗"。这就是玩者在试按钮，试两次，答案自己出来了。

📝 四、核心概念与公式

知识点一 · 变量与变化过程。在一个过程里，可以取不同数值的量叫变量。摩天轮上的时间 t 在走，高度 h 在变，两个都是变量；圆柱堆放的层数 n 一层层加，物体总数 y 跟着加，两个也都是变量。这里有个前提常被漏掉：两个变量必须在同一个变化过程里。孩子的身高和家里的气温都在变，凑不出一对变量来，因为不在一个过程中。教材写"在一个变化过程中有两个变量"，这几个字是条件，不是客套。

知识点二 · 函数的定义与"唯一"。对变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，就说 y 是 x 的函数，x 叫自变量。"每一个"管的是 x 这边一个不能漏，"唯一"管的是 y 这边一个不能多。两边一起卡住，才叫函数。判断时按顺序问三句：是不是同一个过程？是不是两个变量？x 定死以后 y 是不是只剩一个？三句都答"是"，才下笔写"y 是 x 的函数"。

知识点三 · 三种表示方式。表格、关系式、图象。摩天轮那一题用图象，圆柱堆放那一题用表格加关系式 y = n(n+1)/2，热力学温度那一题用关系式 T = t + 273.15，邮资那一题用表格。三种方式各有所长：表格一眼看出对应的几组数，关系式能算任意一个值，图象能看出整体走势。教材把这三样并列写在一句话里，就是要孩子知道它们地位相同，不是"式子才高级"。

知识点四 · 自变量能取哪些值。取值范围由两件事决定：一是过程本身允不允许（时间不能为负，层数必须是正整数，家庭人口必须是正整数），二是式子算不算得出来（分母不能为零，被开方数不能为负，这里的热力学温度还要求 T ≥ 0）。写范围时把"≥""≤""＜""＞"分清楚，端点上取不取到，要看题目的实际意思。

知识点五 · 函数值。自变量在可取值范围内取一个确定的值 a，函数唯一确定的那个对应值，就叫当自变量等于 a 时的函数值。注意"可取值范围内"这五个字：a 取到范围外去了，函数值就不谈。求函数值就是把 a 代进关系式算一遍，第 76 页热力学温度那一问（1）就是纯代值，四个温度代四次。

本节公式与常用算式。圆柱堆放的总数：y = 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2，n = 1、2、3、4、5 时 y = 1、3、6、10、15。热力学温度：T = t + 273.15（T ≥ 0），t = -43 时 T = 230.15，t = -27 时 T = 246.15，t = 0 时 T = 273.15，t = 18 时 T = 291.15。刹车滑行：s = v²/300，v 的单位是 km/h，s 的单位是 m。邮资：0＜m≤20 时 y = 1.20，20＜m≤40 时 y = 2.40，40＜m≤60 时 y = 3.60，60＜m≤80 时 y = 4.80，80＜m≤100 时 y = 6.00。盐勺：每人每天不超过 6 g，一勺 2 g，每人 3 勺，y = 3x。摩天轮：t = 0 时 h 约 5 m，t = 3 时 h 到最高（四十多米），t = 6 时 h 又回到约 5 m，一个来回 6 min。

📜 五、教材原文

教材原文

略

本页文字版权归北京师范大学出版社所有，教材原文（含图 4-1、图 4-2、邮资表、抛射曲线图）不在本篇转录，只做教学解读。本节印刷第 75 至 78 页的每个栏目、每道题、每个小问，全部逐条拆解在下面第八节；需要看原文的家长，请对着孩子课本第 75 至 78 页按标题找。

🧩 六、重点难点分析

难点一 · "唯一"卡的是哪一边

定义里"唯一"两个字，孩子读成"只有一个变量"，方向就错了。唯一卡的是 y 这一边：x 随便取一个，y 只能出一个；反过来 y 定一个，x 可能出好几个，这不影响"y 是 x 的函数"。摩天轮那条波浪线，一个高度对应两个时刻（上去一次、下来一次），可它照样是函数。孩子如果在这一层搞反，第 78 页抛射曲线那道（4）问必错：他会因为"高度 2 m 时水平距离有两个"就说 h 不是 s 的函数。破法是让他把两次提问分开念：我按 x，出来几个 y？我按 y，出来几个 x？前者只有一个才叫函数，后者不管。

难点二 · 先问是不是同一个变化过程

定义开头那句"如果在一个变化过程中有两个变量"，是筛子而不是背景板。孩子判断时容易抓两个量就套定义：气温在变、冰淇淋销量在变，是不是函数？得先问这两个量是不是在同一个过程里被绑在一起。教材给的四个例子（摩天轮、圆柱堆放、热力学温度、刹车滑行、邮资）之所以干净，就因为每一个都是同一过程里的一对。做题时碰到"某地房价与当地人口"这类题，就要小心：没有说明在同一过程中相互决定，硬套函数是站不住的。让孩子养成先说一句"这个过程是什么"的习惯，比背定义有用。

难点三 · 取值范围从哪儿来

取值范围有三个来源，孩子往往只知道第二个。第一个来源是实际意思：时间 t ≥ 0，层数 n 是正整数，家庭人口 x 是正整数，信函质量 0＜m≤100（表只给到 100 g）。第二个来源是式子本身：分母不为零、被开方数非负，热力学温度还多一条 T ≥ 0，把 t 卡在 -273.15 之上。第三个来源是表格与图象的边界：图 4-1 只画到 12 min，抛射曲线只画到 s = 6 m，超出画的范围就不是这道题讨论的对象了。孩子写"全体实数"是最常见的敷衍，一问他"摩天轮转 -3 分钟是什么意思"，他自己就笑了。

难点四 · 三种表示方式要能互译

教材一句话把表格、关系式、图象并列，孩子却常只认关系式。表现是：给式子会算，给表会看，给图就不会读，或者读了图写不出式子。摩天轮那题要从图上读出几组数填进表，这就是图转表；圆柱堆放那题要从"1、3、6、10"看出规律写出 y = n(n+1)/2，这是表转式；热力学温度那题要给 t 算 T，这是式转值；邮资那题要在表里按区间找价，这是按表取值。四种动作都得练一遍，缺哪一种，考试就卡在哪一种。

难点五 · 分段表格里的端点

邮资表五档写成 0＜m≤20、20＜m≤40 这样，端点归属是硬规定：20 g 的信算第一档，1.20 元；20.1 g 就进第二档，2.40 元。孩子图省事会写 0≤m＜20，端点就全乱了。这类"每一档都带一边闭一边开"的写法，是初一不等式组那一套的直接延续，八年级接着用。让他拿三个数去试：20、40、100，各自落在哪一档，价多少，试过一遍端点就忘不掉了。第 76 页热力学温度后面的 T ≥ 0 也是端点问题，-273.15 ℃ 本身算在内，比它低的温度这套换算就不作数。

难点六 · 把生活话翻成"设 x 为…"

习题 4.1 第 2 题的盐勺，难在翻译。"每人每天不超过 6 g""一勺 2 g""家庭人口数 x""每天摄入盐的勺数最大值 y"，四句话要拧成一个式子。孩子卡的地方通常不是算，是不知道该让谁当自变量。破法是先定"谁是我能随便取的"：人口数 x 是给定的，勺数 y 是算出来的，所以 y 是 x 的函数。再定"最大值"三个字怎么落：每人上限 3 勺，x 口人就是 3x 勺，取到上限才叫最大。写范围时人口数是正整数，1、2、3、4…，不能写 0.5 口人。这一整套动作，跟第 76 页"设…为 x，…为 y"的写法是一路的。

❓ 七、常考易考题与易错题

题型一 · 判断是不是函数（文字题）

例题：某班学生的学号与身高，身高是学号的函数吗？答：不是。同一个学号只对应一个身高，看着像；反过来说"给定身高，学号唯一吗"，不唯一。真正的判据是"给定自变量的值，函数值唯一"。易错：把"一一对应"当成函数的前提。纠法：只查一个方向，x 定死看 y 是不是只剩一个，别的不管。

题型二 · 看图判断（竖线法）

例题：给一条封闭的圆（横轴为 x），y 是 x 的函数吗？答：不是，因为一条竖线能跟圆交两点，说明同一个 x 配了两个 y。易错：以为曲线光滑就是函数。纠法：拿尺子在图上竖直比一下，只允许一个交点。这一招在第 78 页抛射曲线上特别好用：竖着比，处处一个交点；横着比，有几个高度就两个交点，正好说明 s 不是 h 的函数。

题型三 · 求函数值

例题：T = t + 273.15，求 t = -43 时的 T。答：T = 230.15。易错：负号丢掉，算成 316.15；或者把加 273.15 写成减。纠法：先写式子再代值，一步一行，负数带括号，算完回头看"气温很低，热力学温度该小，230 比 273 小，对"。

题型四 · 按情境写关系式并写取值范围

例题：习题 4.1 第 2 题的盐勺，写出 y 与 x 的关系式及 x 的取值范围。答：y = 3x，x 取正整数。易错：只写 y = 3x 不写范围；或者范围写成 x ≥ 1 的实数。纠法：写完式子马上问"x 能不能取 2.5"，答案自然落到正整数上。范围是题目的一半分，漏了就丢。

题型五 · 表格型取值

例题：邮资表，寄 60 g 的信要多少钱？答：3.60 元。60 g 落在 40＜m≤60 这一档。易错：看 60 就跳到下一档 4.80；或者按比例算成"每 20 g 一块二，60 g 三块六"却写不出在哪一档。纠法：先在表上把 60 圈进哪一档标出来，再抄价；端点题一律回头核一遍闭区间符号。

题型六 · 反向提问（给 y 求 x）

例题：抛射曲线里 h = 2 m 时，s 有几个可能值？答：两个（s = 0 和 s = 4 附近），所以 s 不能看成 h 的函数。易错：把"有两个"当成本题答错，实际这正是函数判断的正确答案的依据。纠法：反向题先画一条水平线，数交点个数，两个以上就说明这一对变量里反向不构成函数。

题型七 · 开放题：自己找一个函数关系

例题：习题 4.1 第 3 题，观察生活找一个变化过程，说明函数关系并指出自变量取值范围。答法示范：汽车以 60 km/h 匀速行驶，路程 s（km）与时间 t（h）满足 s = 60t，t ≥ 0。易错：只写现象不写关系式，或者写了式子不给范围；还有的把"两个都在变的量"直接当函数。纠法：按三句话说清——过程是什么、谁是自变量、式子加范围。

📄 八、教材内容逐点拆解

本节按教材印刷第 75 至 78 页的顺序，一个栏目一小节、一道题一小节。每道题给六样东西：题目原文要点、考查什么、思路、分步过程、易错、验算，后面再补一段"带这一题"的讲法，家长照着念就能带孩子走一遍。

栏目一 · 节首情境（印刷第 75 页）

教材一开口不讲定义，先问一句"你坐过摩天轮吗"，接着问"你离地面的高度是如何变化的"。这不是闲聊。它要孩子在动脑子之前先在身体里过一遍这个过程：慢慢升上去，到顶，再慢慢下来，一圈又一圈。教材紧跟着给出图 4-1：纵轴 h/m，刻度自下而上 5、10、15、20、25、30、35、40、45；横轴 t/min，从 0 一直到 12。图上那条波浪线，一上一下一个来回大约 6 min，画了两个来回。孩子只要能把这幅图和坐摩天轮的记忆对上，后面填表就不是抄数，而是回忆。

题目一 · 图 4-1 第（1）问"根据图 4-1 填写下表"

题目原文要点：表分两行，上行为 t/min，已经印好 0、1、2、3、4、5，末尾一个省略号；下行为 h/m，格子全空，要照图填。

考查什么：把图象翻译成表格的能力，也就是教材第 76 页说的"三种表示方式"里图与表的互译。这一问不谈函数，只谈读图。

思路：每个 t 值在横轴上找到刻度，竖直向上碰到曲线，再水平向左看纵轴的数，那个数就是 h。一次只办一格，办完再下一格。

分步过程：t = 0 时曲线在最低处，对着纵轴读约 5，填 5；t = 1 时曲线升到一半偏下，读约 15，填 15；t = 2 时接近顶部，读约 35，填 35；t = 3 时正好在最高点，读约 45（此处曲线到顶，是整幅图的最高处），填 45；t = 4 时与 t = 2 对称，读约 35；t = 5 时与 t = 1 对称，读约 15。填完这一行是 5、15、35、45、35、15。

易错：两处。一处是横纵轴看反，把 12 读成高度、把高度读成时间；另一处是不肯承认读图有误差，非要在 35 和 36 之间较劲，把自己卡死。读图题的答案是"约"，差 1 m 不算错。

验算：拿对称性反查。t = 1 与 t = 5 应该一样高，t = 2 与 t = 4 应该一样高，t = 3 是最高点，t = 0 与 t = 6 应该一样低。四条都对上，表就填对了。再看 t = 6 那格，按规律应该回到 5，跟 t = 0 相同，曲线也确实是每 6 min 重复一次。

带这一题：让孩子用手指在图上"走"一遍：从 t = 0 出发，往右一格，往上碰到线，再往左看到数，嘴里念出来。念三格以后他自己会发现对称这件事，剩下的格子填得飞快。家长只需要在旁提醒一句"读出来的是约数，不用精确到个位"。

题目二 · 图 4-1 第（2）问"对于给定的时间 t，相应的高度 h 确定吗"

题目原文要点：只有一句问话，要的是"确定还是不确定"以及理由。

考查什么：函数定义里"唯一"这两个字的第一次落地。这一问答对了，第 76 页那段定义就有地方挂了。

思路：把 t 想成一个螺丝，拧死在某个刻度上，然后看曲线在那个位置有几个点。一个，就确定；两个以上，才叫不确定。

分步过程：先说结论：确定。再说理由：在横轴上任意取一个 t，比如 t = 2，过这个点作一条竖直的线，这条线与曲线只有一个交点，交点对应的纵坐标只有一个数，所以 h 只有一个值。曲线虽然一直上下起伏，可它没有"同一个时间出现在两个高度"的地方。第三句补一句反向的：反过来给定一个高度 h，比如 20，横着画一条线，跟曲线能交出两个点，说明同一个高度对应两个时刻——这不影响 h 是 t 的函数，因为规则只管"t 定 h 唯一"。

易错：答"不确定，因为高度一直在变"。这是把"变化"读成"随机"。摩天轮的高度是随时间的推移而变，不是随时间而乱跳；给定时刻，它就在那个位置。另一种错是答"确定，因为图上只有一条线"，理由不成立：一个横坐标配两个纵坐标照样可以画成一条线（比如整圆），只是这条曲线恰好没有这种情况。

验算：拿刚填好的表来验。表里每个 t 后面只跟了一个 h，没有一个 t 后面跟两个数。表是图的另一种写法，表上唯一，图上就唯一。

带这一题：不要急着让孩子答"确定"，先让他用手指在图上竖着比三次，一次比在 t = 1，一次比在 t = 3，一次比在随便哪个位置。三次都只碰一个点，他才会相信这不是老师说的，是图上摆着的。这一课比记住定义值钱。

栏目二 · 操作·思考（印刷第 75 页）

栏目名就叫"操作·思考"，要孩子先动手数，再动脑想。教材给的是圆柱形物体的堆放图 4-2：四组并排，第一组 1 层 1 个，第二组 2 层共 3 个，第三组 3 层共 6 个，第四组 4 层共 10 个，最右边一个省略号，意思是还能往下堆。为什么用堆圆柱做例子？因为它把"一一对应"摆成了看得见的形状：层数定死，堆法就定死了，总数只能是那一个数，不会有两个答案。孩子数一遍 1、3、6、10，嘴里会自己冒出"每次多 2、多 3、多 4"。

题目三 · 操作·思考 第 1 题"随着层数的增加，物体的总数是如何变化的"，并"请填写下表"

题目原文要点：题面问总数随层数怎么变；第 76 页接着给一张表，上行为 层数 n（1、2、3、4、5、…），下行为 物体总数 y（全空），前面一句"请填写下表。"

考查什么：从图形规律里抽出一对变量，用表格把它们钉住，为后面写关系式 y = n(n+1)/2 铺路。这是"图→表→式"这条链的中间一环。

思路：先数层，再数总数，逐组数过去，然后找增量规律：多加一层，就多加"这一层的个数"个。

分步过程：n = 1，只有 1 个，y = 1；n = 2，是 2 + 1，y = 3；n = 3，是 3 + 2 + 1，y = 6；n = 4，是 4 + 3 + 2 + 1，y = 10；n = 5，接着加 5，y = 15。填表就是 1、3、6、10、15。变化规律一句话说清：每多一层，总数就多出这一层的个数，也就是 y 依次增加 2、3、4、5、6…

易错：第一，数错第三、第四组，把 3 层数成 7 个或 9 个（漏掉压在里面的那一个）。第二，把"层数"和"最下一层的个数"混为一谈，第三组最下一层是 3 个，总数却是 6。第三，填完表不写规律，题问了两件事，只办了一件。

验算：用式子验。y = n(n+1)/2，n = 4 时 4×5÷2 = 10，n = 5 时 5×6÷2 = 15，与数出来的数一致。另一个验法是看差值：1、3、6、10、15 相邻差为 2、3、4、5，正好等于新加的那一层个数，规律自洽。

带这一题：让孩子拿几枚硬币或积木，照图 4-2 真堆一遍。手上一堆，眼睛就不用猜"里面有没有藏一个"。堆到第四组他会发现每堆都是"上面一层比下面一层少一个"的三角，这个形状记住了，第 78 页抛射曲线那种"只看图不用手"的题也就不慌了。

题目四 · 第 2 题"热力学温度与摄氏温度"（印刷第 76 页）

题目原文要点：一定质量的气体体积不变时，温度降到 -273.15 ℃ 压强为零，物理学把这个温度定为热力学温度的零度。热力学温度 T（单位：K）与摄氏温度 t（单位：℃）的关系是 T = t + 273.15，T ≥ 0。第（1）问：t 分别为 -43 ℃、-27 ℃、0 ℃、18 ℃ 时，T 是多少？第（2）问：给定一个大于 -273.15 ℃ 的 t 值，都能求出相应的 T 吗？

考查什么：用关系式求函数值，练的是"给一个自变量，算出唯一的函数值"这套动作；顺带把自变量的取值范围写清楚。教材选温度换算是刻意的，因为换算的结果永远唯一，不存在"这个 t 有两个 T"的情况。

思路：第（1）问是纯代值，四个数代四次，一次一行，别心算。第（2）问是问"能不能"，答案是能，理由要落在两处：加法只有一个结果，且 t 大于 -273.15 时算出来的 T 大于 0，没越过 T ≥ 0 这条线。

分步过程：t = -43 时，T = -43 + 273.15 = 230.15；t = -27 时，T = -27 + 273.15 = 246.15；t = 0 时，T = 0 + 273.15 = 273.15；t = 18 时，T = 18 + 273.15 = 291.15。四个答案的单位都是 K。第（2）问这样答：能。因为 t 大于 -273.15 时，t + 273.15 是一个大于 0 的数，满足 T ≥ 0；而且给定一个 t，加法只能算出一个结果，所以相应的 T 唯一确定，T 是 t 的函数。

易错：三个坑。第一个是丢负号：-43 + 273.15 被算成 316.15，错得很隐蔽，因为数字看着"合理"。第二个是把 273.15 写成 237.15 或 273.5，抄数字时少一位。第三个是单位混着写，答案后面跟 ℃ 而不是 K。第（2）问还有个隐性错：答"能，因为都能加"，理由太薄，没提 T ≥ 0 这条限制，遇到 t = -300 就说不通了。

验算：用"每差 1 ℃ 差 1 K"来核。-27 ℃ 与 -43 ℃ 相差 16 ℃，246.15 与 230.15 相差 16，对。0 ℃ 与 18 ℃ 相差 18 ℃，291.15 与 273.15 相差 18，也对。再用 t = 0 那一格当地标：0 ℃ 正好 273.15 K，记住这个数，其余三格就有了参照。

带这一题：先不写式子，让孩子自己念："摄氏 0 度是多少开？"他知道是 273.15。再问："那 -43 度呢？"他会说"比 0 度低 43 度，就该从 273.15 里减 43"。这一步说出来，负号永远不会丢。式子反倒可以写到后面去，先长直觉，再上符号。

栏目三 · 思考·交流（印刷第 76 页）

栏目问的是"上面三个问题都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点"。三个问题指摩天轮、圆柱堆放、热力学温度。相同点有三条：都在同一个变化过程里，都有两个变量，都是一个量定下来另一个量就跟着定下来。不同点也有三条：表示方式不同（图、表加式子、式子），变量的实际意义不同，自变量的取值范围不同。这个栏目看着像小结，其实是函数定义的前置台阶——教材要孩子自己把这三点讲出来，讲完再给定义，定义就不是天降的。

栏目四 · 函数的定义与三种表示方式（印刷第 76 页）

教材先垫一句过渡：在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值。然后才给正式定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数（function），其中 x 是自变量。紧跟着一句话把三种表示方式并排摆出来：表格、关系式、图象。

这段话读法有讲究。"每一个"管 x 不许漏，"唯一"管 y 不许重，两个词夹着中间那个"与它对应"，说的是配对。孩子默写时最爱漏"唯一"二字，漏了这句就变成了"两个量有关系"，那什么都能算函数了。再一个细节：定义说的是"y 是 x 的函数"，没有说"x 是 y 的函数"，方向在句子里，不能倒过来念。

栏目五 · 尝试·思考"上述问题中，自变量能取哪些值"（印刷第 76 页）

教材把取值范围单独立一栏问，说明它不当附属品。三个问题的答案分别是：摩天轮那个 t 从 0 开始（时间不倒着走，图也只画到 12 min）；圆柱堆放的 n 取正整数 1、2、3、4…（没有 0 层这一说，也不能是 2.5 层）；热力学温度那个 t 要大于或等于 -273.15 ℃（因为式子后面跟着 T ≥ 0，低于这个温度，气体压强为零这套换算就不成立）。三句话背下来很容易，难的是把"为什么"说出来。家长可以拿一句反问逼一下：如果 t 取 -1 min，摩天轮转回去了吗？

栏目六 · 函数值的定义（印刷第 76 页）

教材接着给：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。这句话有两个钉子。第一个钉子是"在可取值范围内"，a 跑到范围外，函数值这词就不该用。第二个钉子是"当自变量等于 a 时"，函数值总是跟一个具体的 a 绑在一起，不是一个孤零零的数。孩子后面学一次函数求 f(2)，就是这一句的直接延伸。

栏目七 · 随堂练习 第 1 题（印刷第 77 页）

题面总要求是同一句话管三个小问：下列各题中分别有几个变量？其中某个变量能看成另一个变量的函数吗？若能，请写出自变量的取值范围。三个小问分别用图象、关系式、表格三种方式给出，正好把第 76 页那句"表格、关系式、图象是函数的三种表示方式"挨个走一遍。这一题的答题格式值得固定下来：先说变量个数，再说谁是谁的函数，第三句写范围。三句缺一句，分就掉一半。

随堂练习 第 1 题（1）"北京市某天气温的变化情况如图所示"

题目原文要点：配图画的是某一天的气温曲线。纵轴标"气温/℃"，刻度自下而上 -6、-3、O、3、6、9、12、15；横轴标"时间"，从 O 起依次 6:00、12:00、18:00、24:00。曲线先往下走到凌晨的最低处，白天升上去到午后最高，傍晚再降下来。

考查什么：从图象里认变量、判函数、定范围。三个动作全在一条曲线上完成。

思路：图上只有两个能在变的量：时间、气温。用竖线法验唯一性；再看横轴从哪里画到哪里，那就是范围。

分步过程：变量有两个：时间、气温。气温能看成时间的函数：给定某一时刻，竖直向上与曲线只交于一点，交点对应的温度只有一个值。反过来给定一个温度，比如 6 ℃，横着画线能交出两个点（早上一次、下午一次），说明时间不能看成气温的函数。自变量的取值范围是 0 时至 24 时，写成 0 ≤ t ≤ 24。

易错：把"一天"写成"全体实数"，理由是"时间一直往前走"。这一天的气温图只画了 24 小时，出了这 24 小时就没有数据了。还有一种错：说"两个变量互相都是函数"，那就把定义的方向搞反了。

验算：拿曲线的两个极值点核一遍：最低处在凌晨，约在 -3 ℃ 到 -6 ℃ 之间；最高处在午后，约 10 ℃ 上下。极值处竖线仍只交一点，唯一性没问题。范围 0 ≤ t ≤ 24 也能在横轴上直接指出来，看得见、指得到，就算答对了。

带这一题：让孩子先说一句人话："早上冷、中午热、晚上又凉。"说完再看图上是不是这么个形状。生活话和图象对上了，再让他把"气温随时间变"翻译成"气温是时间的函数"，翻译这一步就是本节全部功夫。

随堂练习 第 1 题（2）"刹车后滑行 s m，经验公式 s = v²/300"

题目原文要点：在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行 s m，一般地有经验公式 s = v²/300，其中 v 表示刹车前汽车的速度（单位：km/h）。

考查什么：关系式型的函数判断。与（1）不同，这里没有图也没有表，只有一个式子，孩子要能看着式子说"两个变量、唯一对应、范围"。

思路：找两个变量（速度 v、滑行距离 s）；看式子能不能做到"给一个 v 就出一个 s"；速度的实际意义决定范围。

分步过程：变量有两个，v 与 s。s 能看成 v 的函数：任意给定一个大于 0 的速度，代进 v²/300 只算出一个数，滑行距离唯一确定。自变量的取值范围是 v ＞ 0（有的教材答 v ≥ 0，把"停着不动"也算进来，一样算对）。写答案时把 v 与 s 的对应关系说成一句完整话："给定刹车前的速度，滑行距离就确定了。"

易错：把范围写成全体实数。速度能是负数吗？孩子答完这句自己会改。第二个错是方向搞反，写成"v 是 s 的函数"：给一个滑行距离，速度其实有两个可能（快车刹得住和慢车刹不住都可能滑这么远），方向反了就不唯一。

验算：代一个数试试。v = 60 km/h 时 s = 3600/300 = 12 m；v = 120 时 s = 14400/300 = 48 m。速度翻倍，距离变成四倍，符合经验（刹车距离随速度平方增长）。式子算得出来、结果唯一，函数关系坐实。

带这一题：让孩子先答一句"开得越快，刹得越远"，再让他算 60 和 120 两个数，看见 12 到 48 差四倍，他会"哦"一声。这个"哦"比记公式有用：以后学到二次函数，这条经验就是现成的例子。

随堂练习 第 1 题（3）"100 g 以内的普通信函投寄到外埠，邮资见下表"

题目原文要点：表格两行五列。信件质量 m/g：0＜m≤20、20＜m≤40、40＜m≤60、60＜m≤80、80＜m≤100；邮资 y/元：1.20、2.40、3.60、4.80、6.00。

考查什么：表格型函数的判断，外加区间端点的归属。这一小题是三个小问里最容易掉分的一个，因为"范围"要抄表头那五行，抄错一个不等号就全错。

思路：把每一档当成一小段规则；给一个 m，先找它落在哪一段，再看这一段对应的邮资。判断函数就看"同一个 m 会不会落到两段里去"。

分步过程：变量有两个，信件质量 m 与邮资 y。y 能看成 m 的函数：五段区间首尾相接，每一段右边闭左边开，任何一个 0 到 100 之间（不含 0）的质量只落在其中一段里，对应的邮资只有一个值。自变量的取值范围是 0 ＜ m ≤ 100。举例核实：m = 20 落在第一段（带等号），y = 1.20；m = 20.5 落在第二段，y = 2.40；m = 100 落在第五段（带等号），y = 6.00。

易错：两个端点错：把 20 g 划到第二段，或者把 100 g 漏在范围外。一个方向错：答成"m 是 y 的函数"，这是真错了——给 1.20 元，信可以是 1 g 也可以是 20 g，质量不唯一。还有一个粗心：范围只写 m ≤ 100，忘了 m ＞ 0。

验算：把五个端点挨个过一遍：20 进第一段，40 进第二段，60 进第三段，80 进第四段，100 进第五段。每档 20 g，邮资每档加 1.20 元，从 1.20 到 6.00 一共五档，加四次 1.20，账算得上。

带这一题：家里真有寄信的经历就最好，让孩子想想"超重了要不要补钱"。没有就编一个：20 g 刚好一块二，多加一张纸 21 g，就得二块四。多一克跳一档，这种"跳"的感觉一有，端点的写法他不会再糊。

栏目八 · 习题 4.1 知识技能（印刷第 77 至 78 页）

习题 4.1 分三栏：知识技能两题、数学理解一题、联系拓广一题，一共四道，题号是第 1、2、3、4 题，没有带星号的题，也没有并题。前三栏在同一页的上下衔接处，第 1 题的图在印刷第 77 页底，四个小问和表格在第 78 页顶。孩子做题时容易只看见 77 页的图象就以为题做完了，第（1）到（4）四个小问全在下一页。

知识技能 第 1 题（1）（2）"抛射曲线图"

题目原文要点：下图是某物体的抛射曲线图，其中 s 表示物体与抛射点之间的水平距离，h 表示物体的高度。（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？（2）根据图象填写下表，表的上行为 s/m，格子 0、1、2、3、4、5、6，下行为 h/m，格子全空。

考查什么：从图象读出两个变量，并把图翻译成表。这一问和第 75 页摩天轮那一问是同一个动作，换了个情境再练一遍。

思路：（1）看横轴和纵轴的标注，标注就是变量名，单位就在斜杠后面。（2）横轴上找刻度，竖直碰到曲线，再读纵轴。

分步过程：（1）横轴是 s/m，纵轴是 h/m，所以图象反映的是水平距离 s（m）与高度 h（m）这两个变量之间的关系。（2）读图填表：s = 0 时曲线起点在 h = 2 处，填 2；s = 1 时升到 2.8 上下；s = 2 时接近最高，约 3.1；s = 3 时约 3；s = 4 时约 2.4；s = 5 时约 1.4；s = 6 时落到地面，填 0。整行读下来大致是 2、2.8、3.1、3、2.4、1.4、0，每个数都带"约"。

易错：起始高度填 0。物体是从 2 m 高的地方抛出去的，曲线起点在纵轴 2 的位置，不在原点。另一个错是最高点位置读偏：曲线的最高处大约在 s = 2 到 s = 3 之间，不是画在正中间。还有的把单位丢了，表中 h/m 那行只写数没写单位，虽然格式上可以，答题时要知道是米。

验算：看整体形状：起点 2、终点 0，中间拱起来，说明高度先升后降，符合抛体运动的常识。再看单调性：0 到 2 之间一路升，3 到 6 之间一路降，中间没有来回折，读出来的数不该忽大忽小。读图题只要两头对、形状对，中间那些数差 0.1 到 0.2 都不扣分。

带这一题：孩子读图时容易把 s = 0 的数写成 0，因为原点在心里。让他先看曲线从哪里出发：起点贴在纵轴上，高度是 2。这一眼比做十道题都管用，因为它训练的是"看图先看端点"的习惯。

知识技能 第 1 题（3）（4）"确定吗、可以看成函数吗"

题目原文要点：（3）当水平距离 s 取 0 至 6 m 之间一个确定的值时，相应的高度 h 确定吗？（4）高度 h 可以看成水平距离 s 的函数吗？

考查什么：本节的核心判断，也是全篇最值钱的一问。第（3）问问的是唯一性，第（4）问问的是函数身份，两问是一条因果链上的两个扣。

思路：（3）在 0 到 6 里随便挑个 s，竖着比一次，交点一个，则确定。（4）把（3）的结论换成定义的话说一遍，再补上自变量取值范围。

分步过程：（3）确定。在 0 ≤ s ≤ 6 里任取一个 s 值，过这一点作竖直线，与曲线只有唯一交点，高度 h 只有一个值。（4）可以。因为对于 s 在 0 至 6 m 之间的每一个值，h 都有唯一的值与它对应，符合函数定义，所以 h 是 s 的函数，自变量 s 的取值范围是 0 ≤ s ≤ 6。

易错：答案写成"不可以"，理由多半是"h = 2 时 s 有两个值"。这是把方向搞反：判断 h 是不是 s 的函数，看的是给定 s 时 h 唯不唯一，不是给定 h 时 s 唯不唯一。这个错在整册里会反复出现，第 78 页这一问就是最早的照妖镜。

验算：用刚填好的表当证据：表里 s 每格后面只有一个 h，没有一格冒两个数。表是图的翻译，表上唯一，结论就成立。反向再验一次：在 h = 2 那条水平线上有两个交点，恰好说明"给 h 求 s 不唯一"，反证 s 不是 h 的函数，与答案不矛盾。

带这一题：让孩子说一句完整的因果："因为每个 s 都只有一个 h，所以 h 是 s 的函数。"说不出来就退回上一句："我按 s，出来几个 h？"两次提问，方向一定分清。这个动作一旦练熟，后面一次函数、反比例函数的判断题都能一格一格过。

知识技能 第 2 题"小盐勺"

题目原文要点：每人每天的食盐摄入量以不超过 6 g 为宜。某市向每个家庭发放一个小盐勺（容量 2 g）。设家庭人口数为 x，家庭每天所应摄入盐的勺数的最大值为 y。（1）当 x = 3 时，y 的值是多少？（2）写出 y 与 x 之间的关系式和 x 的取值范围。

考查什么：从文字情境里抽关系式，再把自变量的实际含义翻成取值范围。这一题是本节唯一一道需要自己"设"的题，考试里最常见。

思路：先算一个人：6 g ÷ 2 g = 3 勺。再算一家人：x 口人就是 3x 勺。x 是人口数，只能取正整数。

分步过程：每人上限 6 g，一勺 2 g，每人最多 3 勺。（1）x = 3 时，y = 3 × 3 = 9，全家一天最多 9 勺。（2）关系式 y = 3x；因为家庭人口数只能是正整数，所以 x 取正整数 1、2、3、4…，也可以写成 x 为正整数。

易错：第一，把 6 g 当成全家的上限，写成 y = 6 ÷ 2 = 3，与人数无关。第二，关系式写成 y = 3x 却给范围 x ≥ 0 或 x ＞ 0，人口数没有 0 口、也没有半口。第三，把"最大值"三个字漏掉，算出 y = 3x 却说"必须吃 3x 勺"，教材说的是上限。

验算：代回情境。3 口人 9 勺，共 18 g，人均 6 g，正好压在上限上，对。5 口人 15 勺共 30 g，人均还是 6 g，也对。式子里的 3 是"每人勺数"，乘上人数才对得上"家庭"，量纲没乱。

带这一题：家里做饭的盐勺真拿出来看一次。让孩子算算自家几口人、一天最多几勺、倒出来是多少。算完他会对"自变量取值范围"有感觉：人口数不能是 2.5，所以范围不是一串实数，是一串整数。

数学理解 第 3 题"观察生活，找一个变化过程"

题目原文要点：观察生活，寻找一个变化过程，说明其中的函数关系，并指出自变量的取值范围。这是一道开放题，答案不唯一。

考查什么：把"函数"这个词从课本搬回生活。会做题不等于会用，这一题要的就是"用"。

思路：三步走：说清过程，指定谁当自变量，写出关系（式子、表或图都行）并给范围。

分步过程：示范一：汽车以 60 km/h 匀速行驶，行驶路程 s（km）与时间 t（h）的关系是 s = 60t，t ≥ 0，s 是 t 的函数。示范二：买单价 3 元的笔记本，总价 y（元）与本数 x（本）的关系是 y = 3x，x 取正整数。示范三：水龙头滴水，漏水量与漏水时间成比例，时间越长漏得越多，给定时间漏水量唯一。三个示范都给足三句话，缺一句不算答完。

易错：只说现象不给关系（"我长高了"），只说关系不给范围（"y = 3x"），或者举了两个不在同一过程里的量（身高与气温）。还有一种"假函数"：说"体重是年龄的函数"，小学阶段确实是，成年后就不成立了，这种要在说明里加一句限定，教材不要求，家长可以提一句当拓展。

验算：拿自己的例子过一遍三条件：是不是同一个过程？是不是两个变量？给一个自变量，函数值唯一吗？三句都答"是"，例子才立得住。

带这一题：让孩子给家里的某件事列一张小表：洗一件衣服用多少水、用多少电，按件数算。列完了他会发现"这就是函数"。这一题最好的答案往往来自自家厨房和阳台，不来自教辅。

联系拓广 第 4 题"七年级下册的三个问题"

题目原文要点：七年级下册"变量之间的关系"一章中有如下三个问题，能否将其中变量之间的关系看成函数：（1）反应时间与反应距离之间的关系；（2）三角形一边上的高一定时，三角形面积 y 与该边的长度 x 之间的关系；（3）由某港口某天从 0:00 到 12:00 的水深变化曲线所确定的水深与时间之间的关系。

考查什么：把七年级学过的那一章升级。七年级叫"变量之间的关系"，八年级叫"函数"，同一个东西换了个更严格的说法。这一题是本章与上一学年的接缝。

思路：三个小问都用同一把尺子量：给定一个自变量，另一个量唯一吗？

分步过程：（1）能。反应时间一定，反应距离就确定，反应距离是反应时间的函数。（2）能。高 h 一定时，面积 y = ½xh，给一个底边长 x，面积只有一个值，y 是 x 的函数，x ＞ 0。（3）能。曲线给的是某天 0:00 到 12:00 的水深随时间的变化，给定一个时刻，曲线上只有一个水深与它对应，水深是时间的函数，0 ≤ t ≤ 12。

易错：（2）里把"高一定"这三个字漏掉，直接说面积与底边长有关系就算函数，理由不完整。高不定的时候，面积由两个量决定，只说"y 是 x 的函数"就少了一个前提。（3）里把范围写成"全体实数"，一个港口某一天只测了 12 小时，超出这段时间就没有曲线可读了。

验算：（2）代两个数：x = 4、h = 3 时 y = 6；x = 8、h = 3 时 y = 12。x 翻倍，y 翻倍，对应关系稳定，没有"一个 x 两个 y"。（3）在曲线上竖着比，任何时刻只交一点，唯一性成立。

带这一题：让孩子翻出七年级下册那本旧书，把那三个问题找出来对照着看。他会发现去年叫"变量之间的关系"，今年叫"函数"，说的是一件事，只是今年的要求多了两条：唯一，以及范围。旧书别急着收，这一章要用它。

🛠 九、五步学习法

第一步：每天锻炼一个小时

这一节的题，本子上写不了多少字，脑子里的弯却不少。先动身体再动笔，效率差得远。摩天轮那道题，讲的就是身体的感受：坐在上面往上升，高度一点点加；到顶以后往下走，高度一点点减。跑二十分钟、跳绳一千下，孩子身上有这种"上去下来"的经验，回头再看图 4-1 那条波浪线，就不会觉得它是凭空画的。抛射曲线那道也一样，扔一次沙包、投一次篮，抛物线就在手上。每天一小时的运动，在这一节能换回两样东西：一是对"变化"的身体记忆，二是坐得住四十分钟的体力。别把运动当成学习的对立面，它在这里是预习。

第二步：扎实掌握第一个知识点

这一节的第一个知识点不是"函数"两个字，是"唯一"。第 75 页第（2）问"对于给定的时间 t，相应的高度 h 确定吗"，看着像送分题，实际是全章的命门。答对了，第 76 页那段定义有地方挂；答错了，第 78 页抛射曲线第（4）问必然翻车，后面学一次函数、反比例函数、二次函数，每次都要在这儿摔一跤。所以这一节不要贪多，先把这一问啃透：竖着比三次，一次在 t = 1，一次在 t = 3，一次随便挑，三次都只碰一个点，用手确认了才算过关。第一个知识点扎稳了，圆柱堆放、热力学温度、邮资表这些题都是它的变形，看一眼就知道往哪儿走。

第三步：能积微者速成

"积微"两个字，在这一节有现成的例子：图 4-2 那几堆圆柱。第一组 1 个，第二组 3 个，第三组 6 个，第四组 10 个。每多堆一层，只多出这一层的个数，一次加 2、加 3、加 4，数目很小，一堆一堆堆上去，第四组就有 10 个了。孩子嫌这种题小儿科，可 y = n(n+1)/2 这个式子正是一层一层加出来的，跳过小步子直接背式子，考场上换个层数就蒙。做题也一样：第 75 页填表七格，一格一格读；第 76 页热力学温度四问，一个温度一行；随堂练习第 1 题三个小问，三个格式各写一遍。一天补一道题，一周就是五道，看着慢，一个月的账算下来比突击快得多。

第四步：运用对标思维突破学习困境

对标，就是找那个"一模一样但我会做"的题，比着做。这一节里最典型的困境是第 78 页抛射曲线第（4）问：问"h 可以看成 s 的函数吗"，孩子答不出来。这时候不要硬想，去对标第 75 页摩天轮那道第（2）问——那一问是"给定 t，h 确定吗"，答得出来。两题的结构完全一样：一个给定量，一个待求量，问唯不唯一。对标过去，把字母换掉，答案就出来了。再比如邮资表那道题，孩子不会写范围，就去对标热力学温度那句 T ≥ 0：都是从实际情境里挤出来的限制条件，一个管温度下限，一个管信函重量上限。会做的那道是拐杖，不会的那道拄上去走一遍，走通了拐杖就扔掉。这一法比刷十道新题有效，因为它给的是路子，不是答案。

第五步：运用杠铃法则缓解学习疲劳

杠铃两头重、中间轻，用在学习上是"硬的一头加软的一头"，中间那些不痛不痒的活儿少干。这一节的硬头是什么？是"唯一"的判断和取值范围的写法，第 75 页第（2）问、第 78 页第（4）问、随堂练习第 1 题的范围，这三处必须啃到闭眼能说。软头是什么？是摩天轮图的趣味、投沙包的生活联想、盐勺这类小情境，花十分钟聊聊就够了，别在上面磨一个小时。中间那些活儿——把定义抄五遍、把表重新画一遍——看着勤快，实际不长本事。一节课四十分钟，前二十五分钟给硬头，后十五分钟在软头里放松着说，孩子不累，重点也抓住了。

💡 十、费曼技巧应用

自问一 · 函数定义里为什么要写"唯一"这两个字？

能答出来说明他真懂了定义，不是背的。参考答案：没有"唯一"，两个量只要一起变就能叫函数，那就乱了。比如某个时刻的高度若冒出两个值，摩天轮上的人就悬在两个高度上，这不可能。第 75 页第（2）问就是拿这一条来验的。答不出怎么办：让他回到图 4-1，用手指在 t = 2 处竖着比一次，问他"这条竖线碰了几个点"，一个点对应一个高度，这就是"唯一"。

自问二 · 摩天轮那张图，凭什么说 h 是 t 的函数，t 不是 h 的函数？

能答出来说明方向感清楚了。参考答案：给定一个时间 t，竖直比一下，曲线只交一点，高度 h 只有一个，所以 h 是 t 的函数。给定一个高度 h，比如 25 m，横着比一下，曲线交两点（上去一次、下来一次），时间有两个，所以 t 不是 h 的函数。答不出怎么办：拿尺子在图上真比，竖着比一次、横着比一次，两次的差别自己看得见。第 78 页抛射曲线第（4）问是同一道题换了个场景，可以拿来对练。

自问三 · 自变量的取值范围都从哪儿来？举本节两个例子。

能答出来说明他知道范围不是形式主义。参考答案：三个来源。实际意思——摩天轮的 t 从 0 起，时间不倒着走；式子本身——第 76 页 T = t + 273.15 后面跟着 T ≥ 0，摄氏温度压在 -273.15 ℃ 以上；表格的边界——邮资表只管 0 ＜ m ≤ 100，超过 100 g 就是另一套价。答不出怎么办：拿"如果 t 取 -1 分钟，摩天轮转回去了吗"这种反问逼他一下，答案会自己冒出来。

自问四 · 表格、关系式、图象真的是同一件事吗？用本节三道题说。

能答出来说明他理解"表示方式"这四个字。参考答案：是同一套规则的三种装置。摩天轮那道给的是图象，要从图上读出几组数填进表；圆柱堆放那道给的是数（1、3、6、10），要写出 y = n(n+1)/2；热力学温度那道给的是式子，要代值得出 230.15、246.15、273.15、291.15。同一件事从三个门进去，都通。答不出怎么办：让他把同一组数据用三种方式各写一遍，写完他会发现三张纸说的是一个故事。

自问五 · 抛射曲线那道第（4）问，你是怎么判的？反过来错在哪？

能答出来说明他会用定义而不是凭感觉。参考答案：给定 0 至 6 m 之间一个 s，曲线只有一个高度 h，所以 h 是 s 的函数，范围写成 0 ≤ s ≤ 6。反过来错在把提问方向搞混了：若问 s 是不是 h 的函数，答案是"不是"，因为 h = 2 m 时 s 有两个值（s = 0 和 s = 4 附近）。答不出怎么办：让他在图上画一条竖线、再画一条横线，两个方向的交点个数摆在那里，不用讲道理自己就通了。

🎯 十一、方法总结与知识脉络

这一节一句话能说完：在一个变化过程里，两个变量之间只要有"给一个就定一个"的规矩，前面那个叫自变量，后面那个就是它的函数；规矩有三种写法，规矩管的那一段叫取值范围，给自变量一个具体的数，算出来的结果叫函数值。

往前看，它接着七年级下册"变量之间的关系"那一章：那时候只要求看出两个量一起变，现在多要了两条——唯一，以及范围。往后看，第四章剩下的全部内容都长在这一节上。第 2 节讲一次函数，就是在这条规则上再拧一个条件：y 与 x 的关系恰好能写成 y = kx + b（k ≠ 0）；第 3 节讲图象，是把关系式画成图，图上的点一一对上函数值；第 4 节讲应用，用的还是"给定一个量，算出另一个量"。第五章讲二元一次方程组与一次函数的关系，第六章讲数据，第七章讲证明，遇到"对应"这两个字，根都在今天这一页。

再说清一件容易混的事：函数不是"两个量有关系"，是"两个量之间有一一对应"。有关系太宽泛，父子同名也叫有关系；一一对应才够格。孩子把这条界线划清了，往后看到圆、看到封闭曲线，一眼就知道它不是函数图象。

给家长一句实在话：这一节的知识点只有五六个，题目只有六道，看着轻。真正要盯的只有两处，一是第 75 页第（2）问和第 78 页第（4）问的那个"唯一"，二是三道题里的取值范围。这两处通了，这一节就通了；这两处含混，往后每一节都要回头补。别急着往前赶，把这两处坐下来跟孩子说透，一晚上的工夫，值得。

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