文档文本内容
2 意义的应用及典型数学模型
教学内容
教材第103~110 页，意义的应用及典型数学模型
教学提示
题目要求，和题目特点决定应用的知识。
教学目标
知识与能力
进一步分数乘除法的意义、比、百分数的意义、以及在整数和小数中存在的模型，在
分数中同样适用。
过程与方法
进一步感受数学知识间的相互联系，体会数学的作用；掌握所学的常见数量关系和解
决问题的思考方法，能够比较灵活地运用所学知识解决生活中一些简单的实际问题，增强
学生的应用意识，提高学生进行数学思考的能力。
情感、态度与价值观
激发学生学习数学的积极性，养成定期归纳总结的习惯。
重点、难点
重点：意义和模型的灵活应用。
难点：意义的灵活运用。
教学准备
教师准备：实物投影仪。
学生准备：练习本。
教学过程
（一）复习回顾：
1、师：我们已经学习了分数、百分数的意义，分数乘除法的意义，比的意义。谁能来
说一说。（生回忆，不全的师补全）
生：分数，可以表示一个数量，也可以表示一个数是另一个数的几分之几
生：百分数只表示一个数是另一个数的百分之几，也就是分数、百分数都可以表示两
者之间的关系，用除法进行计算。
生：分数乘法，表示一个数的几分之几是多少
分数除法，可以看做1、表示一个数是另一个数的几分之几（或几倍）2、表示一
个数里有多少个另一个数。
生：比：是描述两者之间一种相除的关系，比值则是分数除法的第一个意义。
2、师：我们学过哪些数学模型。
生：分数意义得到的，一个数是另一个数的几分之几。一个数我们用甲数，另一个数
用乙数，几分之几用来表示，那么模型变成：甲数是乙数的。
生：一个数比另一个数的几分之几多（或少）多少，模型化：甲数比乙数的多（少）
丙数。
生：一个数比另一个数多（少）几分之几，即甲数比乙数多（少）
生：按比分配，转化成甲数是乙数的几分之几
生：三个模型根据已知和待求的量不同，可以变换成3 种类型的题目。
师：同学们总结的太好了。
师：我稍稍补充一下，甲数比乙数多（少）丙数。下面我们一起看看它们之间的联系。
设计意图：通过回忆，确定学过的一些模型，时间足的话，可以说说怎么来的。
（二）梳理总结：
按比分配：
1、转化成部分与整体之间的关系：
a:b 转化成× × 是× × 的
a
a+b
2、转化成两者之间的关系：
a:b 转化成× × 是× × 的
b
a
根据问题和已知的条件，可分为三类问题：
1、求甲数？已知其它条件：
根据数量关系，直接用乘法。
2、求乙数？即求单位“1”，已知其它条件：
根据数量关系，建议用方程，也可以用除法
3、求
b
a？，即求关系，已知其它条件：
根据数量关系，建议用方程，也可以用除法。
在实际操作中，根据题目中数量关系的复杂
程度，选择合适的方法，一般关系比较简单，
多采用算术法；题目中数量关系复杂，一般
采用方程。
数量关系：
甲数比乙数多(少)
b
a
转化成：
甲数是乙数的(1±
b
a)
甲数=乙数× (1±
b
a)
数量关系
甲数比乙数的
b
a多(少)丙数。
甲数=乙数×
b
a± 丙数
数量关系
甲数是乙数的
b
a(或%)。
甲数=乙数×
b
a
数量关系
甲数比乙数多(少)丙数。
甲数=乙数± 丙数
设计意图：通过构建知识网络，让学生明确知识间的内在联系。
（三）巩固新知：
1.一个班有45 人，期中考试数学有42 人及格，这个班的及格率是多少？
2.蒋集镇中心小学信息兴趣小组有32 人，其中男生占，男生有多少人？
3.大胡村蔬菜大棚去年出产蔬菜800 吨，是今年出产蔬菜的，今年出产蔬菜多少吨？
4.六年级三班有男生25 人，女生人数比男生的还多3 人，女生有多少人？
5.蒋集镇中心小学舞蹈队有23 名成员，比合唱队的少2 人，合唱队有多少名同学？
6.天天鲜蔬菜店，今天运来西红柿200 千克，运来的白菜比西红柿多，天天鲜蔬菜点
运来白菜多少千克?
7. 天天鲜蔬菜店，今天运来白菜280 千克，运来的白菜比西红柿多，天天鲜蔬菜点运
来白菜多少千克?
8. 天天鲜蔬菜店，今天运来白菜280 千克，西红柿200 千克，天天鲜蔬菜点运来的白
菜比西红柿多几分之几？
9.明德小学今年购进科技书和故事书共2000 册，科技书与故事书的比是3:7，明德小
学今年购进故事书多少册？
10.宁阳县举行学科素养大赛，决定按1:3:5 的比例设置一、二、三等奖，其中，活动
二等奖的有30 人，那么，获一等奖的有多少人？
答案：93.3%，24 人，850 吨，23 人，20 人，280 千克，200 千克，，1400 册，10 人。
设计意图：对上面理论内容，进行实践。
（四）达标反馈
1.学期末，体育老师对六年级五班的学生进行体育考查，全部有40 人，其中过关的有
36 人，过关率是多少？
2.宁庄王大爷家今年共种植黄姜5 小亩，肖大爷种植黄姜是王大爷家的，肖大爷家共
种植黄姜多少小亩？
3. 宁庄肖大爷家今年共种植黄姜3.5 小亩，肖大爷种植黄姜是王大爷家的，肖大爷家
共种植黄姜多少小亩？
4.水果店运来苹果200 千克，运来的香蕉比苹果的还少20 千克，运来香蕉多少千克？
5. 水果店运来香蕉130 千克，运来的香蕉比苹果的还少20 千克，运来香蕉多少千克？
6.今天农贸市场上，香菜每千克6 元，山药的价格比香菜的多0.5 元，山药每千克多少
元？
7. 今天农贸市场上，黄瓜每千克4 元，比藕价格的少1 元，藕每千克多少元？
8.猪肉每千克24 元，羊肉每千克68 元，猪肉比羊肉便宜几分之几？
9.刘叔叔家有饲养的白兔和黑兔，共180 只，白兔和黑兔的比是5:1，刘叔叔家饲养的
黑兔有多少只？
10. 刘叔叔家有饲养的白兔和黑兔，白兔和黑兔的比是5:2，其中白兔有150 只，刘叔
叔家饲养的黑兔有多少只？
答案：90%，3.5 小亩，5 小亩，130 千克，200 千克，4.5 元，6 元，，30 只，60 只。
设计意图：检验理论的应用效果效果。
（五）课堂小结
这节课你学会了什么，有哪些收获？给大家说说。
设计意图：通过总结，既能够使学生加深对所学内容本质的理解和深层次思考，从而
将
所学知识纳入自己的认知结构，又提升了学生的梳理和概括能力。
（六）布置作业
第2 课时：意义的应用及典型数学模型
1、工程队原计划一周修路20 千米，实际修了24 千米。实际修的是原计划的百分之
几？
2、一根绳子用去，正好用去6 米。绳子全长有多少米？
3、小红读一本故事书，第一天读了这本书的，第二天读了45 页，还剩下15 页没有
读。这本故事书一共有多少页？
4、育才小学有一个直径是6 米的圆形花坛，为美化校园，把这个花坛进行了扩建，
扩建后花坛的直径与原来直径的比是4:3。扩建后花坛的面积是多少平方米？
5、学校举办美术作品展览。绘画作品有80 件，比书法作品少。书法作品有多少件？
6、一辆汽车从甲地去乙地，已行了全程的，这时距中点还有15 千米。全程有多少千
米？
7. 一张课桌比一把椅子贵20 元，如果椅子的单价是课桌的，课桌和椅子的单价各是
多少？
8. 学校计划投资7200 元举办才艺展示活动，实际的费用比计划节约了。实际的费用
是多少元？
9. 学校举行朗诵比赛，获三等奖的有120 人，获二等奖的人数是获三等奖的，获一等
奖的人数是获二等奖的。获一等奖的有多少人？
10. “六·五”班共有学生48 人，其中男生占。班级里组织学生成立科技小组，共有
22 人报名参加。问这个班参加科技小组的男生最多可能有多少人？
答案：1、120%，30 米，100 页，50.24 平方米，112 幅，150 千米，桌子80 元，椅
子60 元，2700 元，40 人，22 人。
板书设计
意义的应用及典型数学模型
按比分配：
1、转化成部分与整体之间的关系：
a:b 转化成× × 是× × 的
a
a+b
2、转化成两者之间的关系：
a:b 转化成× × 是× × 的
b
a
根据问题和已知的条件，可分为三类问题：
1、求甲数？已知其它条件：
根据数量关系，直接用乘法。
2、求乙数？即求单位“1”，已知其它条件：
根据数量关系，建议用方程，也可以用除法
3、求
b
a？，即求关系，已知其它条件：
根据数量关系，建议用方程，也可以用除法。
在实际操作中，根据题目中数量关系的复杂
程度，选择合适的方法，一般关系比较简单，
多采用算术法；题目中数量关系复杂，一般
采用方程。
数量关系：
甲数比乙数多(少)
b
a
转化成：
甲数是乙数的(1±
b
a)
甲数=乙数× (1±
b
a)
数量关系
甲数比乙数的
b
a多(少)丙数。
甲数=乙数×
b
a± 丙数
数量关系
甲数是乙数的
b
a(或%)。
甲数=乙数×
b
a
数量关系
甲数比乙数多(少)丙数。
甲数=乙数± 丙数
教学反思
题目分类后，看着很简单，学生在对比练习时做的还好，也就是当有意识的去区分，
还能区分清楚，一旦打乱顺序，做起来就不理想了。因此，要学生重点理解公式归纳总结
的过程。才能有利于掌握。
教学资料包
教学资源
1、列综合算式或方程计算。
2.中心小学有110 人参加书写大赛，其中获一、二等奖的人数分别占和。获一、二等奖的
一共多少人？
3.一个篮球的价钱是120 元，一个排球的价钱是一个篮球价钱的，一个排球的价钱是一个
②、
①、
（ ）米
360 米
（ ）米
50 米
少
足球价钱的，一个足球多少钱？
4.某工厂四月份下半月用水5400 吨，比上半月节约20%，上半月用水多少吨？
5.学校购进一批图书，按3:5 的比例分给四、五年级，五年级分得150 本。这批图书共有多
少本？
6.某厂九月份用水28 吨，十月份比九月份节约。十月份比九月份节约多少吨？
7.舞蹈队有男生28 人，是女生人数的，舞蹈队有女生多少人？
8.生产一批零件，已经生产了1200 个。如果再生产300 个就完成任务了，已经生产了百分
之几？
9.水果店运来梨、苹果和橘子共600 千克，其中梨运来240 千克，运来的苹果和橘子的重
量比是5:4，水果店运来苹果多少千克？
答案：20，280；40 人；84 元；6750 吨；240 本；24 吨；32 人；80%；200 千克。
资料链接
数学三大危机
数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5 世纪）
发现了一个腰为1 的等腰直角三角形的斜边（即根号2）永远无法用最简整数比（不可公
度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。相传当时毕达
哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理
性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元
素的集合所组成，那S 包含S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒
谎！”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基
数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！
第一次数学危机
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、
学
古希腊哲学家毕达哥拉斯
术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题
“万物皆数”是该学派的哲学基石。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。而“一切数均可
表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建
立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1 的
正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只
能用一个新数来
表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。小
小的出现，却在
当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派
的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉
斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖
论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这
不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断
2
言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的
的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事
情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人
们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机
导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在
同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。这一工具一问世
就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛
顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之
上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时
就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。但经过牛顿和莱
布尼兹等著名科学家的努力（主要是柯西用极限的方法定义了无穷小量），微积分理论得
以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌美丽！
第三次数学危机
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的
猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉
数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现
代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。
1900 年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集
合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到
了……”
可是，好景不长。1903 年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就
是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素构造了一个集合S：S 由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S 是否
属于S 呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于
一个给定
相关书籍
的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两
难境地。如果S 属于S，根据S 的定义，S 就不属于S；反之，如果S 不属于S，同样根据
定义，S 就属于S。无论如何都是矛盾的。
其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897 年，布拉利和福尔蒂提出了
最大序数悖论。1899 年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及
集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素
悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖
论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这
一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将
结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟
了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就像在平静的数学水面
上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。
第三次数学危机的解决排除悖论
危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论
进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必
须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有
价值的内容得以保存下来。”1908 年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集
合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF 系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了
康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF 系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出
的NBG 系统等。
公理化集合系统
成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一
方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的
需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又
极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数
学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。
