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专题强化十五 带电粒子在电场中运动的综合问题
【复习目标】
1.掌握带电粒子在电场和重力场的复合场中的运动规律。 2.知道“等效重力场”的概念。 3.会用
动力学观点和能量观点分析电场中的力电综合问题。
考点一 带电粒子在等效重力场中的运动
【知识梳理】
1.
注意:(1)这里的最高点不一定是几何最高点。
(2)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。
2.“等效最高点”和“等效最低点”示意图
【典例剖析】
例1 (多选)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L 的绝缘
细线，细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ
角，此时让小球获得初速度且恰能绕O 点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为
g。下列说法正确的是( )
A.匀强电场的电场强度E＝mg tanθ
q
B.小球动能的最小值为Ek＝mgL
2cosθ
C.小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D.小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【解题妙招】
将恒定的静电力和重力看成一个等效力，可以将原来圆周运动的最低点和最高点的情况进行拓展，
等效最高点在沿等效力方向的直径上。
【即时训练】
1.(多选)(2025·江西南昌模拟)如图所示，竖直平面内有固定的半径为R 的光滑绝缘圆形轨道，水平
匀强电场平行于轨道平面向左，P、Q 分别为轨道上的最高点、最低点，M、N 分别是轨道上与圆
心等高的点。质量为m、电荷量为q 的带正电小球(可视为质点)在轨道内运动，已知重力加速度为
g，电场强度E＝3mg
4 q ，要使小球能沿轨道做完整的圆周运动，则下列说法正确的是( )
A.小球在轨道上运动时，动能最小的位置电势能最大
B.小球在轨道上运动时，机械能最大的位置一定在M 点
C.小球过Q、P 两点受轨道弹力大小的差值为6mg
D.小球过Q、P 两点受轨道弹力大小的差值为7.5mg
【典例剖析】
例2 (多选)如图所示，分别将带正电、带负电和不带电的三个等质量小球以相同的水平速度由P
点射入水平放置的平行金属板间，已知上板带负电，下板接地。三小球分别落在图中A、B、C 三
点，则下列选项中正确的是( )
A.落点在A 点的小球带正电，落点在B 点的小球带负电
B.三小球在电场中的加速度大小关系是
aA<aB<aC
C.三小球在电场中运动的时间相等
D.三小球到达下板时的动能关系是
EkC>EkB>EkA
【解题妙招】
将恒定的静电力和重力看成一个等效力，替换原来平抛运动模型中的重力，相应解题方法便可移
植过来。
考点二 电场中的力、电综合问题
【知识梳理】
要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带电粒子
受力与运动的关系、功能关系和能量关系等多角度进行分析与研究。
1.动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受电场力和重力都是恒力，可用正交分解法。
(2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要
考虑。
2.能量的观点
(1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是
对全过程使用动能定理。
(2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。
3.动量的观点
(1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正
方向。
(2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否在某
方向上动量守恒。
【典例剖析】
例3 (2024·河北卷，13)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系住一带电小球，在
竖直平面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低点，B 点与O 点等高。当
小球运动到A 点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)，质量为m，A、B
两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求:
(1)电场强度E 的大小;
(2)小球在A、B 两点的速度大小。
例4 (2025·湖北襄阳模拟)如图甲所示，两个半径为R 的竖直固定的绝缘光滑1
4细圆管道与粗糙水
平地面AB 在B 点平滑相切，过管道圆心O1O2的水平界面下方空间有水平向右的电场，记A 点所
在位置为坐标原点，沿AB 方向建立x 坐标轴，电场强度大小随位置x 变化如图乙所示。质量为
m、带电荷量为＋q(q>0)的小球P 静止在A 点，与地面间动摩擦因数μ＝0.5。另有一光滑绝缘不带
电小球Q，质量为m
2 ，以速度v0＝3
2
❑√2gR向右运动，与小球P 发生弹性正碰，碰撞时间极短，且
P、Q 间无电荷转移，碰后P 球可从B 点无碰撞进入管道。已知A、B 间距离为4R，E0＝mg
2q ，重
力加速度为g，不计空气阻力，小球P、Q 均可视为质点。求:
(1)碰后小球P 的速度大小vP;
(2)小球P 从A 点运动到管道最高点C 的过程中静电力做的功WAC;
(3)小球P 再次到达水平地面时与B 点的距离。
【即时训练】
2.(2025·山东实验中学高三模拟)如图所示在电场强度为E 的匀强电场中有一带电绝缘物体P 处于
水平面上。已知P 的质量为m、带电荷量为＋q，其所受阻力与时间的关系为f＝f0＋kt。t＝0 时物
体P 由静止开始运动直至速度再次为零的过程中，以下说法正确的是( )
A.物体达到最大速度的时间qE - f 0
mk
B.物体达到的最大速度为(qE - f 0)
2
2mk
C.全过程中，物体所受静电力的冲量为qE(qE - f 0)
2k
D.全过程中，物体所受阻力f 的冲量为f 0(qE - f 0)
k
【限时训练】（40min）
1.如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另
一端固定于O 点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b。不计空气阻力，
则下列说法正确的是( )
A.小球带负电
B.静电力与重力平衡
C.小球在从a 点运动到b 点的过程中，电势能减小
D.小球在运动过程中机械能守恒
2.(2025·四川绵阳模拟)如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H 是竖直光滑绝缘圆轨道的八等分点，
AE 竖直，空间存在平行于圆轨道面的匀强电场，从A 点静止释放一质量为m 的带电小球，小球
沿圆弧恰好能到达C 点。若在A 点给带电小球一个水平向右的冲量，让小球沿轨道做完整的圆周
运动，则小球运动过程中( )
A.E 点的动能最小
B.B 点的电势能最大
C.C 点的机械能最大
D.F 点的机械能最小
3.真空中存在空间范围足够大的水平向右的匀强电场，在电场中，一个质量为m、带电的小球在
B 点静止时细线与竖直方向的夹角为37°，小球所带的电荷量为q，细线的长度为l，重力加速度
为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是( )
A.小球带负电
B.电场强度的大小E＝3mg
5q
C.若将小球从A 点由静止释放，则小球从A 点运动到C 点的过程中电势能增加了0.75mgl
D.若将小球从A 点由静止释放，则小球运动到C 点时受到细线的拉力大小为3mg
4.(2024·海南文昌中学模拟)如图所示，处于真空中的匀强电场与水平方向成θ 角，直线AB 与匀强
电场E 互相垂直。在A 点以大小为v0的初速度水平抛出一质量为m、带电荷量为＋q 的小球，经
时间t，小球下落一段距离过C 点(图中未画出)时速度大小仍为v0，在小球由A 点运动到C 点的过
程中，下列说法中正确的是( )
A.小球的电势能减少
B.C 可能位于AB 直线的右侧
C.小球的机械能减少量一定等于1
2mg2t2
D.小球的机械能减少量一定大于1
2mg2t2
5.如图所示，一带电的平行板电容器固定在绝缘底座上，底座置于光滑水平面上，一光滑绝缘轻
杆左端固定在电容器的左极板上，并穿过右极板上的小孔，电容器极板连同底座总质量为2m，底
座锁定在水平面上时，套在杆上质量为m 的带电环以某一初速度由小孔进入电容器后，最远能到
达距离右极板为d 的位置。底座解除锁定后，将两极板间距离变为原来的2 倍，其他条件不变，
则带电环进入电容器后，最远能到达的位置距离右极板( )
A.1
2d
B.d
C.2
3d
D.4
3 d
6.(2025·福建漳州模拟)如图所示，质量为9m 的靶盒(可视为质点)带正电，电荷量为q，静止在光
滑水平面上的O 点。O 点右侧存在电场强度大小为E、方向水平向左的匀强电场。在O 点左侧有
一质量为m 的子弹，以速度v0水平向右打入靶盒后与靶盒一起运动。已知子弹打入靶盒的时间极
短，子弹不带电，且靶盒带电荷量始终不变，不计空气阻力。
(1)求子弹打入靶盒后的瞬间，子弹和靶盒共同的速度大小v1;
(2)求子弹打入靶盒后，靶盒向右离开O 点的最大距离s;
(3)若靶盒回到O 点时，第2 颗完全相同的子弹也以v0水平向右打入靶盒，求第2 颗子弹对靶盒的
冲量大小I。
7.如图所示，光滑水平面AB 和竖直面内的光滑1
4圆弧导轨在B 点平滑连接，导轨半径为R。质量
为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由静止释放，脱离弹簧后经过B 点时的速度大小为
❑√gR，之后沿轨道BO 运动。以O 为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥－R 区域有方向与x 轴夹
角为θ＝45°的匀强电场，进入电场后小球受到的静电力大小为❑√2mg。小球在运动过程中电荷量
保持不变，重力加速度为g。求:
(1)弹簧压缩至A 点时的弹性势能;
(2)小球经过O 点时的速度大小;
(3)小球过O 点后运动的轨迹方程。
8.如图所示，在竖直平面内，一半径R＝0.5 m 的光滑绝缘圆弧轨道BCD 和绝缘水平轨道AB 在B
点相切，BC 为圆弧轨道的直径，O 为圆心，OC 和OD 之间的夹角θ＝37°，整个装置固定在水平
向左的匀强电场中，匀强电场的电场强度大小E＝5
3×105 V/m。一质量m＝100 g 的带电小滑块从
A 点由静止释放后沿水平轨道向左运动，经B 点进入圆弧轨道，通过D 点后落回水平轨道。已知
滑块运动到D 点时所受合力的方向指向圆心O，且此时滑块对圆弧轨道恰好没有压力。不计空气
阻力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6。求:
(1)小滑块所带的电荷量;
(2)小滑块通过C 点时，对圆弧轨道的压力大小;
(3)小滑块落回水平轨道位置与B 点之间的距离。
