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第25 讲 万有引力定律及应用
一、 考点精讲练
考点01：开普勒定律（必备知识+2 例+2 变式+能力提升）
考点02：万有引力定律（必备知识+2 例+2 变式+能力提升）
考点03：计算天体的质量和密度（必备知识+1 例+2 变式）
考点04：相对论的时空观和牛顿力学的局限性（必备知识+1 例+2 变式）
二、 巩固提升（精选18 道题）
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律
(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭
圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连
线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律
(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它
的公转周期的二次方的比都相等
a
3
T
2＝k，k 是一个与
行星无关的常量
【例1-1】（2025·云南·高考真题）国际编号为192391 的小行星绕太阳公转的周期约为5.8 年，该小行星
与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1AU，八大行星绕
太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（
）
行星
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
考点一
开普勒定律
本讲要点
轨道半径R/AU
0.39
0.72
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A．金星与地球的公转轨道之间
B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间
D．天王星与海王星的公转轨道之间
【答案】C
【详解】根据开普勒第三定律可知
r行
3
T 行
2 = r地
3
T 地
2
其中r地=1AU，T 地=1年，T 行=5.8年
代入解得r行≈3.23 AU
故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。故选C。
【例1-2】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图所示为地球和哈雷彗星绕太阳运行的示意图，若哈雷彗星在近
日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1，加速度大小为a1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速
度大小为v2，加速度大小为a2，下列说法正确的是（ ）
A．v1小于v2
B．a2=
v2
2
r2
C．a1：a2=
r2
2
r1
2
D．地球与太阳连线和哈雷彗星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等
【答案】C
【详解】A．根据开普勒第二定律，设Δt →0，扫过的面积可认为是直角三角形，在近地点和远地点有
r1·v1Δt
2
= r2·v2Δt
2
，可得：
v1
v2
= r2
r1
，因r2>r1，故v1大于v2，故A 错误；
BC．在近日点，由万有引力定律和牛顿第二定律可得GMm
r1
2
=ma1，a1= GM
r1
2
在远日点，由万有引力定律和牛顿第二定律可得
GMm
r2
2
=ma2，a2= GM
r2
2
故a1：a2= r2
2
r1
2
哈雷彗星在远日点做近心运动，则有GMm
r2
2
>m v2
2
r2
，所以a2> v2
2
r2
，故B 错误，C 正确；
D．哈雷彗星与太阳连线在相同时间内扫过相等的面积，哈雷彗星与太阳连线扫过的面积和地球与太阳连
线扫过的面积不相等，故D 错误。故选C。
【变式1-1】（2025·浙江·高考真题）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a 运行到b、从
c 运行到d 的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1>S2。彗星在近日点与太阳中心的距离
约为地球公转轨道半径的0.6 倍，则彗星（ ）
A．在近日点的速度小于地球的速度
B．从b 运行到c 的过程中动能先增大后减小
C．从a 运行到b 的时间大于从c 运行到d 的时间
D．在近日点加速度约为地球的加速度的0.36 倍
【答案】C
【详解】A．地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力G Mm
r
2 =m v
2
r →v = ❑√
GM
r
哈雷彗星在近日点的曲率半径小于地球半径，因此哈雷彗星在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度，
A 错误；
B．从b 运行到c 的过程中万有引力与速度方向夹角一直为钝角，哈雷彗星速度一直减小，因此动能一直减
小，B 错误；
C．根据开普勒第二定律可知哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同，根据S1>S2可知从a 运行到
b 的时间大于从c 运行到d 的时间，C 正确；
D．万有引力提供加速度G Mm
r
2 =ma→a= GM
r
2
则哈雷彗星的加速度a1与地球的加速度a2比值为
a1
a2
= r2
2
r1
2 =
1
0.36 ，D 错误。故选C。
【变式1-2】（2025·广东广州·三模）如图所示，霍曼转移轨道是以较低能耗从地球发送探测器到火星的转
移轨道，该轨道以太阳为焦点，近日点、远日点分别与地球轨道、火星轨道相切。在地球上将火星探测器
发射，探测器从地球轨道出发，在太阳引力作用下，沿霍曼转移轨道无动力运行到达火星轨道。地球、火
星的公转轨道可近似为圆轨道，火星公转轨道半径约为地球公转轨道半径的1.5倍，则探测器从地球轨道
运动至火星轨道用时约为（ ）
A．0.3年
B．0.7年
C．1 年
D．1.4年
【答案】B
【详解】设地球公转轨道半径为r0，则霍曼转移轨道的半长轴r = 1.5r0+r0
2
=1.25r0
设探测器从地球轨道运动至火星轨道用时为t，根据开普勒第三定律有
r0
3
T 0
2 =
r
2
(2t )
2
其中T 0=1年，解得t = 5 ❑√5
16 T 0≈0.7年，故选B。
【解题能力提升】
开普勒三定律的理解和应用
1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
3.如图，已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距
太阳距离为r1，远日点距太阳距离为r2。
由开普勒第二定律可得1
2v1·Δt·r1＝1
2v2·Δt·r2，解得v1
v2
＝r2
r1
，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离
成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。
4.开普勒第三定律a
3
T
2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同。但该定律只能用在
同一中心天体的星体之间。
1.万有引力定律
(1)内容:自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和
m2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。即F＝Gm1m2
r
2
，G 为引力常量，通常取G＝
6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。
(2)适用条件
①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G Mm
R
2 ，得g＝GM
R
2 。
(2)地球上空的重力加速度大小g'
地球上空距离地球中心r＝R＋h 处由mg'＝
GMm
( R＋ℎ)
2，得g'＝
GM
( R＋ℎ)
2。
3.万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0。
推论 2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M')对其
的万有引力，即F＝G M ' m
r
2
。
【例2-1】（2025·全国卷·高考真题）“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空
轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，（ ）
A．受月球的引力大小保持不变
B．相对月球的速度大小保持不变
考点二
万有引力定律
C．离月球越近，其相对月球的速度越大
D．离月球越近，其所受月球的引力越小
【答案】C
【详解】AD．“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时与月球的距离不断发生变化，根据F =G Mm
r
2 可知受
月球的引力大小发生变化，离月球越近，其所受月球的引力越大，故AD 错误；
B．根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时相对月球的速度大小改变，近月点速
度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B 错误，C 正确。
故选C。
【例2-2】（2025·辽宁朝阳·模拟预测）二十四节气是古人智慧的结晶，他对于我们现在的生产和生活影响
意义深远，我们把春分夏至秋分冬至按照如图位置安排，则下列说法中正确的是（ ）
A．地球每年运行到冬至位置时线速度最小
B．由秋分到冬至的时间为周期的四分之一
C．地球经过冬至和夏至位置时速度比为r1
r2
D．地球在夏至与冬至位置时受到太阳的万有引力之比为(
r1
2
r2
2)
【答案】D
【详解】A．由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，相同时间内，扫过相同的面积，所以冬
至时运行速度最大，故A 错误；
B．地球不是绕太阳做匀速圆周运动，由秋分到冬至的时间为不等于（小于）周期的四分之一，故B 错误；
C．行星从轨道的冬至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积
S1= 1
2 ×v1t ×r1同理，行星从轨道的夏至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的
扇形，其面积S2= 1
2 ×v2t ×r2
根据开普勒第二定律1
2 ×v1t ×r1= 1
2 ×v2t ×r2
可得
v1
v2
= r2
r1
,故C 错误；
D．根据万有引力表达式有F =G Mm
r
2 可得地球在夏至和冬至时，所受太阳的万有引力之比为F2
F1
=( r1
r2
)
2
，
故D 正确。故选D。
【变式2-1】（2025·广东·高考真题）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分
别约为地球到太阳距离的5 倍和7 倍。关于该小行星，下列说法正确的是（ ）
A．公转周期约为6 年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的1
25
【答案】D
【详解】A．根据题意，设地球与太阳间距离为R，则小行星公转轨道的半长轴为a= 5 R+7 R
2
=6 R
由开普勒第三定律有
(6 R)
3
T 2
2
= R
3
T 地
2
解得T =
❑√6
3T 地
2 =6 ❑√6年,故A 错误；
B．从远日点到近日点，小行星与太阳间距离减小，由万有引力定律F = G m1m2
r
2
可知，小行星受太阳引力
增大，故B 错误；
cC．由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，故C 错误。
D．由牛顿第二定律有GMm
r
2
=ma,解得a= GM
r
2 ,可知
a行
a地
=
R
2
(5 R)
2 = 1
25
即小行星在近日点的加速度是地球公转加速度的1
25，故D 正确；故选D。
【变式2-2】（多选）2024 年3 月20 日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月
任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h 的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A 距月心约为
2.0×10
3km，远月点B 距月心约为1.8×10
4km，CD 为椭圆轨道的短轴，已经万有引力常量
G =6.67×10
−11N⋅m
2/kg
2。下列说法正确的是（ ）
A．利用题中的条件可以估算月球的质量
B．鹊桥二号从C 经B 到D 的运动时间为12h
C．鹊桥二号在A、B 两点的速度大小之比约为1：9
D．鹊桥二号在A、B 两点的加速度大小之比约为81：1
【答案】AD
【详解】A．假设有一圆轨道的卫星绕月球做匀速圆周运动，该圆轨道半径等于环月椭圆冻结轨道的半长
轴，根据开普勒第三定律可知，该圆轨道的运行周期为24h，由万有引力提供向心力可得GMm
r
2
=m 4 π
2
T
2 r
可得月球的质量为M = 4 π
2r
3
GT
2
则利用题中的条件可以估算月球的质量，故A 正确；
B．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B 做减速运动，从B→D→A 做加
速运动，则从C→B→D 的运动时间大于半个周期，即大于12h，故B 错误；
C．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可得1
2 v A Δt ⋅r A = 1
2 vB Δt ⋅rB
可得鹊桥二号在A、B 两点的速度大小之比为v A:vB=rB:r A =1.8×10
4:2.0×10
3=9:1
故C 错误；
D．根据牛顿第二定律可得GMm
r
2
=ma
可知桥二号在 A、B 两点的加速度大小之比为aA
aB
= rB
2
r A
2 = (1.8×10
4)
2
(2.0×10
3)
2 = 81
1 ，故D 正确。故选AD。
【解题能力提升】
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如
图所示。
(1)在赤道上：G Mm
R
2 ＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G Mm
R
2 ＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力G Mm
R
2 等于重力mg 与向心力F 向的矢量和。越靠近两极，向心力越小，g 值越
大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMm
R
2
＝mg。
2．不同位置处重力加速度的比较
地面
地下
天上
两极
(或不计自转)
赤道
g＝＝
(R－h)
g＝
＝
g＝
g＝－Rω
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R。
考点三
计算天体的质量和密度
(1)由G Mm
R
2 ＝mg，得天体质量M＝g R
2
G 。
(2)天体密度ρ＝
M
V ＝
M
4
3 π R
3 ＝
3 g
4 π GR 。
2.天体质量和密度的计算方法
类型
方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质
量
的
计
算
利用运
行天体
r、T
G
m中m
r
2
＝m4 π
2
T
2 r
m 中＝4 π
2r
3
GT
2
只能得到中心
天体的质量
r、v
G
m中m
r
2
＝mv
2
r
m 中＝r v
2
G
v、T
G
m中m
r
2
＝mv
2
r ，G
m中m
r
2
＝m4 π
2
T
2 r
m 中＝v
3T
2π G
利用天体表面
重力加速度
g、R
mg＝
Gm中m
R
2
m 中＝g R
2
G
—
密
度
的
计
算
利用运
行天体
r、T、R
G
m中m
r
2
＝m4 π
2
T
2 r
m 中＝ρ·4
3 πR3
ρ＝3 π r
3
GT
2 R
3
当r ＝R 时，ρ ＝
3 π
GT
2
利用近地卫星
只需测出其运
行周期
利用天体表面
重力加速度
g、R
mg＝
Gm中m
R
2
，m 中＝ρ·4
3 πR3
ρ＝
3 g
4 π GR
—
【例3】（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行
多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R 和质量
M。为探测某自转周期为T 0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下
来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T 1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫
星的引力，可根据以上物理得到R =
a
2
3
b
2
3 −a
2
3
ℎ，M = 4 π
2 R
3
G c
2 。下列选项正确的是（ ）
A．a 为T 1，b为T 0，c为T 1
B．a 为T 1，b为T 0，c为T 0
C．a 为T 0，b为T 1，c为T 1
D．a 为T 0，b为T 1，c为T 0
【答案】A
【详解】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为R+ℎ、R
设小行星和卫星的质量分别为M 、m
由开普勒第三定律有（R+ℎ)
3
T 0
2
= R
3
T 1
2 ，解得R =
T 1
2
3
T 0
2
3 −T 1
2
3
ℎ
卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有GMm
R
2
=m 4 π
2
T 1
2 R
解得M = 4 π
2 R
3
GT 1
2
对应结果可得a 为T 1，b为T 0，c为T 1。故选A。
【变式3-1】（2025·陕晋青宁卷·高考真题）我国计划于2028 年前后发射“天问三号”火星探测系统，实
现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量
G 取6.67 × 10－11N m
⋅
2/kg2，根据以上数据可推算出火星的（ ）
A．质量
B．体积
C．逃逸速度
D．自转周期
【答案】A
【详解】轨道器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得
G Mm
r
2 =m v
2
r =mω
2r =m 4 π
2
T
2 r =ma
A．题中已知的物理量有轨道半径r，轨道周期T，引力常量G，可推算出火星的质量，故A 正确；
B．若想推算火星的体积和逃逸速度，则还需要知道火星的半径r，故BC 错误；
D．根据上述分析可知，不能通过所提供物理量推算出火星的自转周期，故D 错误。
故选A。
【变式3-2】（多选）（2025·安徽·高考真题）2025 年4 月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离
逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO 具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO
变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a 和b，卫星的运行周期为
T；卫星乙从DRO 变轨进入半径为r 的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量
为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（ ）
A．r = a+b+ R
2
B．r = a+b
2
+ R
C．M = 4π
2r
3
GT
2
D．M = 4π
2 R
3
GT
2
【答案】BC
【详解】AB．对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有( a+b+2 R
2
)
3
T
2
= r
3
T
2
可得r = a+b
2
+ R，故A 错误，B 正确；
CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得GMm
r
2
=m( 2π
T )
2
r
可得M = 4 π
2r
3
GT
2 ，故C 正确，D 错误。故选BC。
1．相对论时空观
(1)爱因斯坦的两个假设：
①在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。
②真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。
(2)爱因斯坦假设的结果
①时间延缓效应
如果相对于地面以v 运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为
Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝ 。
②长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v 相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之
间的关系是l＝ l0 。
2．牛顿力学的成就与局限性
牛顿力学适用于宏观物体，低速运动。
【例4】平直轨道上，一列火车对地速度为v，火车上一激光源发出一束激光，设光速为c，则地面上观察
者测得激光的速度为（ ）
A．c
B．v
C．c + v
D．c−v
【答案】A
【详解】根据狭义相对论的光速不变原理，真空中的光速c在所有惯性参考系中都是恒定值，与光源或观
察者的运动状态无关。因此，无论火车速度v如何，地面观察者测得的光速仍为c。故选A。
考点四
相对论时空观与牛顿力学的局限性
【变式4-1】惯性系S 中有一静止的边长为l 的正方形（轮廓如虚线框所示），从相对S 系沿如图中所示方
向以接近光速飞行的飞行器上测得该正方形的图像（灰色区域）是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由相对论尺缩效应可知运动方向上的边长变短，垂直运动方向的边长不变。故选C。
【变式4-2】A、B、C 是三个完全相同的时钟，A 放在地面上，B、C 分别放在以速度v1和v2朝相反方向飞
行的飞行器中，且v1<v2，地面上观察者认为走得最快和最慢的时钟分别是（ ）
A．B 和C
B．A 和C
C．B 和A
D．C 和A
【答案】B
【详解】根据狭义相对论的时间膨胀公式
Δt =
Δt0
❑√1−( v
c )
2得，A 钟静止于地面（速度v =0），其时间进程
最快，因为分母为1，Δt = Δt0；B 钟和C 钟的速度分别为v1和v2，且v1<v2。速度越大，分母❑√1−( v
c )
2
越
小，Δt越大，表明时间进程越慢。因此，C 钟速度最大，走得最慢。
故选B。
1．登月舱在离月球表面112 km 的高空圆轨道上，环绕月球做匀速圆周运动，运动周期为120.5 min，月球
的半径约为1.7×103 km，只考虑月球对登月舱的作用力，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则月球质量
约为（ ）
A．6.7×1022 kg
B．6.7×1023 kg
C．6.7×1024 kg
D．6.7×1025 kg
【答案】A
巩固提升
【详解】由万有引力引力提供向心力有G Mm
r
2 =m 4 π
2r
T
2
整理得月球得质量为M = 4 π
2r
3
GT
2
代入数据解得月球得质量为M = 2.35×10
20
3.49×10
−3 ≈6.7×10
22kg，A 正确。
故选A。
2．“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新
突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，（ ）
A．受月球的引力大小保持不变
B．相对月球的速度大小保持不变
C．离月球越近，其相对月球的速度越大
D．离月球越近，其所受月球的引力越小
【答案】C
【详解】AD．“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时与月球的距离不断发生变化，根据F =G Mm
r
2 可知受
月球的引力大小发生变化，离月球越近，其所受月球的引力越大，故AD 错误；
B．根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时相对月球的速度大小改变，近月点速
度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B 错误，C 正确。
故选C。
3．一艘飞船静止时船身长为L，它以0.2c（c是光速）的速度沿船身方向飞行越过地球，飞船与地面通
过电磁波信号相互联络.则（ ）
A．飞船上观测者测得飞船长度大于L
B．地面上观测者测得飞船长度小于L
C．飞船上观测者测得来自地面电磁波信号的速度大于c
D．地面上观测者测得来自飞船电磁波信号的速度小于c
【答案】B
【详解】A．飞船上的观测者测得该飞船的长度是静止时的长度L，故A 错误；
B．地面上的观测者测得该飞船的长度为： L❑√1−（0.2c
c
）
2< L，故B 正确；
CD．根据狭义相对论的光速不变原理，飞船上观测者测得来自地面电磁波信号的速度等于c，地面上观测
者测得来自飞船电磁波信号的速度也等于c，故CD 错误。
故选B。
4．以地面为参照系，宇航员在地面上的质量为 m0，在核心舱内的质量为 m，已知核心舱相对地面的飞行
速度为 v，如果只考虑狭义相对论效应，则 m 和 m0 的关系正确的是（ ）
A．m=m0
B．m=m0
❑√
1−c
2
v
2
C．m=m0
❑√
1−v
2
c
2
D．
m=
m0
❑√
1−v
2
c
2
【答案】D
【详解】根据爱因斯坦的狭义相对论公式，运动物体质量随速度的增大而增大，则有
m=
m0
❑√
1−v
2
c
2
故选D。
5．2024 年10 月30 日，“神舟十九号”载人飞船发射成功，如图所示，飞船关闭发动机在“奔向”空间
站的过程中，用h 表示飞船与地球表面的距离，a 表示它的加速度。忽略空气阻力，下列图像中能够描述
a 随h 变化关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设地球半径为R，根据万有引力定律和牛顿第二定律可得G
Mm
(R+ℎ)
2 =ma
解得a=
GM
(R+ℎ)
2,可知h 越大，a 越小，且a 与h 不是线性关系。故选B。
6．在地球附近的卫星沿椭圆轨道逆时针方向运动，如图中实线所示，A、B 分别为椭圆轨道上的近地点和
远地点。卫星在P 点短时间喷射气体实现变轨，变轨后绕图中虚线所示轨道做匀速圆周运动，若变轨后卫
星的运动周期变小，则下列说法正确的是（ ）
A．卫星变轨前在椭圆轨道P 点速率大于B 点速率
B．卫星变轨前在椭圆轨道P 点速率小于B 点速率
C．卫星变轨后轨道半径等于变轨前椭圆轨道半长轴
D．卫星变轨后轨道半径大于变轨前椭圆轨道半长轴
【答案】A
【详解】AB．卫星从P 点运动到B 点，万有引力做负功，故P 点速率大于B 点速率，故A 正确，B 错误；
CD．由开普勒第三定律a
3
T
2 =k知卫星的运动周期变小，则半径变小，小于椭圆半长轴，故CD 错误。
故选A。
7．轨道舱与返回舱的组合体，绕质量为M 的行星做半径为r 的圆周运动，轨道舱与返回舱的质量比为5:1。
如图所示，轨道舱在P 点沿运动方向向前弹射返回舱，分开瞬间返回舱相对行星的速度大小为2❑√
GM
r
，
G 为引力常量，此时轨道舱相对行星的速度大小为（ ）
A．2
5
❑√
GM
r
B．3
5
❑√
GM
r
C．4
5
❑√
GM
r
D．❑√
GM
r
【答案】C
【详解】轨道舱与返回舱的质量比为5:1，设返回舱的质量为m，则轨道舱的质量为5m，总质量为6m；
根据题意组合体绕行星做圆周运动，根据万有引力定律有G M ⋅6m
r
2
=6m v
2
r
可得做圆周运动的线速度为v = ❑√
GM
r
弹射返回舱的过程中组合体动量守恒，有6mv =5m v1+m v2
由题意v2=2❑√
GM
r
带入解得v1= 4
5
❑√
GM
r
故选C。
8．航空航天是人类拓展大气层和宇宙空间的产物。经过百余年的快速发展，该领域取得的重大成就标志
着人类文明的最新发展，也反映一个国家科学技术的先进水平。如图所示，卫星绕行星近似看作匀速圆周
运动，假设卫星质量在增加，行星质量在减少，卫星增加的质量等于行星减少的质量，且卫星的轨道半径
不变，则（ ）
A．行星对卫星的引力不变
B．行星对卫星的引力变小
C．卫星运行的周期变长
D．卫星运行的周期变短
【答案】C
【详解】AB．设行星的质量为M，卫星的质量为m，行星减小的质量为m1，开始引力为F =G Mm
r
2
质量变化后，引力为F
' =G ( M −m1)(m+m1)
r
2
=G Mm+( M −m−m1)m1
r
2
因为M −m−m1>0
可知引力增大，故AB 错误；
CD．根据G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r
得周期T =
❑√
4 π
2r
3
GM
行星的质量减小，卫星的运动半径不变，则周期增大，故C 正确，D 错误。
故选C。
9．在地球上，可通过天文观测估算太阳的密度。如图，地球上观测太阳的视角θ 极小，与观测者眼睛相
距为D、视角为θ 的物体宽度为d。已知地球公转周期为T，万有引力常量为G，θ 极小时sinθ≈tanθ。则
太阳密度ρ 可表示为（ ）
A．3π
GT
2(
D
d )
3
B．6π
GT
2(
D
d )
3
C．12π
GT
2(
D
d )
3
D．24π
GT
2 (
D
d )
3
【答案】D
【详解】设太阳质量为M，地球质量为m，地球绕太阳公转，有GMm
r
2
=m(
2π
T )
2
r
因为太阳密度ρ=
M
4
3 π R
3
由几何关系
R
d
2
= r
D
联立可得ρ= 24π
GT
2 (
D
d )
3
故选D。
10．我国发射的天问一号探测器经过Ⅰ轨道和Ⅱ轨道变轨后逐渐靠近火星。图中阴影部分为探测器与火星
的连线在相等时间内扫过的面积，下列说法正确的是（ ）
A．两阴影面积相等
B．探测器在Ⅱ轨道上通过P 点时的加速度小于在Ⅰ轨道上通过P 点时的加速度
C．探测器在Ⅱ轨道上通过P 点时的速度小于在Ⅰ轨道上通过P 点时的速度
D．探测器在Ⅰ轨道运行的周期小于在Ⅱ轨道运行的周期
【答案】C
【详解】A．由开普勒第二定律可知卫星绕同一中心天体运动时，在同一轨道上相等时间内，卫星与中心
天体连线扫过的面积相等，图中两个阴影部分是不同轨道上连线扫过的面积，则两阴影部分的面积不相等，
A 错误；
B．根据牛顿第二定律有G Mm
r
2 =ma
可知a=G M
r
2
则探测器在Ⅱ轨道上通过P 点时的加速度等于在Ⅰ轨道上通过P 点时的加速度，B 错误；
C．Ⅱ轨道相对于Ⅰ轨道是低轨道，由低轨道变轨到高轨道需要再切点位置加速，可知，探测器在Ⅱ轨道
上通过P 点时的速度小于在Ⅰ轨道上通过P 点时的速度，C 正确；
D．探测器在Ⅰ轨道运行的半长轴大于在Ⅱ轨道运行的半长轴，根据开普勒第三定律可知，探测器在Ⅰ轨
道运行的周期大于在Ⅱ轨道运行的周期，D 错误。
故选C。
11．地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，设地球公转周期为T。下列说法正确的是（
）
A．地球做匀变速曲线运动
B．冬至地球公转的角速度比夏至大
C．夏至地球的加速度最大
D．从夏至开始经历1
4 T地球正好位于秋分
【答案】B
【详解】A．地球沿椭圆轨道绕太阳运行，所受万有引力方向不断变化，加速度方向也不断变化，不是匀
变速曲线运动，故 A 错误；
B．根据开普勒第二定律，在相等时间内，地球与太阳的连线扫过的面积相等。冬至时地球离太阳较近，
夏至时离太阳较远，在相同时间内扫过相等面积，冬至时运动的弧长更长，由ω= v
r (线速度v 更大，半径
r 更小)可知，冬至地球公转的角速度比夏至大，故 B 正确；
C．根据万有引力提供合外力G Mm
r
2 =ma，可得a=G M
r
2
夏至时地球离太阳远，r 大，加速度小，故 C 错误；
D．地球绕太阳做椭圆运动，在不同轨道位置的线速度不同，从夏至开始经历1
4 T，地球不是正好位于秋
分，故 D 错误。
故选B。
12．2025 年3 月初，随嫦娥六号登月归来的四种饲草种子将进行解封试种。去年嫦娥六号返回器携带来自
月背的月球样品安全着陆在内蒙古四子王旗预定区域。若嫦娥六号探测器在月球附近轨道上运行的示意图
如图所示，嫦娥六号探测器先在圆轨道上做匀速圆周运动，运动到A 点时变轨为椭圆轨道，B 点是近月点。
下列说法正确的是（ ）
A．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短
B．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上从B 点运动到A 点的过程中动能增大
C．嫦娥六号探测器要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A 点加速
D．嫦娥六号探测器被月球捕获的过程中，月球对它的作用力大于它对月球的作用力
【答案】A
【详解】A．令图中圆轨道半径为R1，椭圆轨道的半长轴为R2，根据开普勒第三定律有R1
3
T 1
2 = R2
3
T 2
2
由于R1> R2，可知T 1>T 2，即在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短，选项A 正确；
B．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上经过B 点时的速度是近月点速率，大于远月点速率即经A 点时的速度，
故从B 点运动到A 点的过程中动能减小，选项B 错误；
C．图中圆轨道相对于椭圆轨道为高轨道，可知要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A 点减速，选项C 错误；
D．嫦娥六号探测器被月球捕获的过程中，月球对它的作用力与它对月球的作用力是一对相互作用力，大
小始终相等，方向相反，选项D 错误。
故选A。
13．2025 年4 月24 日，神舟二十号载人飞船成功发射，陈冬、陈中瑞和王杰三位航天员正在中国空间站
执行为期6 个月的任务。神舟飞船返回过程可简化为如图所示模型，椭圆轨道1 为载人飞船返回时的运行
轨道，圆形轨道2 为空间站运行轨道，P为两轨道切点，Q为轨道1 近地点，离地高度不计。已知轨道2
的半径为r，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，载人飞船在轨道1 的周期为T，引力常量为G。下
列分析或结论正确的是（ ）
A．地球质量M = 4 π
2r
3
GT
2
B．载人飞船在轨道1 上P点的加速度大于在轨道2 上P点的加速度
C．载人飞船在轨道1 上经过P点时速度为❑√
g R
2
r
D．载人飞船在轨道1 的运行周期和空间站运行周期之比为(
r + R
2r )
3
2
【答案】D
【详解】A．在轨道 2 上由力有引力来提供向心力 G Mm
r
2 =mr 4 π
2
T 2
2
解得地球质量为 M = 4 π
2r
3
GT 2
2
但是 T 2≠T，选项A 错误；
B．载人飞船在轨道 1 和空间站在轨道 2 上的P处，都由万有引力来提供合外力，根据 G Mm
r
2 =ma，因
r 相同，则加速度大小相同，选项B 错误；
C．在轨道 2 上由万有引力来提供向心力G Mm
r
2 =m v
2
r
在地球表面上有 G Mm
R
2 =mg
解得载人飞船在轨道 2 上的线速度大小为v =
❑√
g R
2
r
由于载人飞船从轨道 1 到轨道 2 要在 P 点加速，则载人飞船在轨道 1 上经过点时速度小于 ❑√
g R
2
r
，
选项C 错误；
D．轨道 1 和轨道 2 运行的半径 （或长半轴） 之比为 r1
r2
=
R+r
2
r
= R+r
2r
由开普勒第三定律 r
3
T
2 =k
可知载人飞船在轨道 1 的运行周期和空间站运行周期之比为 T 1
T 2
=
❑√(
r1
r2)
3
=(
r + R
2r )
3
2，选项D 正确。
故选 D。
14．如图，一小星球与某恒星中心距离为R 时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星
的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．若v = ❑√
GM
R
，小星球做匀速圆周运动
B．若❑√
GM
R <v <❑√
2GM
R
，小星球做抛物线运动
C．若v = ❑√
2GM
R
，小星球做椭圆运动
D．若v >❑√
2GM
R
，小星球可能与恒星相撞
【答案】A
【详解】A．根据题意，由万有引力提供向心力有GMm
R
2
=m v
2
R
解得v = ❑√
GM
R
可知，若v = ❑√
GM
R ，小星球做匀速圆周运动，故A 正确；
B．结合A 分析可知，若❑√
GM
R <v <❑√
2GM
R
，万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心
力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，而不是抛物线运动，故
B 错误；
C．若v = ❑√
2GM
R
，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物线运动，而不是椭圆运动，
故C 错误；
D．若v >❑√
2GM
R
，小星球将脱离恒星引力束缚，做双曲线运动，不可能与恒星相撞，故D 错误。
故选A。
15．（多选）2025 年4 月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，
DRO 具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO 变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的
近月点和远月点距月球表面的高度分别为a 和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO 变轨进入半径为r
的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的
引力，则（ ）
A．r = a+b+ R
2
B．r = a+b
2
+ R
C．M = 4π
2r
3
GT
2
D．M = 4π
2 R
3
GT
2
【答案】BC
【详解】AB．对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有( a+b+2 R
2
)
3
T
2
= r
3
T
2
可得r = a+b
2
+ R
故A 错误，B 正确；
CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得GMm
r
2
=m( 2π
T )
2
r
可得M = 4 π
2r
3
GT
2
故C 正确，D 错误。
故选BC。
16．（多选）极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极（轨道可视为圆轨道）。若某极地卫星从南
极的正上方开始到第二次运行至北极正上方，所用时间为t，已知地球半径为R（地球可看做球体），地
球表面的重力加速度为g，引力常量为G，由以上可知下列选项错误的是（ ）
A．卫星运行的角速度为3 π
t
B．卫星运行的线速度为4 πR
t
C．地球的质量为gR
G
D．卫星距地面的高度3√
R
2 gt
2
π
2
−R
【答案】BCD
【详解】A．某极地卫星从南极的正上方开始第二次运行至北极正上方，所用时间为t
即t = 3
2 T，所以卫星运行的周期为T = 2
3 t
卫星运行的角速度为ω= 2π
T = 3 π
t ，故A 正确；
B．根据卫星运动的向心力由万有引力提供G Mm
r
2 =mω
2r
地球表面的重力和万有引力相等G Mm
R
2 =mg
联立两式求解得r =
3√
R
2 gt
2
9 π
2
所以线速度v =ωr =
3√
3 π R
2 g
t
，故B 错误；
C．由G Mm
R
2 =mg
得地球的质量为M = g R
2
G ，故C 错误；
D．卫星距地面的高度ℎ=r −R =
3√
R
2 gt
2
9 π
2 −R，故D 错误。
本题选错误的，故选BCD。
17．（多选）我国发射的天问一号探测器经霍曼转移轨道到达火星附近后被火星捕获，经过系列变轨后逐
渐靠近火星，如图所示，Ⅰ轨道和Ⅱ轨道为其中的两个轨道。图中阴影部分为探测器在不同轨道上与火星
的连线在相等时间内扫过的面积，下列说法正确的是（ ）
A．两阴影部分的面积相等
B．探测器在Ⅰ轨道运行的周期小于在Ⅱ轨道运行的周期
C．探测器在Ⅱ轨道上通过P 点时的速度小于在Ⅰ轨道上通过P 点时的速度
D．探测器经过Ⅰ轨道P 点的加速度与经过Ⅱ轨道P 点的加速度相等
【答案】CD
【详解】A．根据开普勒第二定律可知，卫星绕同一中心天体运动时，在同一轨道上相等时间内，卫星与
中心天体连线扫过的面积相等，图中两个阴影部分是不同轨道上连线扫过的面积，则两阴影部分的面积不
相等，故A 错误；
B．探测器在Ⅰ轨道运行的半长轴大于在Ⅱ轨道运行的半长轴，根据开普勒第三定律r
3
T
2 =k可知，探测器
在Ⅰ轨道运行的周期大于在Ⅱ轨道运行的周期，故B 错误；
C．Ⅱ轨道相对于Ⅰ轨道是低轨道，由低轨道变轨到高轨道需要在切点位置加速，可知，探测器在Ⅱ轨道
上通过P 点时的速度小于在Ⅰ轨道上通过P 点时的速度，故C 正确；
D．根据牛顿第二定律有GMm
r
2
=ma
解得a= GM
r
2
可知，探测器在Ⅱ轨道上通过P 点时的加速度等于在Ⅰ轨道上通过P 点时的加速度，故D 正确；
故选CD。
18．设想在2125 年，人类开启了在大麦哲伦星系A 星球的太空移民计划。已知A 星球质量和半径均为地
球的0.5 倍，地球表面重力加速度g=10 m/s
2，忽略星球自转。一名质量m=50kg的驾驶员驾驶着一辆质
量m0=950kg的探险车在A 星球上进行探索。该车通过面积S =1m
2的光伏板吸收宇宙辐射获取能源，单
位面积接收辐射功率P0=1×10
5 W。当该车输出功率达接收辐射功率60%时，车辆将保持电量不变行驶。
已知行驶过程中的阻力为总重力的0.1 倍。
(1)若该车要保持电量不变，求行驶过程中的最大速度；
(2)若该车以a=1m/s
2恒定加速度启动车辆，全程行驶675m，到达时已达最大速度，求保持电量不变行驶
的时间。
【答案】(1)30 m/s (2)20s
【详解】（1）根据万有引力等于重力G Mm
R
2 =mg
则A 星球的重力加速度g0=2 g=20 m/s
2
光伏板吸收能量转化后的功率为P =η P0 S
解得P =6×10
4 W
该车的阻力为f =0.1(m+m0)g0=2000 N
可得，行驶过程中的最大速度为vm = P
f =30 m/s
（2）在匀加速阶段，根据牛顿第二定律F −f =(m+m0)a
可得，此过程的速度为v1= P
F =20 m/s
所用时间为t1= v1
a =20s
匀加速通过的位移大小为x1= v1
2 t1=200 m
此后开始恒定功率运动，根据功能关系有Pt2−f (x−x1)= 1
2 (m+m0)(vm
2 −v1
2)
解得t2=20s
