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抽象函数
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】抽象函数的性质
【题型二】常见抽象函数模型①（一次、二次、反比例）
【题型三】常见抽象函数模型②（指数、对数、幂函数、三角函数）
【题型四】复合函数的应用
【误区点拨】
易错点：忽视定义域和对称性与周期性弄混淆。
：以选择填空的形式考察性质，难度中等偏上。
：抽象函数求解的重要技巧：赋值法
1.赋值法使用，注意和题目条件作适当的联系；比如，涉及到奇偶行时候，可以考虑设字母为x 和-x，或
者取值为a 和-a。等等
2.转化过程要以相关定义为目的，不断转变；比如，涉及到单调性，欲寻找单调性证明和推导，可以设变
量为x1与x2两个变量，寻找f（x1）与f（x2）的大小关系。
3.还要学会用反例作论证，推出矛盾，可以直接排除对应的性质关系。
【题型一】抽象函数的性质
【例1】已知
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知函数定义域、对数、分数的性质列不等式性质求定义域.
【详解】由题设
，则
，可得
，
所以函数定义域为
.
故选：A
【例2】定义域均为R 的函数
，
满足
，且
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是偶函数
【答案】D
【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原
函数的对称关系.
【详解】因为
，
所以
，
即
，
所以
关于直线
对称，
因为
，
所以
关于
对称，即
为偶函数.
故选：D
【例3】已知不恒为零的函数
为定义在
上的奇函数，且函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据题意得到
与
，进而得到
的一个周期为4，从而得解.
【详解】由于函数
为偶函数，则
，即
，
又
为定义在
上的奇函数，所以
，且
，
所以
，则
，
故
的一个周期为4，则
.
故选：B．
【变式1】已知定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，
，则
（ ）
A．4047
B．4048
C．4049
D．4050
【答案】C
【分析】首先判断抽象函数的周期，再根据条件求函数值，再根据周期求函数值的和.
【详解】由
可得
，
故
的一个周期为4，
由
为奇函数可得
，得
，
对于
，令
，得
，则
，
令
，得
，又
，所以
，
则
，
故
.
故选：C.
【变式2】已知定义在
上的函数
是奇函数，对任意
都有
，当
时，
则
等于（ ）
A．2
B．
C．0
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数
的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得
的值.
【详解】定义在
上的函数
是奇函数，且对任意
都有
，
故函数
的图象关于直线
对称，∴
，故
，
∴
，∴
是周期为4 的周期函数．
则
．
故选：A．
【变式3】已知函数
定义域为
，对
，恒有
，则下列说法
错误的有（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
周期为
【答案】A
【分析】利用赋值法求
判断A；赋值法结合函数奇偶性的定义判断B；赋值法结合换元法判断C；利
用赋值法求得
，化简得
，即可判断D.
【详解】由
，
令
，
，有
，
可得
或，A 错；
当
时，令
，
则
，
，
函数
既是奇函数又是偶函数，
，
当
时，令
，
则
，则
，
函数
是偶函数，
，
综上，B 正确；
令
，则
，
故
，
由于
，令
，即
，
即有
，C 正确；
若
，令
，
则
，
所以
，
则
，
，
所以
，
则
周期为，D 正确.
故选：A
一、抽象函数的性质
1.周期性：f (x+a)=f (x)⇒T=a ；f (x+a)=−f (x)⇒T=2a ；
f (x+a)= k
f (x) ⇒T=2a
；（k 为常数）；f (x+a)=f (x+b)⇒T=|a−b|
2.对称性：
对称轴：f (a−x)=f (a+x)或者f (2a−x)=f (x) ⇒ f (x)关于x=a 对称；
对称中心：f (a−x)+f (a+x)=2b 或者f (2a−x)+f (x)=2b ⇒ f (x)关于(a,b)对称；
3.如果f (x)同时关于x=a 对称，又关于(b,c)对称，则f (x)的周期T=|a−b|
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①f (x) 在R 上是奇函数，且f (x)单调递增 ⇒若解不等式 f (x1)+f (x2)>0 ，则有
x1+x2>0 ；
f (x) 在R 上是奇函数，且f (x)单调递减 ⇒若解不等式 f (x1)+f (x2)>0 ，则有
x1+x2<0 ；
②f (x) 在R 上是偶函数，且f (x)在(0,+∞)单调递增 ⇒若解不等式 f (x1)>f (x2)，则有|x1|>|x2|（不
变号加绝对值）；
f (x) 在R 上是偶函数，且f (x)在(0,+∞)单调递减 ⇒若解不等式 f (x1)>f (x2)，则有|x1|<|x2|（变号
加绝对值）；
③f (x) 关于(a,b)对称，且f (x)单调递增 ⇒若解不等式 f (x1)+f (x2)>2b ，则有
x1+x2>2a ；
f (x) 关于(a,b)对称，且f (x)单调递减 ⇒若解不等式 f (x1)+f (x2)>2b ，则有
x1+x2<2a ；
④f (x) 关于x=a 对称，且f (x) 在(a,+∞)单调递增 ⇒若解不等式 f (x1)>f (x2)，则有
|x1−a|>|x2−a|（不变号加绝对值）；
f (x) 关于x=a 对称，且f (x) 在(a,+∞)单调递减 ⇒若解不等式 f (x1)>f (x2)，则有|x1−a|<|x2−a|
（不变号加绝对值）；
5.常见的特殊函数性质一览
①f (x)=loga√1+(mx )2±mx 是奇函数
②
f (x)=loga
k−x
k+x(f (x)=loga
k+x
k−x)（k 为常数）是奇函数
③
f (x)=1−ax
1+ax 或者
f (x)= 1+ax
1−ax 或者
f (x)= ax+1
ax−1 或者
f (x)= ax−1
ax+1 是奇函数
④
f (x)=
m
ax+1 关于(0, m
2)对称
⑤f [g(x)]复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇
【题型二】常见抽象函数模型①（一次、二次、反比例）
【例1】已知定义在
上的函数
满足
，
，
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用赋值法求
及
，然后利用单调性解不等式即可.
【详解】令
，得
.
令
，得
，解得
，
则不等式
转化为
，
因为
是增函数，且
，
所以不等式
的解集为
.
故选：A
【例2】已知函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
是偶函数
D．
没有极值点
【答案】D
【分析】令
，结合题设
为
上任意值且
，得到
为常
函数，进而判断各项的正误.
【详解】令
，则
，
所以
，且
为定义域内任意值，故
为常函数.
令
，则
，为奇函数且没有极值点，C 错，D 对；
所以
不恒成立，
不一定成立，A、B 错.
故选：D
【变式1】已知定义在
上的函数
满足
，则（ ）
A．
是奇函数且在
上单调递减
B．
是奇函数且在
上单调递增
C．
是偶函数且在
上单调递减
D．
是偶函数且在
上单调递增
【答案】A
【分析】令
，求出
，令
，求出
，再分别令
，
，即可求出函数
的解析式，进而可得出答案.
【详解】令
，则
，所以
，
令
，则
，所以
，
令
，则
，
所以
，
令
，则
，所以
，
因为
，且定义域关于原点对称，所以函数
是奇函数，
由反比例函数的单调性可得函数
在
上单调递减.
故选：A.
【变式2】已知函数
的定义域为
，且
，若
，则下列结论错误的
是（ ）
A．
B．
C．函数
是偶函数
D．函数
是减函数
【答案】C
【分析】首先利用赋值法求得
的值，再赋值
，求得
的解析式，即可判断C，再根
据函数的解析式，赋值判断BD.
【详解】对于A，令
、
，则有
，
又
，故
，即
，
令
、
，则有
，
即
，由
，可得
，
又
，故
，故A 正确；
对于C，令
，则有
，
则
，故函数
是奇函数，故C 错误；
对于D，有
，即
，
则函数
是减函数，故D 正确；
对于B，由
，令
，有
，故B 正确.
故选：C
【变式3】（多选）已知函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
是偶函数
【答案】ABD
【分析】根据已知的抽象函数性质，赋值（式）法求解即可.
【详解】令
，则
，即
. A 正确.
令
，则
.
令
，则
，则
.
故
. B 正确.
是非奇非偶函数. C 不正确.
是偶函数. D 正确.
故选：ABD.
抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数：
，则
，
【一次函数模型】
模型1：若
，则
；
模型2：若
，则
为奇函数；
模型3：若
则
；
模型4：若
则
；
【题型三】常见抽象函数模型②（指数、对数、幂函数、三角函数）
【例1】已知函数
满足
，当
，若在区间
内，函数
有两个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】转化
，可转化为
有两个交点，数形结合即得解
【详解】由
，
函数
有两个不同零点，可转化为
有两个交点
当
，
故
作图如下，由于
,若
有两个交点
可得
故选：A
【例2】（多选）已知函数
的定义域为R，值域为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
是函数
的极小值点
【答案】AC
【分析】由已知利用赋值法分别检验各选项即可判断.
【详解】取
，则
，且
，故
，A 正确；
取
，符合题意，此时
，且
在
上单调递增，不存在极值点，B 和D 错误；
取
，则
，即
，C 正确，
故选：AC．
【变式1】已知函数
的定义域为
，且
，
时，
，
，则（ ）
A．
B．函数
在区间
单调递增
C．函数
是奇函数
D．函数
的一个解析式为
【答案】ABD
【分析】赋值法求值判断A 选项，定义法判断单调性判断B 选项，特殊值法判断C 选项，根据题干要求判
断解析式符合题意判断D 选项.
【详解】A 项：因为
，
当
时，
，令
，
则
，解得
，A 正确；
B 项：任取：
，
则
，
因为当
时，
，
所以
，
，
所以
，即
，
所以函数
在区间
单调递增，B 正确；
C 项：令
，则
，
解得
或
，当
，且
时，令
，
则
，
若
为奇函数，则
，即
，
解得
，与题意矛盾；
当
时
不为奇函数．
综上所述，函数
不是奇函数，C 错误；
D 项：当
，
则
，
，
所以
，易得
在
上单调递增，
所以
时，
，
，
故函数
的一个解析式为
，D 正确．
故选 :ABD
【变式2】已知
在
上是减函数，且
对任意的
都成立，写出一
个满足以上特征的函数
.
【答案】
答案不唯一
【分析】由
变形到
可考虑对数函数，然后根据单调性以及“ ”可考虑构造对数型函数
.
【详解】由题意可知，
可变化为
的形式，由此可想到对数函数，
又因为
在
上是减函数且
，
所以满足条件的一个函数可取
，
故答案为：
(答案不唯一).
【指数函数模型】
模型1：若
，则
；
模型2：若
，则
；
模型3：若
，则
；
模型4：若
，则
；
【对数函数模型】
模型1：若
，则
模型2：若
，则
模型3：若
，则
模型4：若
，则
模型5：若
，则
【幂函数模型】
模型1：若
，则
模型2：若
，则
代入
则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若
，则
模型2：若
，则
【正切函数模型】
模型：若
，则
模型3：若
，则
【题型四】复合函数的应用
【例1】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
，设
，
，计算得到答案.
【详解】
，
设
，则
，
故函数的值域为
.
故选：C
【例2】已知函数
在
上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由题设条件证明
，再验证
时条件满足即可.
【详解】若
在
上单调递增，
则必然在
处有定义，所以
，即
；
若
，则当
时
，所以
在
上有定义，
再由
知
在
上单调递增，所以
在
上单调递增.
故选：C.
【变式1】已知函数
，若
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
借助
的值域为
可得
要取遍所有的正数，对
进行分类讨论即可得.
【详解】若函数
的值域为
，则
要取遍所有的正数．
所以
或
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
故选：A．
【变式2】已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，即可判断
为奇函数，从而得到
关于
对称，则
，再判断
的单调性，由对称性将不等式化为
，再由单调性转化
为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为
，令
，
，
则
，
所以
为奇函数，则
关于原点对称，所以
关于
对称，
则
，
则
在定义域
上单调递增，
在
上单调递减，所以
在定义域
上单调递减，
则
在定义域
上单调递减，
则不等式
，即
，所以
，
则
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故选：B
【变式3】（多选）设函数
且
在区间
上单调递减，则
的取值可以
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用导数可求得
的单调性，由此可得
的大致图象；分别在
和
的情况下，根据复合函数单调性可确定
的单调性，结合
的图象可构造不等
式组求得
的范围.
【详解】令
，
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
令
，解得：
或
，
的大致图象如下图所示，
当
时，若
在
上单调递减，则
在
上单调递减，
，解得：
；
当
时，若
在
上单调递减，则
在
上单调递增，
或
，解得：
；
综上所述：实数
的取值范围为
，
可能的取值为
和
.
故选：AC.
1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：y=f [g(x)]，令：t=g(x)，则y=f (g(x))转化为y=f (t ),t=g(x)其中t 叫作中间变
量.g(x)叫作内层函数，y=f (t )叫作外层函数.
2.求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数 y=f [g(x)] 分解成y=f (t ),t=g(x)
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
y=f (g( x))在(a,b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
t=g( x)
y=f (t )
y=f (g( x))
增
增
增
增
减
减
减
增
减
易错点：对称性与周期性混淆
1.周期性：f (x+a)=f (x)⇒T=a ；f (x+a)=−f (x)⇒T=2a ；
f (x+a)= k
f (x) ⇒T=2a
；（k 为常数）；f (x+a)=f (x+b)⇒T=|a−b|
2.对称性：
对称轴：f (a−x)=f (a+x)或者f (2a−x)=f (x) ⇒ f (x)关于x=a 对称；
对称中心：f (a−x)+f (a+x)=2b 或者f (2a−x)+f (x)=2b ⇒ f (x)关于(a,b)对称；
3.如果f (x)同时关于x=a 对称，又关于(b,c)对称，则f (x)的周期T=|a−b|
例1、已知函数
的定义域为R，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数
的一个周期为，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为
，令
可得，
，所以
，令
可
得，
，即
，所以函数
为偶函数，令
得，
，即有
，从而可知
，
，故
，即
，所以函数
的一个周期为．因为
，
，
，
，
，所以
一个周期内的
．由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由
，联想到余弦函数和差化积公式
，可设
，则由方法一中
知
，
解得
，取
，
所以
，则
，所以
符合条件，因此
的周期
，
，且
，所以
，
由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
例2、已知函数
的定义域均为R，且
．若
的图像关
于直线
对称，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到
，从而得到
，
，然后根据条件得到
的值，再由题意得到
从而得到
的值
即可求解.
【详解】因为
的图像关于直线
对称，
所以
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
代入得
，即
，
所以
，
.
因为
，所以
，即
，所以
.
因为
，所以
，又因为
，
联立得，
，
所以
的图像关于点
中心对称，因为函数
的定义域为R，
所以
因为
，所以
.
所以
.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
变式1：已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶
函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于
，因为
为偶函数，所以
即
①，所以
，所以
关于
对称，则
，故C 正确；
对于
，因为
为偶函数，
，
，所以
关于
对称，由①求
导，和
，得
，所
以
，所以
关于
对称，因为其定义域为R，所以
，结合
关于
对称，从而周期
，所以
，
，故B 正确，D 错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，
故A 错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知
周期为2，关于
对称，故可设
，则
，显然A，D 错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为
，
均为偶函数，
所以
即
，
，
所以
，
，则
，故C 正确；
函数
，
的图象分别关于直线
对称，
又
，且函数
可导，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
，故B 正确，D 错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，
故A 错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
