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2025 年高考押题预测卷
高三数学·参考答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
A
B
D
C
B
D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
CD
BD
ABC
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．80
13．
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
【详解】（1）由题意可得
列联表：
男
女
合计
十分关
注
比较关
注
合计
，
没有
的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关. .......................7 分
（2）由题意知，8 人中男生
人，女生
人.
记“ 人中至少有1 名男生”为事件
，
则
........................13 分
16．（15 分）
【详解】（1）连接
，如图所示，
∵长方形
中，
，
分别是
，
的中点，
∴
且
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
且
，
又∵长方体中
且
，
∴
且
，
∴四边形
为平行四边形，得
.
又∵
平面
，
平面
，
∴
平面
.................................7 分
（2）以
点为原点，
，
所在直线为
轴，
轴，以
点为垂足，
垂直于平面
的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设
，
则
，
，
，
，
∴
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则有
，
令
，则
，
，即
，
设
为直线
与平面
所成角，
，
所以
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
..................................15 分
17．（15 分）
【详解】（1）题意，
，解得
，
所以椭圆
的方程为
................................4 分
（2）（i）证明：依题意，两条切线方程分别为
，
由
，化简得
，
同理
.
所以
是方程
的两个不相等的实数根，
则
.
又因为
，所以
，
所以
................................10 分
（ii）证明：由（
得，
，设
，则
，即
，
因为
，所以
，
得
，即
，
解得
，
所以
，
所以
为定值. ...............................15 分
18．（17 分）
【解析】（1）
，则
，
由题意可得
，解得
；..............................3 分
（2）由（1）可得：
，
当
时，则
恒成立，
令
，解得
；令
，解得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，令
，解得
或
，..............................6 分
①当
，即
时，令
，解得
或
；令
，解得
；
故
在
上单调递增，在
上单调递减；
②当
，即
时，则
在定义域内恒成立，
故
在
上单调递增；
③当
，即
时，令
，解得
或
；令
，解得
；
故
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述：当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
，
在
上单调递增；
当
，
在
上单调递增，在
上单调递减；..............................10 分
证明：（3）由（2）知：若
在区间
上存在零点，则
，解得
．
由（2）知：
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
构建
，则
，
令
（a）
（a），则
当
时恒成立，
故
（a）在
上单调递减，则
（a）
（3）
，
即
（a）
当
时恒成立，
则
（a）在
上单调递减，则
，
故
．..............................17 分
19．（17 分）
【解析】（1）
是以
为首项，以4 为公比的等比数列，
．
数列
是“螺旋递增数列”，
；..............................4 分
（2）数列
是“螺旋递增数列”，证明如下：
因为
，则
，所以
，
，则
所以数列
的奇数项是以1 为首项，2 为公比的等比数列，则
．
数列
的偶数项是以1 为首项，2 为公比的等比数列，则
．
所以
，故数列
是“螺旋递增数列”． ..............................10 分
（3）
是以
为首项，以2 为公差的等差数列，
，又数列
是“螺旋递增数列”，
故
，
．
①当
时，
，
又
恒成立，
恒成立，
．
②当
时，
，
，
又
恒成立，
恒成立，
综上①②，存在满足条件的实数，其取值范围是
．..............................17 分
