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专题01 集合
备战2026 年高考数学命题背景探究（全国通用）
目录
真题命题背景01 以集合交并补运算为命题背景...........................................................................1
真题命题背景02 以容斥原理为命题背景.......................................................................................2
真题命题背景03 以元素与集合的关系为命题背景.......................................................................3
真题命题背景04 以集合间的包含关系为命题背景.......................................................................4
基础过关练.....................................................................................................................4
提升巩固练.....................................................................................................................7
培优压轴练...................................................................................................................12
真题命题背景01 以集合交并补运算为命题背景
集合间的基本运算：
交集
，并集
，补集
真题练1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
后结合交集的定义可求
.
【详解】
，故
，
故选：D.
真题练2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合
，
，则
中元素个
数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
【答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
1
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【详解】因为
，所以
，
中的元素个数为，
故选：C．
真题练3．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为
即可.
【详解】由题意可得
，则
，选项A 正确；
，则
，选项B 错误；
，则
或
，选项C 错误；
或
，则
或
，选项D 错误；
故选：A.
真题练4．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集
，
，所以，
．
故选：A．
真题命题背景02 以容斥原理为命题背景
card ( A∪B)=card ( A)+card (B)−card ( A∩B)
2
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card ( A∪B∪C)=card ( A)+card (B)+card (C)−card ( A∩B)−card ( A∩C)
−card (B∩C)+card ( A∩B∩C)
真题练1．（2020·山东·高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，
60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的
比例是（ ）
A．62%
B．56%
C．46%
D．42%
【答案】C
【分析】由容斥原理即可得解..
【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
.
故选：C.
真题命题背景03 以元素与集合的关系为命题背景
集合中元素与集合的关系
属于
或不属于
若元素
在集合
中，记作
，
若元素
不在集合
中，记作
真题练1．（2022·全国乙卷·高考真题）设全集
，集合M 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先写出集合
,然后逐项验证即可
【详解】由题知
,对比选项知，
正确,
错误
故选:
3
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真题命题背景04 以集合间的包含关系为命题背景
集合间的基本关系：
（1）子集：对于两个集合
、
，若集合
中的任意一个元素都在集合
中，则
是
的子集；记作
，读作
包含于
（2）真子集：对于两个集合
、
，若集合
中的任意一个元素都在集合
中，集合
中至少有一个元
素不在集合
中，则
是
的真子集；记作
，读作
真包含于
（3）相等：若
，
，则
真题练1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分
和
两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
综上所述：
.
故选：B.
一、单选题
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）集合
的子集有（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
4
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【答案】D
【分析】根据集合中有
个元素，其子集有
个元素即可得解.
【详解】由题意得集合
中有3 个元素，则其子集有
个.
故选：D.
2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据并集的概念运算即可.
【详解】由题意可知
.
故选：D
3．（2025·广东梅州·模拟预测）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先解集合B，再求两集合的交集可得.
【详解】由
，得
，在数轴上表示集合A，B 如图，
，所以
.
故选：A.
4．（2025·河北·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据分式不等式解法求出集合
，再根据补集概念计算即可.
【详解】
或
，
所以
.
故选：A
5．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集
，集合
，则
（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果.
【详解】因为集合
，
，故
，
故选：B
6．（2025·全国·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出集合
，再根据题干的条件即可求出.
【详解】由题干知
，
，
，
，
，
则
，即
，所以实数
的取值范围是
.
故选：B．
7．（2025·四川巴中·模拟预测）已知集合
，若
，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据交集的结果有
，即可得参数范围.
【详解】由
，知
，则
.
故选：A
二、多选题
8．（2025·河南开封·二模）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据集合交并补的运算一一分析即可/
【详解】
，
对A，若
，则
，则根据
有
，显然矛盾，故A 错误；
对B，假设
，则
，根据
有
，显然矛盾，则
，故B 正确；
6
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对C，由A 知，
，则
，故C 正确；
对D，显然
，必有
，故D 错误；
故选：BC.
9．（2025·江西·模拟预测）已知集合
，
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
可以取3
【答案】AC
【分析】把
代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.
【详解】对于AB，若
，则任意实数
均满足
，因此
，A 正确，B 错误；
对于CD，由
，得
，解得
，C 正确，D 错误.
故选：AC.
10．（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合
、
，定义运算：
且
，
.若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可.
【详解】对于A 选项，根据题中信息可得
，A 对；
对于B 选项，根据题意可得
，故
，B 对；
对于C 选项，
，C 错；
对于D 选项，
，D 对.
故选：ABD.
一、单选题
7
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1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解二次不等式和分式不等式，明确集合
，再根据交集的概念进行计算.
【详解】由
，即
，解得
，所以
.
由
，移项得
，即
，等价于
，解得
，所以
.
则
.
故选：A
2．（2025·辽宁盘锦·三模）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由不等式性质以及对数函数的性质，求得集合，根据交集，可得答案.
【详解】依题意，
，
，故
．
故选：B.
3．（2025·河北唐山·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法求
，根据对数函数的单调性求
后可求
.
【详解】
，
，
故
，
故选：D.
4．（2025·湖南湘潭·一模）已知集合
则
（ ）
A．
B．
8
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C．
D．
【答案】B
【分析】通过求解分数不等式及指数不等式，再结合交集运算即可求解.
【详解】由
可得：
，
即
，所以
，
由
，可得
，所以
，
所以
，
故选：B
5．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知全集
，集合
，若
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化简集合
，再利用集合的包含关系列式求解.
【详解】依题意，
，
，
或
，
由
，得
，解得
，
所以a 的取值范围是
.
故选：B
6．（2025·辽宁大连·一模）已知集合
则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】B
【分析】利用对数函数的性质结合题目所给条件计算求出集合
，进而求出
.
【详解】令
，函数图象开口向上，
当
时，
取最小值
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
所以
，
9
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所以集合
，
所以
或
.
故选：B.
7．（2025·广东·一模）已知全集为
：
的定义域为集合
．
的解集为集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出
的定义域确定出
，求出已知不等式的解集确定出
，找出
与
补集的交集即可．
【详解】由
，得到
，即
，即
，
，
不等式
，变形得：
，
解得：
或
，即
，
，
则
，
故选：C．
8．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合
，
，则图中的阴影部分表示的集
合为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【分析】根据图象可知，阴影部分表示的是
，由此求得
的取值范围.
【详解】
或
，
根据图象可知阴影部分表示的是
，
10
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因为
，
，
所以
或
.
故选：A
二、多选题
9．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M 具有如下性质：①若
，则
；②若
，则
.下列说法中正确的有（ ）.
A．
.
B．
.
C．若
，则
.
D．若
，则
.
【答案】BC
【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B.
【详解】对于
，若
，令
，则
，令
，则
，令
，不存在
，即
，矛盾，所以
，故
错误，
对于
，由于集合
非空，取任意元素
，根据性质①，得
，再根据性质②，得
，进而
，故
正确，
对于
，因为
，所以
，因为
，所以
，故
正确，
对于
，若
，则
，故
错误，
故选：
.
10．（2025·河南·三模）已知全集
，集合
，
，
，若
，则（ ）
A．
的取值有个
B．
C．
D．
所有子集的个数为
【答案】BCD
【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出
的值，可判断A 选项；利用交集的定义可判
断B 选项；利用并集的定义可判断C 选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，因为
，
，且
，
则
或
，且
，
，解得
，故
的取值只有个，故A 错误；
11
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对于B 选项，
，
，所以
，故B 正确；
对于C 选项，
，
，故C 正确；
对于D 选项，
，
所以
，
，则
，
其
的子集的个数为
，故D 正确．
故选：BCD.
一、单选题
1．（2025·福建厦门·三模）已知集合
，
，若
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先解一元二次不等式求出集合
，然后由
可得在
时，
恒成立，将问题
转化为求
在
上的最小值，从而可求出
的取值范围.
【详解】由
，得
，解得
，
所以
，
因为
，
，
所以当
时，
恒成立，即
恒成立，
令
，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
12
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所以
在
上递减，在
上递增，
所以
，
所以
，即
的取值范围是
.
故选：B
二、多选题
2．（2025·四川绵阳·三模）已知集合
，对于
中的任意两个元素
都有
，则集合
的元素个数可以为（ ）
A．4 个
B．7 个
C．9 个
D．10 个
【答案】AB
【分析】通过对集合
中元素满足的不等式进行变形，分析元素之间的关系，利用函数单调性来确定集合
中元素个数的上限，并通过举例验证元素个数的可能性.
【详解】当
时，不满足集合元素的互异性，排除.
不妨设
（
效果一样），已知
，则
.
将其变形为
关于
的表达式：
，移项可得
，进一步得到
.
因为
且
，所以
，那么
.
由此可知
，所以集合
至多有
中的一个整数，若有两个，取较小者为
，会与不等式矛盾.
令
，对
求导，可得
，所以
在
上是递增函数.
假设存在
且
，令
，
，
由
的单调性可知
，这与
矛盾，
所以
中至多只有
中的一个整数.
因为
，所以集合
至多只有
中的一个整数.
因为
，所以集合
至多有
中的一个整数.
因为
，所以集合
至多有
中的一个整数.
又因为
，
，
，所以集合
中可以同时存在，
，.
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综上，集合
至多有
个元素.
，
符合条件，说明集合
的元素个数可以是
个或
个.
故选：AB.
3．（2025·福建福州·三模）若非空实数集
中存在最大元素
和最小元素
，则定义
.据此，
下列命题中不正确的是（ ）
A．若
，
，且
，则
B．若
，且
，则对任意
，都有
C．若
，
，则存在实数
，使得
D．若
，
，则对任意的实数
，总存在实数
，使得
【答案】ABC
【分析】对于选项A，首先根据题意求出
，然后求出
，即可得到
的值；对于选项B，可找出
反例证明选项B 错误；对于选项C，讨论
的不同范围下，
的不同范围；令
，即可验证选项D 的
正确性.
【详解】A 选项，由
，
，可得
，
，因为
，所以
，
，故A 错误；
B 选项，例如：
，
，满足
，但是
并不都大于等于
，故B 错误；
C 选项，由
，
，
当
，即
时，
；
当
时，可得
；
当
时，可得
；
当
时，可得
，所以不存在实数a，使得
，故C 错误；
D 选项，由
，
，取
，可得
，对任意实数a，总存
在b 使之成立，故D 正确.
故选：ABC.
三、解答题
4．（2025·湖北武汉·二模）已知集合
，集合B 满足
．
(1)判断
，
，
，
中的哪些元素属于B；
14
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(2)证明：若
，
，则
；
(3)证明：若
，则
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于
即可；
（2）先证明若
，
，则
，即可得到
，从而得证；
（3）依题意可得
，从而求出
，再说明
即可.
【详解】（1）因为
，所以
；
因为
，所以
；
因为
没有倒数，所以
；
因为
，所以
；
综上可得
，
.
（2）先证明：若
，
，则
；
设
，
，
为整数，
所以
，
由于
，
都是整数，所以
，
当
，
时，
，
，所以
，所以
；
（3）因为
，
所以
，
所以
，
都是整数，
所以
为整数，
所以
，
假如
，则
，则
应为的倍数，
15
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设
为整数，若
，则
不是的倍数；
若
，则
不是的倍数；
若
，则
不是的倍数；
所以
，即
.
5．（2025·江苏盐城·模拟预测）对于有限集合
，定义
，用
表示
集合
的元素个数.
(1)若
，求
；
(2)求证：
；
(3)设
，且
，记
，求
.
【答案】(1)4
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由
和
的定义可得结果；
（2）由
，代入
，化简即可证明；
（3）由集合的包含关系和组合数的计算可得结果.
【详解】（1）因为
，
所以
，
于是
.
（2）证：因为
，
所以
，
，
综上：
.
（3）当
时，
，
所以
时，
，
所以
，
16
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又
，
，
所以
，
所以
.
当
时结论也成立.
17
