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重难点培优11 导数中的双变量问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 双变量问题方法之同构构造函数（★★★★★）........................................................................3
题型二 双变量问题方法之比值换元（★★★★★）................................................................................4
题型三 双变量问题方法之差值换元（★★★★★）................................................................................6
题型四 双变量问题方法之主元法（★★★★★）....................................................................................7
题型五 双变量问题方法之对数均值不等式（★★★★★）....................................................................9
题型六 双变量题型之结合函数单调性（★★★★）..............................................................................10
题型七 双变量题型之结合极值（点）（★★★★★）..........................................................................11
题型八 双变量题型之结合最值（含恒能成立）（★★★★）..............................................................12
题型九 双变量题型之结合零点（★★★★★）......................................................................................13
题型十 双变量题型之不等式证明（★★★★★）..................................................................................14
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................15
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................15
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................18
1、双变量问题
导数中有一类问题涉及到两个变量，例如m 和n、a 和b、
和
，这就是双变量问题，它在高中函数与
导数知识模块中属于重难点问题，往往会作为压轴题出现.
2、处理导数双变量问题的常见方法
（1）构造函数法：对于等价双变量不等式问题，我们先令如
，再通过适当的变形，使得等式两
边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以令这个相同的形式为
，问题也许就转化成了
的单调性问题.
（2）换元法：就是将式子齐次化，化成形如
或
的函数，进行了齐次化后可以令
或者
作为单元，这样就达到了减元的目的.
（3）消元法：（利用根与系数的关系消元）如果两个变量是一个一元二次方程的根，则可以通过根与系
数的关系来消元.通过韦达定理可求
或
，可以考虑用
表示出
，或者用
表示出
.
（4）主元法：要证明的不等式或目标代数式中含有
和
两个变量，将其中一个变量看成主元，另一个
变量看成次元，将主元换成x，构造函数研究问题.
（5）对数均值不等式：
（其中
，
为正数）．
【证明】先证
，不妨设
，
则该不等式等价于
．
令
，则
，只需证
．
构造
（
），则
，
故
在
上单调递减，从而
，即
成立．
再证
，不妨设
，则该不等式等价于
，
令
，则
，只需证
，
构造
（
），
则
，
故
在
上单调递增，从而
，即
成立．
（6）指数均值不等式：若
，则
.
【证明】设
，则
，将
代入对数均值不等式
中，可得
，即
把
代入
.
综上，由对数均值不等式可得到指数均值不等式
.
题型一 双变量问题方法之同构构造函数
1．若对任意
，
，当
时，
，则a 的取值范围为 ．
2．（2024·四川仁寿·月考）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)存在
且
，使
成立，求
的取值范围．
题型二 双变量问题方法之比值换元
1．已知函数
.
(1)求出
的极值点；
(2)证明：对任意两个正实数
，且
，若
，则
.
2．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
的图象与x 轴交于A，B 两点，线段AB 中点的横坐标为
，证明：
．
题型三 双变量问题方法之差值换元
1．已知函数
,若
,且
,求证:
.
2．已知函数
,若
的两个零点为
且
,求
的取值范
围.
题型四 双变量问题方法之主元法
1．已知
，
，对于
值域内的所有实数
，不等式
恒成立，则
x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，对任意的买数
，证明：
.
3．已知函数
．
（1）求曲线
在点
，
处的切线方程；
（2）设
，讨论函数
在
，
上的单调性；
（3）证明：对任意的，
，有
．
题型五 双变量问题方法之对数（指数）均值不等式
1．已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）如果
，且
，证明：
.
2．已知函数
.
（1）若
恒成立，求
的取值范围；
（2）若
有两个零点
，证明：
.
3．已知函数
．
（1）若函数
在
上是增函数，求实数
的取值范围；
（2）如果函数
恰有两个不同的极值点
，
，求证：
．
题型六 双变量题型之结合函数单调性
【技巧通法·提分快招】
与函数单调性有关的双变量问题
此类问题一般是给出含有
的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利
用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.
常见结论：
(1)若对任意
,当
时恒有
,则
在D 上单调递增；
(2)若对任意
,当
时恒有
,则
在D 上单调递增；
(3)若对任意
,当
时恒有
,则
在D 上单调递增；
(4)若对任意
,当
时恒有
,则
在D 上单调递增.
1．已知
为不相等的正实数，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
对定义域内任意
，都有
，则正实数
的取值范围
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三下·浙江杭州·开学考试）已知函数
，其中
，为自然对数的底数.
(1)求
的单调区间；
(2)设
且
，请判断
与
的大小，并证明.
4．（2025·海南·模拟预测）已知函数
的图象在
处的切线与直线
平行．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
，且
时，
，求实数
的取值范围．
5．（24-25 高三下·海南·月考）已知
.
(1)求
的单调区间；
(2)设
，
是两个不相等的正数，证明：
题型七 双变量题型之结合极值（点）
【技巧通法·提分快招】
与极值点有关的双变量问题
与极值点
有关的双变量问题,一般是根据
是方程
的两个根,确定
的关系,再通过消
元转化为只含有
或
的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为
的齐次式,然后转化
为关于
的函数，此外若题中含有参数也可考虑把所给式子转化为关于参数的表达式.
1．（24-25 高三下·江西·月考）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间．
(2)设函数
有两个极值点
．
（i）求实数
的取值范围；
（ii）证明：
．
2．设函数
．
(1)
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个极值点
且
，证明：
．
3．（24-25 高三下·江西·月考）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求
的零点个数；
(3)若
有两个极值点
，证明：当
时，
.
题型八 双变量题型之结合最值（含恒能成立）
1．已知函数
，对任意
，存在
，使
，则
的最小值
为（ ）．
A．1
B．
C．
D．
2．若对任意正实数x，y 都有
，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川泸州·二模）已知两个不相等的正实数x，y 满足
，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·山东德州·月考）若对任意的
，总存在唯一的
，使得
成立，则实数a 的取值范围是 ．
5．已知函数
，若存在
，使得
，则
的最小值为
.
6．已知函数
，
，若
，
，则
的最大值为 ．
7．（2024·山西临汾·模拟预测）已知
，
恒成立，则
．
8．（23-24 高三上·云南曲靖·月考）已知函数
，函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
，使得
成立，求
的取值范围．
9．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知
，
，其中是自然对数的底数．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，
．存在
，
，使得
成立，试求实数
的取值范围．
10．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数
．
(1)若
，求函数
的最大值；
(2)若函数
有两个不同的零点m，n
．
（ⅰ）求实数k 的取值范围；
（ⅱ）若不等式
恒成立，求实数a 的取值范围．
题型九 双变量题型之结合零点
【技巧通法·提分快招】
与函数零点
有关的双变量问题,一般是根据
是方程
的两个根,确定
的关系,再通过
消元转化为只含有
或
的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为
的齐次式,然后转
化为关于
的函数,有时也可转化为关于
的函数,若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以
参数为自变量的函数.
1．已知函数
，若方程
有两个根
，证明:
.
2．若
，
为函数
的两个零点，且
，求证：
．
3．（2025·河南信阳·一模）已知函数
，其导函数为
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，
是函数
的两个零点，求证：
.
4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的最大值；
(2)当
时，
有两个不同的零点
，
，不等式
恒成立，求实数
m 的取值范围．
5．（2024·吉林·模拟预测）已知函数
，
.
(1)当
时，求函数
的单调区间与极值；
(2)若函数
有2 个不同的零点
，
，满足
，求a 的取值范围.
6．（24-25 高三下·云南临沧·月考）已知函数
，
(1)当
时，求
在
处的切线方程
(2)若
恒成立，求
的范围
(3)若
在
内有两个不同零点
，
，求证：
．
题型十 双变量题型之不等式证明
1．（23-24 高三上·河北沧州·月考）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若存在不相等的实数
，使得
，证明：
．
2．（23-24 高三下·北京·开学考试）已知
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设
，求
的单调区间；
(3)求证：当
时，
.
3．（2025·浙江·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若存在
，使得
.证明：
.
4．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，不等式
恒成立，求实数a 的值；
(3)设不同正数m，n 满足
，证明：
．
5．（2024·四川攀枝花·一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)设m，n 是两个不相等的正数，且
，证明：
.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知函数
，
，若存在
，
，使得
成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．已知
，且
，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，对于任意的
、
，当
时，总有
成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
有两个不同的极值点
，则下列说法不正确的（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三上·宁夏银川·月考）已知函数
(1)若函数f（x）在
处取得极值，求m；
(2)在（1）的条件下，
，使得不等式
成立，求a 的取值范围.
6．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)设
，证明：对任意
，
，
．
7．（2025·安徽合肥·一模）已知函数
，其中
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
有两个极值点
，
，证明：
8．已知函数
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
存在两个极值点
，
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
9．已知函数
，其中自然常数
．
(1)若
是函数
的极值点，求实数
的值；
(2)当
时，设函数
的两个极值点为
，且
，求证：
．
10．已知函数
，
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，不等式
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)令
，若存在
，
且
时，
，证明：
．
11．（2025·甘肃白银·三模）已知函数
，且曲线
在点
处
的切线方程为
.
(1)求实数
的值.
(2)当
时，证明：当
时，
.
(3)当
时，若存在
，使得
成立，证明：
.
12．已知函数
.
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)记函数
，且
的最小值为
.
（i）求实数
的值；
（ii）若存在实数
满足
，求
的最小值.
13．（23-24 高三上·河南周口·期末）已知函数
.
(1)若
在
上单调递减，求
的取值范围；
(2)若
，求证：
；
(3)在（2）的条件下，若方程
两个不同的实数根分别为
，
，求证：
.
14．（2024·湖南益阳·一模）若函数
.
(1)若
，且曲线
的切线过点
，求直线的方程；
(2)证明：若
，则
；
(3)若
恒成立，求
的取值范围.
15．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数
，当
时，
的切线斜率
．
(1)求
的单调区间；
(2)已知
，若
，求证：若
，则
．
16．已知函数
，其中
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
，
时，证明：
.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·广东广州·一模）（多选题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选题）已知直线
与曲线
相交于不同两点
，曲线
在点
处
的切线与在点
处的切线相交于点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·福建福州·期中）已知函数
，
为
的导函数．
(1)当
时，讨论函数
的单调性
(2)已知
，
，若存在
，使得
成立，求证：
．
4．（2024·安徽阜阳·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性．
(2)已知
是函数
的两个零点
．
（ⅰ）求实数
的取值范围．
（ⅱ）
是
的导函数．证明：
．
5．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
为增函数，求
的取值范围；
(2)已知
.
（i）证明：
；
（ii）若
，证明：
.
6．（24-25 高三上·天津·月考）已知函数
，
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
有三个零点
，
，
，且
，求证：
.
