高考数学 基础知识篇
（核心基础知识背记手册）
目录
基础知识背记01 集合.......................................................................................................................2
基础知识背记02 复数.......................................................................................................................3
基础知识背记03 平面向量...............................................................................................................4
基础知识背记04 基本不等式...........................................................................................................5
基础知识背记05 三角恒等变换与解三角形...................................................................................5
基础知识背记06 函数的对称性与周期性.......................................................................................8
基础知识背记07 指对幂计算、指数函数与对数函数...................................................................9
基础知识背记08 导数.....................................................................................................................11
基础知识背记09 数列.....................................................................................................................12
基础知识背记10 点线面的位置关系、平行与垂直.....................................................................13
基础知识背记11 外接球.................................................................................................................14
基础知识背记12 空间几何体的表面积与体积.............................................................................15
基础知识背记13 直线方程、圆的方程.........................................................................................16
基础知识背记14 椭圆、双曲线与抛物线.....................................................................................18
基础知识背记15 排列组合、二项式定理与微积分.....................................................................21
基础知识背记16 概率与统计.........................................................................................................22
1.集合有n 个元素
⑴、子集有
个
⑵、真子集有
个
⑶、非空真子集个数为
个
2.集合的基本运算
⑴、交集
⑵、并集
⑶、补集
3.德摩根公式
CU ( A∩B)=_________
CU ( A∪B)=_________
4.容斥原理之集合
中的元素个数
card ( A∪B)=_____________________
card ( A∪B∪C)=___________________________
1、复数的有关概念
⑴、实部
⑵、虚部
⑶、实数的部
分
⑷、虚数的部
分
⑸、共轭复数
，共轭复数
________，
⑹、复数的模
|z|＝|a＋bi|＝________________，
⑺、复数的分
类
①、形如z=a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b 分别是
它的_______和________;
②、若________，则a＋bi 为实数，
③、若________，则a＋bi 为虚数，
④、若________________，则a＋bi 为纯虚数.
2、复数的计算
z1＝a＋bi，
z2＝c＋di.
⑴、加法
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)
⑵、减法
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)
⑶、乘法
z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)
⑷、除法
＝＝
3、复数的几何意义
⑴、复数z＝a＋bi(a，b∈R)
________________；
⑵、向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi 的模，记作|z|或|a＋bi|，
即|z|＝|a＋bi|＝
.
4、复数特殊的技巧
，
，
，
5、数的分类
1、平面向量的概念
①、既有_______又有_______的量；向量的大小叫做向量的_______.
②、零向量：大小是_______，方向是_______.
③、单位向量：大小是，方向是与a_______，非零向量a 的单位向量为_______.
2、平面向量的线性运算
三角形法则
平行四边形法则
3、平面向量的坐标运算
=
,
=⃗
a+⃗b=____________ ⃗a−⃗b=____________⃗a⋅⃗b=____________
|⃗a|=___________
λ⃗a=__________=___________
设A
，B
,则
_________________.
4、平面向量的数量积与
投影⃗
a 与⃗b 的数量积(或内积)⃗a⋅⃗b=___________ =______________ ，
cosθ=__________=______________⃗
a在⃗b上的投影为|⃗a|⋅cosθ=_________=_________⃗
a在⃗b上的投影向量为|⃗a|⋅cosθ⋅⃗b
|⃗b|
=__________=_________
5、平行与垂直
=
,
=⃗
a//⃗b⇔____________⇔_____________⃗
a⊥⃗b⇔______________⇔______________
6、三角形的“几心”
重心—中线
性质1、O 是Δ ABC 的重心
性质2、
_________，
_________，
性质3、
_________，
垂心— 中
线
性质1、O 为垂心
___________________________
内心（内切圆的圆心）
性质1、O 为内心
__________________
外心（外接圆的圆心）
性质1、O 为
的外心
__________________
O
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
基本不等式
a+b
2 ≥√ab
变形1
a∈R+ ，b∈R+ ，
a+b
2 ≥√ab ⇒_______________ （积定和最小）
变形2
a∈R+ ，b∈R+ ，
a+b
2 ≥√ab ⇒_______________ （和定积最大）
变形3
a∈R+ ，b∈R+ ，a2+b2≥________
变形4
推广公式：
2
1
a + 1
b
≤√ab≤a+b
2 ≤√
a2+b2
2
1、特殊角
口诀：123,
321，
3927
不存在
2、同角公式
①、
②、
tanα=sinα
cosα ，
3、定义
已知终边上的点为
，求
=_______，
=_______，
=_______，
4、诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象
限
5、和差公式
①、sin(α+β)=___________________
，sin(α−β)=___________________
②、cos(α+β)=___________________
，cos(α−β)=___________________
③、tan(α+β)=________________
，
tan(α−β)=________________
6、二倍角公式
①、sin2α=_________⇒sinα cosα=_________
②、cos2α=____________=(cosα+sinα)(cosα−sinα)
③、cos2α=__________ ，cos2α=__________
7、万能公式
sin2α=____________ ，cos2α=____________
8、辅助角公式
①、
=
，(
，
，
).②、
=
，
8、图像变换
平移（左加右减，上加下减）
伸缩（横坐标相反，纵坐标相同）
.
9、三角恒等变
换的做题步
骤：
第一步：去平方，根号，
，该打开的就打开
第二步：化角
第三步：化函数名
题中
或
或
，都
统一化成统一的一个角
，
10、三角函数
的图像与性质
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
递增区间
在
上是增函数．
递减区间
对称轴
对称中心
无对称轴
对称中心
11、三角形的
性质
①、在△ABC 中，有
，
，
②、三角形的面积公式
SΔ ABC =1
2 ab sinC=_______=________
，
函数
性质
③、充要条件
，
12、正弦定理
基本定理：
（R 为
外接圆的半径）
变式：①、a=_____ b=_____, c=_____
②、sin A=____, sinB=____, sinC=____,
③、
④、
2R=_________=_________=
a+c
sin A+sinC =
b+c
sin B+sinC
13、余弦定理
b2=__________________
c2=__________________
cos A=b2+c2−a2
2bc
cosB=_____________
cosC=____________
13、判断三角
形的形状
锐角三角形A<90°
直角三角形A=90°
钝角三角形A>90°
cos A=0
b2+c2=a2
1、对称中心
是奇函数
是的对称中心是
是的对称中心是________
是的对称中心是
是的对称中心是________
是的对称中心是
总结：
2、对称轴
是偶函数
是的对称轴是
是的对称轴是
是的对称轴是________
总结：
3、周期
⑴、定义：若
,则T＝____(a>0)．
⑵、一些推论：
①．若
,则T＝____(a>0)．②．若
,则T＝____(a>0)．
③．若
, 则T ＝____④．若
, 则T ＝
_____．
总结：
4、对称性与
周期性的关
系
(1)、若函数
的图象既关于直线
对称,又关于直线
对称
,则
是
周期函数,且
是它的一个周期.
(2)、若函数
的图象既关于点
对称,又关于点
对称
,则
是周期
函数,且
是它的一个周期.
(3)、若函数
的图象既关于直线
对称,又关于点
对称
,则
是周
期函数,且
是它的一个周期.
1、指对幂运算
指数运算：⑴、
⑵、
⑶、
对数运算：⑴、对数式与指数式互化：ax=N ⇔____________ (a>0
a
且≠1)
⑵、两个基本对数：①loga1=___ ，②logaa=____
⑶、对数恒等式：①a
loga N=___ ，②logaaN=___
⑷、
loga(MN )=_________________ ⑸、
loga
M
N =__________________
⑹、loga nb
m=______________
2、换底公式
logab=______=_______=lnb
lna ；
变形1：
logab=
1
logba ⇒_________
变形2：
logablogbclogca=______⇒
logablogbclogcd=______
3、指数函数
y=ax
a>1
0<a<1
图
像
定义域
值域
性质
（2 ）当x>0 时，y>1; x<0
时,0<y<1
(2)当x>0 时，0<y<1;x<0 时, y>1
(3)在（-
，+
）上是_______
（3）在（-
，+
）上是_______
4、对数函数
图
1
a
0
1
a
象
性
质
（1）定义域：_______
（2）值域：_______
（3）当x=1 时，y=0 即过定点_______
（4）当0
1
x
时，
(
,0)
y
；
当
1
x
时，
(0,
)
y
（4）当
1
x
时，
(
,0)
y
；
当0
1
x
时，
(0,
)
y
（5）在（0,+）上为_______
（5）在（0,+）上为
_______
1、八大常用导数公
式
（1）C
'=_____ （C 为常数），（2）( xn)
'=_____ ，（3）(ex)
'=_____ ，
（4）(ax)
'=_________ ，（5）(ln x)
'=_____ ，（6）(loga x)
'=______ ，
（7）(sin x)
'=_______ ，（8）(cos x)
'=_________
2、导数的四则运算
（1）和的导数：[f (x)+g(x)]
′=f
'(x)+g
'(x)
（2）差的导数：[f (x)−g(x)]
′=f
'(x)−g
'(x)
（3）积的导数：[f (x)g(x)]
′=_________________ （前导后不导+ 前不导后
导）
（4）商的导数：[
f (x)
g(x)]
′
=_____________________ ，
g( x)≠0
3、复合函数求导
函数y=f (g( x))中，设u=g( x)（内函数），则y=f (u)（外函数）
∴y
'= y
u′⋅u
x′
4、导数的几何意义
（1）导数的几何意义
导数f '( x)的几何意义是曲线f ( x)在点P(x0, y0)处切线的_______
（2）直线的点斜式方程
直线的点斜式方程：已知直线过点P(x0, y0)，斜率为k ，则直线的点斜式方程
为：____________________________
5、导数与函数单调
性
f
'( x)>0,k>0,f ( x)单调_______
f '( x)<0,k<0,f ( x)单调_______
6、极值
（1）极值的定义
f ( x)在x=x0 处先↗后↘，f ( x)在x=x0 处取得_______
f ( x)在x=x0 处先↘后↗，f ( x)在x=x0 处取得_______
（2）极值与导数的关系
f ( x)是极值点⇒f '( x)=0
f '( x)=0⇒f ( x)是极值点，即：f '( x)=0 是f ( x)为极值点的必要非充分条件
等差数列
等比数列
1、定
义
⑴、定义法：______________
⑵、定义法：______________
2、通
项公
式
an=______________
an=______________
an=______________
an=______________
3、等
差或
等比
中项
⑴、若
成等差数列，则A 叫做
与
的
________，且________________；
①、当
时,则_____________，
②、当
时，则_____________.
⑵、若
成等比数列，则A 叫做
与
的
________，且________________；
①、当
时,则_____________，
②、当
时，则_____________.
4、前
n
项
和
①、
，
②、若
是等差数列 ，
______，
…也成等差数列.
①
、
②、若
是等比数列 ，
______，…也成等比数列.
5、求
通项
公式
⑴、公式法； ⑵、累加法与累乘法； ⑶、已知
求
⑷、构造法
6、求
数列
的前
n
项
和
⑴、裂项相消法
①
、
an=
1
n(n+1)=______________
②、
an=
1
(2n−1)(2n+1)=_______________
③、
an=
2n
(2n−1)(2n+1−1)
=______________
④、
an=
1
√n+1+√n=√n+1−√n
⑵、错位相减法
万能公式：
形如
的数列求和为________________，其中
，
，
1、立体几何
辅助线的作
法
①、若平面是四边形
②、若平面是三角形
作法：
作法：
2 、空间
点、线、面
的位置关系
⑴、直线与直线
⑵、直线与平面
⑶、平面与平面
①、____________（0 个交
点）
②、____________（0 个交
点）
③、____________（1 个交
点）
①、___________（0 个交
点）
②、___________（1 个交
点）
③、__________ （无数交
点）
①、___________（0 个交
点）
②、___________（1 条交
线）
3、平行
⑴、直线与平面的平行
⑵、平面与平面的平行
判定定理：
判定定理：
性质定理：
性质定理：
4、垂直
⑴、直线与平面的垂直
⑵、平面与平面的垂直
判定定理：
判定定理：
性质定理：
性质定理：
外
接
球
1 墙角体
鳖臑
挖墙角体
对角线相等的四面体
设长方体的长为
宽为
高为
则为空间几何体的外接球半径为
所以
几何体的外接球半径为
2
棱锥（侧楞垂直于地面）
直棱柱
设高为
，底面三角形外接圆半径设为
，
可以求出，则
3
切瓜模型（两个平面互相垂直）
小圆
直径
长可以求
出，平面
必在大圆上，
由
，解出
．
所以：
注意：常见的切瓜模型中，一旦出现
或
时，则
或
．
1、多面体的表面积与
体积
⑴、棱柱
⑵、棱锥
⑶、棱台
S
h
2、旋转体的表面积与
体积
⑴、圆柱
⑵、圆锥
⑶、圆台
⑷、球
3、简单凸多面体的分
类及其之间的关系
1、直线
方程
⑴、直线的倾斜角与斜率
①、A(x1, y1)，B(x2, y2)，k AB =__________ .②、k=____________ .
⑵、直线方程的五种形式
①、点斜式：________________ ．
②、斜截式 ：________________.
③、两点式：________________(
)(
、
(
)).
④、截距式：________________ (
分别为直线的横、纵截距，
)
⑤、一般式：________________ (其中A、B 不同时为0).
⑶、平行与垂直
①、l1: y=k1x+b1，l2: y=k2 x+b2，
l1//l2⇔___________ ,
l1⊥l2⇔__________
②、l1: A1 x+B1 y+C1=0，l2: A2 x+B2 y+C2=0 ，
l1//l2⇔____________
l1⊥l2⇔_____________
⑷、三种距离公式
①、平面两点间的距离公式(A
，B
).
|AB|=__________________
②、点到直线的距离(点
,直线：
)
d=_________________
③、两条平行线间的距离
l1: Ax +By +C1=0 ，l2: Ax +By +C2=0 ，
d=______________
⑸、对称问题
问题：已知
关于直线
对称点为
求
点的坐标。
解：
2、圆的
方程
⑴、圆的方程：
①、圆的标准方程________________ ，其中圆心坐标为________，半径为r
②、圆的一般方程________________ （D2+E2−4 F>0 ）
配方：(x+ D
2)
2
+( y+ E
2)
2
= D2+E2−4 F
4
，圆心________，半径为r=√D2+E2−4 F
2
⑵、直线Ax +By +C=0 与圆( x−a)2+( y−b)2=r2
的位置关系有三种:
①、d>r ⇔相离⇔Δ<0 ;
②、________ ⇔________ ⇔________ ；
③、________ ⇔________ ⇔________ ；
注意：弦长=
其中
d=|Aa+Bb +C|
√A2+B2
.
⑶、圆与圆的位置关系—设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
|O1O2|=d
①、d>r1+r2⇔外离⇔4条公切线;
②、________________
_____条公切线；
③、________________
_____条公切线；
④、________________
_____条公切线；
⑤、________________
_____条公切线；
3、圆的
切线方
程
(1)、已知圆
．
①、若已知切点
在圆上，则切线方程是____________________ ；
②、当
圆外时,
表示过两个切点的
切点弦方程．
(2)、已知圆
．
①、过圆上的
点的切线方程为____________________ ；
②、斜率为
的圆的切线方程为____________________ ；.
1 、椭圆方
程
⑴、定义
平面内与两个定点F1，F2的__________等于_____的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点
叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的_____．______________________________
|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c 为常数．
⑵、椭圆方程
①、椭圆的标准方程：
，离心率__________．
⑶、椭圆的性质
标准方程
图像
焦点
焦距
左焦点
，右焦点
，
焦距
顶点坐标
左顶点
，右顶点
，
上顶点
，下顶点
长轴
短轴
离心率
通径
⑷、直线与椭圆的位置关系
①
；
②
，③
2、双曲线
⑴、双曲线的定义：
平面内与两个定点F1，F2__________等于__________的点的轨迹叫做双曲线．这两个定
点叫做双曲线的__________，两焦点间的距离叫做焦距．______________________________
|F1F2|＝2c，其中a，c 为常数且a>0，c>0.
⑵、双曲线方程:
双曲线：
，离心率
．
⑶、性质
标准方程
图像
焦点
焦距
上焦点
，下焦点
，
焦距
顶点坐标
左顶点
，右顶点
，
上顶点
，下顶点
长轴
短轴
离心率
e= c
a (e>1)
e2= c2
a2=a2+b2
a2
=1+ b2
a2=1+(
b
a)
2
⇒e=√
1+(
b
a)
2
c2=a2+b2
渐近线
通径
焦准距离
⑷、渐近线方程
3 、抛物线
方程
⑴、抛物线的定义：
平面上一动点P(x , y)到定点
F( p
2 ,0)
的距离与到定直线l ：
x=−p
2 的点的轨迹叫做抛
物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．
⑵、抛物线的性质
设
是过抛物线
焦点F 的弦，若
则
①、
，
；
②、|AF|＝________，|BF|＝_______，弦长|AB|＝_______＝_______(α 为弦AB 的倾斜
角)；
③、＋＝________；
④、以弦AB 为直径的圆与________相切；以AF 或BF 为直径的圆与________相切；
⑤、过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在________上．
标准
方程
px
y
2
2
py
x
2
2
py
x
2
2
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点
坐标
对称轴
x 轴
y 轴
焦点
坐标
)
2
,0
(
p
离心率
e＝1
准线
方程
2
p
y
范围
y≤0，x∈R
开口
方向
向下
焦半径
通径长
1、排列
与组合
⑴、
=n(n−1)⋯(n−m+1)=_____ .(
，
∈N*，且
)．注:规定0!=1.
⑵、Cn
m
=
=
n(n−1)⋯(n−m+1)
1×2×⋯×m
=____ (
∈N*，
，且
).
⑶、排列组合的其他性质
①、Cn
m
=Cn
n−m
; Cn
m
+Cn
m−1
=Cn+1
m
.注:规定Cn
0=___ .
②、Cn
0+Cn
1+Cn
2+⋯+Cn
r +⋯+Cn
n=2n
.
③、Cn
1+Cn
3+Cn
5+⋯=Cn
0+Cn
2+Cn
4+⋯2n−1
.
④、Cn
1+2Cn
2+3Cn
3+⋯+nC n
n=n2n−1
.
2、二项
式定理
二项式定理 (a+b)n=Cn
0an+Cn
1an−1b+Cn
2an−2b2+⋯+Cn
r an−r br+⋯+Cn
nbn
;
二项展开式的通项公式____________________(r=0，1，2⋯，n).
①、二项式系数之和：__________. ②、系数之和:____________________.
③、二项式系数最大：__________. ④、系数最大：
3、定积
分
⑴、
；
⑵、
⑶、
⑷、
⑸、
⑹、
⑴、
⑵、
⑶、
⑷、
4、不定
积分
⑴
、
⑵、
⑶
、
⑷、
1 、基
本事件
⑴、
与
互斥事件
⑵、
与
对立事件
⑶、
与
相互独立
个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率
2 、离
散型随
机变量
的分布
列
（1）
;
（2）
.
（3）数学期望
（4）方差
（5）标准差
=√Dξ .
（6）
.
（7）
；
.
3 、三
种常考
的分布
列
⑴、二项分布
～
事件
恰好发生
次的概率是
（
，，
，…，
）
⑵、超几何分布
～
在含有
件次品的
件产品中，任取
件，其中恰有
件次品，
则事件
发生的概率为
，
⑶、正态分布
～
.
3 、条
件概率
⑴、定义：已知B 发生的条件下，A 发生
的概率，称为B 发生时A 发生的条件概
率，记为P(A|B)
⑵、全概率公式
；
．
⑶、贝叶斯公式
4、独立
性检测
（1）依题意完成列联表；
（2）用公式求解；
（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性
5、回归
方程
（1）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱）
r=
∑
i=1
n
(xi−¯x)( yi−¯y)
√∑
i=1
n
(xi−¯x)
2√∑
i=1
n
( yi−¯y)
2
=
∑
i=1
n
xi yi−n¯x ¯y
√(∑
i=1
n
x
i2−n¯x2)(∑
i=1
n
y
i2−n ¯y2)
r>0 ，__________；r<0 ，__________
|r|≤1,且|r|越接近于1，线性相关性越强；
|r|越接近于0，线性相关性越弱，几乎不存在线性相关性
线性回归分析解题方法：
（1）计算
的值；（2）计算回归系数
；（3）写出回归直线方程
.
线性回归直线方程为：^y=^b x+^a
，
^b=
∑
i=1
n
(xi−¯x)( yi−¯y)
∑
i=1
n
(xi−¯x)
2
=
∑
i=1
n
xi yi−n¯x ¯y
∑
i=1
n
x
i2−n¯x2
，
^a=¯y−^b¯x
其中(¯x , ¯y)为样本中心，回归直线必过该点
