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专题04 导数大题培优归类
题型1 同构型
同构型不等式证明：
利用函数同等变形，通过构造“形似”函数新形式，稍作变形再构造，对原不等式同解变
形，根据相似结构构造辅助函数.
利用恒等式x＝ln ex 和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构
造的函数的单调性进行研究．
常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝.
其中①④可以借助＝＝，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t 进行指对互化．
1.（2025 高三·全国·专题练习）设函数
.
(1)讨论
的单调性；
1
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(2)当
时，证明：
.
2.已知函数
，
(1)求
的最小值；
(2)证明：
.
2024 届辽宁省辽宁省高三重点高中协作校联考模拟预测数学试题
3.已知函数
，
，其中
.
（1）试讨论函数
的单调性；
（2）若
，证明：
.
四川省乐山市高中2022 届第一次调查研究考试数学（理）试题
题型2 凸凹翻转型
凸凹翻转型证明不等式思维：
凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明f ( x)>0 ，若可将不等式左端f ( x)拆成g( x)>h( x)，
且gmin(x)>hmax(x)的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取g( x)为上凸型函数，h( x)
为下凹型函数来完成证明.
1.已知
，
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）对一切
，
恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）证明：对一切
，都有
成立.
天津市红桥区2021-2022 学年高三上学期期中数学试题
2.（24-25 高三·辽宁锦州·模拟）已知函数
为实常数，
，其中
.
(1)
时，讨论
的单调性；
(2)求
的最值；
(3)
时，证明：
.
2
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3.已知函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）证明：
.
陕西省西安市高新第一中学2021-2022 学年高二上学期第一次月考理科数学试题
题型3 三角函数型
对于含有三角函数型不等式证明：
充分利用正余弦的有界性进行适当的放缩。
1．（24-25 高二下·安徽蚌埠·期中）已知
．
(1)试判断
的单调性；
(2)若
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)当
时，求证：
．
2．（24-25 高二下·浙江丽水·期末）已知函数
为奇函数．
(1)求a 的值；
(2)设函数
，
①证明：
有且只有一个零点；
②记函数
的零点为
，证明：
．
3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
，
．
(1)判断
的单调性；
(2)若函数
图象在
处切线斜率为
，求
；
(3)求证：
．
题型4 数列型证明
3
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数列不等式型：
证明不等式
，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过
变形将右边也转化为求和式，即
这样一来，设
，
则只需证
，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小
关系，即如果能够证出
恒成立，则原不等式也就成立.
1．（25-26 高三上·湖北·开学考试）已知
．
(1)若
时，求
在
上的最大值和最小值；
(2)若
恒成立，求
的取值范围；
(3)设
，证明：
．
2．（25-26 高三上·广西·开学考试）已知函数
，曲线
在
处的切线与直线
垂直.
(1)求
的值；
(2)求
在
上的最小值；
(3)证明：对任意的正整数
，都有
.
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，直线
与
的图象
相切．
(1)求
的值；
(2)若方程
在
上有且仅有两个解
，求
的取值范围，并比较
与
的大小；
(3)若
，
，求证：
．
题型5 三角函数与数列型
涉及到三角函数型不等式证明，证明思路和基础不等式导数证明思路一致，对于三角函数，主要是正
余弦，要充分利用正余弦函数的有界性。
1．（2025 高三·全国·专题练习）若存在正实数
，对任意
，使得
，则称函数
在
上是一个 “
函数”．
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(1)证明： 函数
在区间
上是一个 “
函数”；
(2)证明：
．
2．（24-25 高二下·安徽合肥·期末）已知双曲正弦函数
，双曲余弦函数
．
(1)求双曲正弦函数
在
处的切线方程；
(2)证明：当
时，
；
(3)证明：
．
3．（24-25 高二下·四川南充·期末）已知函数
（为自然对数的底数），
.
(1)求函数
在区间
上的最值；
(2)若对
，求证：
；
(3)求证：
.
题型6 隐零点型
虚设零点法：
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找
一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
1．（23-24 高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数
,
.
(1)判断
的单调性;
(2)若
, 求证:
,其中e 是自然对数的底数.
2．（23-24 高三上·陕西安康·阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，令
，若
为
的极大值点，证明：
.
3．（2024·广东广州·二模）已知函数
．
(1)讨论
的零点个数；
(2)若
存在两个极值点，记
为
的极大值点，
为
的零点，证明：
．
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题型7 极值点偏移型
极值点偏移多有零点这个条件。零点型，注意数形结合思想的应用：
1. 零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。
2. 零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。
3. 将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理.
1．（22-23 高三上·云南·阶段练习）已知函数
，
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)证明：若存在
，
，使得
，则
．
2．（22-23 高三上·江苏南通·期中）已知
，其极小值为-4.
(1)求
的值；
(2)若关于
的方程
在
上有两个不相等的实数根
，
，求证：
.
3．（22-23 高三上·全国·阶段练习）已知函数
（
且
）.
(1)若函数
的最小值为2，求
的值；
(2)在（1）的条件下，若关于
的方程
有两个不同的实数根
，且
，求证：
.
题型8 极值点偏移型(混合型）
处理极值点偏移问题中的类似于
的问题的基本步骤如下：
①求导确定
的单调性，得到
的范围；
②构造函数
，求导可得
恒正或恒负；
③得到
与
的大小关系后，将
置换为
；
④根据
与
的范围，结合
的单调性，可得
与
的大小关系，由此证得结论.
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1．（20-21 高三·福建·阶段练习）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若
，且
，证明:
.
2．（21-22 高二下·广东佛山·期末）已知函数
，其中
．
(1)若
，求
的极值：
(2)令函数
，若存在
，
使得
，证明：
．
2．（2022·山东·模拟预测）已知函数
.
(1)若
有两个零点，
的取值范围；
(2)若方程
有两个实根
、
，且
，证明：
.
题型9 双变量型
1．（24-25 高二下·福建福州·期中）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求出函数
的极值并判断方程
的解的个数；
(2)当
时，证明：对于任意的实数
，都有
.
2．（24-25 高二下·天津·期末）已知函数：
．
(1)若当
时，
恒成立；求实数a 的取值范围；
(2)若关于x 的方程
有两个不同实数根
；且
，
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）求证：
．
3．（24-25 高二下·黑龙江·期末）已知函数
(1)设函数
，不等式
对任意的
恒成立，求
的取值范围．
(2)若
有两个极值点
.
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
.
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题型10 换元型
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若
，设
分别在抛物线
与曲线
上，且
轴，求
的最小值；
(2)设
是
的两个极值点，证明：
．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
有且只有一个零点．
(1)求
的值；
(2)设函数
，对任意的
，求证：不等式
恒成立．
3．（24-25 高三下·山西大同·期末）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求实数a 的值；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若
，求证：
．
题型11 韦达定理型
利用韦达定理证明不等式
1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2 有关。
2.利用韦达定理代换：可以消去参数
1．（23-24 高二下·江苏镇江·期末）已知
．
(1)若曲线
在
处的切线与
垂直，求实数a 的值；
(2)若函数
存在两个不同的极值点
，
，求证：
．
2．（24-25 高二下·山东临沂·期末）已知函数
.
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
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(2)当
的最大值为0 时，求
；
(3)当
时，正实数
满足
，证明：
.
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有两个极值点
，求实数
的取值范围，并证明
.
题型12 两个零点与不等式:
两个零点型求参：
两个零点型，比较复杂，多数为所求区间内为“类二次函数型”，所以需要求极值点，还需要“内点型找
点”。
在处理数据时，可以适当放缩构造：
1.是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
2.构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
1.（2023·山西·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
有2 个不同的零点
（
），求证：
.
2.（2024 高二上·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
有2 个不同的零点
，求证：
．
3.（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
.
（1）函数
的图象能否与
轴相切？若能与
轴相切，求实数
的值；否则请说明理由；
（2）若函数
恰好有两个零点
、
，求证：
.
题型13 三个零点不等式
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1.（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数
，且
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，函数
有三个零点
，
，
，且
，试比较
与2 的大
小，并说明理由．
2.、（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）已知函数
，
.
(1)讨论
零点的个数；
(2)当
时，若存在
，使得
，求证：
.
3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知定义在
上的函数
，其中
.
(1)若函数
存在极值，求实数
的取值范围；
(2)设
存在三个零点
，其中
.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）求证：
.
结束
10
