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【高一同步重难点】第六章6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示考点讲解
Day075/Total365
1. 平面向量正交分解
1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2、平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x、y，使=x+y，
把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x，y)，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则(AB)=(x2-x1，y2-y1)，|(AB)|=sqrt((x2-x1)^(2)+(y2-y1)^(2)).
(3)若O是坐标原点，设(OA)=x+y，则向量(OA)的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若(OA)=(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立.
(4)特殊向量的坐标：=(1,0),=(0,1),(0)=(0,0)．
【注意】
1、在直角坐标平面内，以原点为起点的向量(OA)=，点A的位置被向量唯一确定，
此时点A的坐标与向量的坐标统一为(x，y)．
2、平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；
应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．
3、符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．
特别注意：向量=(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
4、(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量(e1)和(e2)互相垂直．
(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即(a)=(b)⇔x1=x2且y1=y2，其中(a)=(x1，y1)，(b)=(x2，y2)．
(3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
2. 平面向量的坐标运算
1、已知=(x1,y1),=(x2,y2)，则+=(x1+x2,y1+y2)，-=(x1-x2,y1-y2)．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
2、若=(x,y)，则λ=(λx，λy)；
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
3、已知=(x1,y1),=(x2,y2)，则向量，(≠(0))共线的充要条件是x1y2-x2y1=0
3. 线段的定比分点及λ
设P1、P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1、P2的任一点，则一定存在实数λ，使(P1P)=λ(PP2)，λ叫做点P分(P1P2)所成的比.有三种情况：
λ>0(内分) (外分)λ<0(λ<-1) (外分)λ<0(-1<λ<0)
(1)定比分点坐标公式：若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，λ为实数，且(P1P)=λ(PP2)，
则点P坐标为((x1+λx2)/(1+λ)，(y1+λy2)/(1+λ))，我们称λ为点P分(P1P2)所成的比.
(2)点P的位置与λ的范围的关系：
①当λ>0时，(P1P)与(PP2)同向共线，这时称点P为(P1P2)的内分点；
②当λ<0(λ≠-1)时，(P1P)与(PP2)反向共线，这时称点P为(P1P2)的外分点.
(3)若P分有向线段(P1P2)所成的比为λ，点M为平面内的任一点，则(MP)=((MP1)+λ(MP2))/(1+λ)；
特别地P为P1P2的中点⇔(MP)=((MP1)+(MP2))/(2).
附：高一、高二上学期期末备考专题
<本文完>
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