初中数学 | 三角形面积之铅锤法,二次函数中三角形面积常用方法

求三角形面积方法有很多，这篇文章对三角形面积求法进行了总结《求三角形面积的8种方法》，里面提到了铅垂法，本文就主要介绍铅垂法求三角形面积的过程。铅垂法求面积是非常常用，在学习了一次函数、反比例函数、二次函数后的综合题中，求某个三角形面积用铅垂法显得非常简单。

一、三角形面积的求法

求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．

在平面直角坐标系中，已知A(1,1)、B(7,3)、C(4,7)，求△ABC的面积．

对于以上的三角形，面积公式求就不怎么适用了，那么可以通过“割补法”进行求解。

上面这个图就是通过“补”的方式，把△ABC不成一个矩形AFED，求三角形ABC的面积就可以转化用长方形面积减去三个三角形的面积。

上面这个图就是通过“割”的方式，把△ABC分成两个三角形，求两个三角形的面积之和即可。

S△ABC=S△ADC+S△BDC

以上AE+BF其实就是A、B两点间的水平距离，故AE+BF=6.

但是要求DC就需要求出D点坐标，所以需要将AB所在直线解析式求出来，故直线AB的解析式为：

因为C、D两点的横坐标一样，都是4，所以D点坐标为（4，2）

故CD=5

∴ S△ABC=S△ADC+S△BDC

以上这种方法其实用的就是铅垂法。

二、铅垂法

首先以三角形的两点作出水平宽，再过第三个顶点作与水平宽的垂线与前两个点所在线段或延长线相交，所得交点与第三个点之间的距离就是铅垂高。

如图：水平宽选择的是AB两点，过C点作水平宽的垂线，交AB与点D，则CD既是铅垂高，所以三角形面积为：

【解题步骤】

（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；

（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；

（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；

（4）根据C、D坐标求得铅垂高；

（5）利用公式求得三角形面积．

其实水平宽不一定要取横向的，也可以是竖直的水平宽。下面介绍几种铅垂法的做法。

（1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．

（2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高

（3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．

甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．

（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．

（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．

（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．

虽然方法多，但是更多的我们都是作横向的水平宽。

三、例题

2、如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数的图象经过线段AB的中点C.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）将直线向右平移4个单位长度后得到直线，直线交x轴于点D，交反比例函数的图象于点E，F，连接CE，CF，求的面积；

（3）请结合图象，直接写出不等式的解集.

【答案】

直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，

，，

线段AB的中点是C，

.将代入，得，

反比例函数的表达式为；

将直线向右平移4个单位长度后得到直线，直线交x轴于点D，

，.

把代入，解得，

直线EF的解析式为.由，解得或，

，F(9，.

如图，过点C作CP∥y轴交EF于P，

则P点的横坐标为3.将x=3代入，得，

，

；

（3）由图象可得，不等式的解集为.