初中数学解题技巧——怎样化简二次根式并运算之认识二次根式

二次根式是根式板块的起点，承接算术平方根知识。

本讲学习二次根式的识别、双重非负性，掌握根式有意义时字母范围的求法，是后续化简、运算的根基，也是选择填空高频基础内容

形如√a (a≥0)的式子叫做二次根式。判断一个式子是不是二次根式，只看两点：根号是二次根号，根号内的被开方数能够保证非负。

求字母取值范围，本质就是令被开方数大于或等于 0，列不等式求解；若同时出现在分母，还要额外保证分母不为 0。

形如√a (a≥0)的式子叫做二次根式。a叫被开方数

① 被开方数 a≥0

② 根式结果√a≥0

两个非负同时成立。

根号在分子位置，令被开方数≥0；根号在分母位置，令被开方数>0（因为分母不能为 0）。

一个式子里既有根号又有分母，取 " 被开方数≥0"与" 分母≠0" 的公共部分。

1. 找出式子中所有根号与分母；

2. 对每个根号列被开方数非负的不等式；对分母列不为 0 的条件；

3. 取各条件的公共部分；

4. 写成最终取值范围，端点能否取到单独核对。

• 根号在分母时仍写≥0，错把 0 取进来；

• 多个条件只列一个，漏掉其他根号或分母；

• 把 " 根式本身非负√a≥0" 当成求范围的条件误用；

• 解不等式方向、端点取舍出错；

• 看到根号直接判定是二次根式，忽略被开方数正负要求。

1、求 √(x-3)有意义时 x 的取值范围。

【解析】

根号在分子，令被开方数非负即可

【答案】

解：令x-3≥0，解得x≥3

2、求式子[√(x-3)]/(x-2) 有意义时，x的取值范围

【解析】

同时列根号非负与分母不为 0 两个条件，取公共部分。

【答案】

解：条件一：2x+1≥0，得x≥-1/2

条件二：x-2≠0，得x≠2

公共部分：x≥-1/2，且x≠2

3、[√(a-2)]+[√(2-a)]有意义，求a的值，并判断√(a-2)的符号

【解析】 

两个被开方数同时非负，形成双向夹击，只能取等号；再用双重非负性。

【答案】

解：由a-2≥0得a≥2

由2-a≥0得a≤2

故a=2

此时√(a-2)=√0=0

4、判断：√5、√(-2)、√x(x＜0)、√(a²+1)哪些是二次根式

【解析】 

根据二次根式的定义来判断√5、√(a²+1)是二次根式；√(-2)、√x(x＜0)被开方数为负，无意义，不是二次根式

【答案】

答：√5、√(a²+1)是二次根式