初中数学解题技巧——怎样化简二次根式并运算之多项式分母有理化(共轭式 / 平方差)

本讲在单项式分母有理化基础上，学习多项式型分母的有理化。

核心借助平方差公式，找到根式的共轭有理化因式，消去分母里的根号。除两项共轭根式，还拓展三项及三项以上根式分组有理化，是根式化简、求值的重要方法，也是后续根式综合计算、条件求值的重要工具。

形如√m+√n与√m-√n，两个式子只有中间符号不同，互为共轭根式，也就是多项式分母对应的有理化因式。

依据平方差公式：

(√m+√n)(√m-√n)=m-n

相乘之后，交叉项抵消，根号消失，得到整式。

适用形式：分母是三项或者更多项，例a+b-√c、a-b+√c、√a+√b+√c

思路：分组打包，把其中两项看成一个整体，先构造平方差里的第一个 “整体项”。

举例：分母a+b-√c

我们把a+b打包作为一组，原式看成(a+b)-√c

它的共轭因式就是(a+b)+√c

依据平方差公式：

[(a+b)-√c][(a+b)+√c]=(a+b)²-c

做完这一步，分母就变成整式，不再含有根号。

1. 观察分母：两项直接找共轭；三项及以上先分组，打包成 “整体 ± 另一部分” 的二项结构；

2. 写出对应共轭有理化因式；

3. 根据分式基本性质，分子、分母同时乘这个共轭因式；

4. 分母用平方差公式化简，分子用多项式乘法展开；

5. 合并同类项、约分，最终化为最简二次根式。

1. 两项型：找共轭因式时，只改中间加减号，不要两项符号一起乱改；

2. 多项型：不会合理分组，盲目同时改多个符号，构造不出平方差；

3. 只给分母乘共轭因式，分子忘记同乘，破坏分式相等；

4. 分子相乘后不会展开、不会合并同类根式；

5. 化简完成后，还能约分却没有约分，不是最简形式；

6. 忽略被开方数非负的隐含条件。

1、化简1/[(√3)+1]

【解析】

分母是(√3)+1，共轭因式为(√3)-1，分子分母同乘，利用平方差化简分母。

【答案】

解：原式=[(√3)-1]/{[(√3)+1][(√3)-1]}=[(√3)-1]/(3-1)=[(√3)-1]/2

2、化简(√5)/[(√5)-(√2)]

【解析】

分母为(√5)-(√2)，共轭因式是(√5)+(√2)，分子同步相乘，展开后化简。

【答案】

解：原式={√5[(√5)+(√2)]}/{[(√5)-(√2)][(√5)+(√2)]}=(5+√10)/(5-2)=(5+√10)/3

3、化简[(√6)-(√2)]/[(√6)+(√2)]

【解析】 

分子分母都含两项根式，先乘共轭因式，分子分母分别展开，再约分整理。

【答案】

解：原式={[(√6)-(√2)][(√6)-(√2)]}/{[(√6)+(√2)][(√6)-(√2)]}=[6-2(√12)+2]/(6-2)=(8-4√3)/4=2-√3

4、化简1/(2+3-√5)

【解析】 

分母2+3-√5，先把不含根号的2+3合并打包成整体 5，看成5-√5，共轭因式5+√5。

【答案】

解：原式=1/[(2+3)-√5]=1/(5-√5)=[1·(5+√5)]/[(5-√5)(5+√5)]=(5+√5)/(25-5)=(5+√5)/20

5、化简1/(a-b+√c)

【解析】 

分母a-b+√c，打包a-b为整体，看成(a-b)+√c，共轭因式为(a-b)-√c。

【答案】

解：原式={1·[(a-b)-√c]}/{[(a-b)+√c][(a-b)-√c]}=((a-b)-√c)/[(a-b)²-c]