高中数学|抛物线解答题三连问:焦半径出方程,弦长定直线,斜率定值的分子恒为零

抛物线解答题的三个小问，往往就是一条完整的”联立流水线”：先用焦半径公式把方程拿下，再设线联立、韦达定理配合弦长公式把直线定下来，最后证一个斜率定值。定值证明最怕算到一半慌了神——本题的诀窍是把两个斜率通分，你会发现分子对一切参数恒等于零。另外，分母不为零的理由要单独交代清楚，这是证明里最容易丢分的一句话。

已知抛物线的焦点为F，点在C上，|PF|=2，斜率为−1的直线l与C交于M，N两点．

第(1)问｜焦半径公式，一步出方程。

抛物线y²=2px上一点P(1,y₀)到焦点的距离（焦半径公式）：

．

由|PF|=2得p=2，所以C:y²=4x。此时y₀²=4× 1=4，又y₀>0，所以y₀=2，即P(1,2)。

（不用焦半径公式也行：，且y₀²=2p，两式联立同样解出p=2，只是多一步开方。）

第(2)问｜设线联立，弦长公式定直线。

设l:y=−x+m，代入C:y²=4x：

(−x+m)²=4x，即x²−(2m+4)x+m²=0．

判别式Δ=(2m+4)²−4m²=16m+16>0，得m>−1（联立的第一件事：先交代Δ）。设M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)，由韦达定理：

x₁+x₂=2m+4，x₁x₂=m²．

直线斜率为−1，弦长公式中：

．

令|MN|=8，得，即m=1（满足m>−1）。故l:x+y−1=0。

回检：m=1时x²−6x+1=0，，无误。还有一个漂亮的巧合——x+y−1=0恰好过焦点F(1,0)，MN是焦点弦，用焦点弦长公式，两种算法互相印证。

第(3)问｜定值证明：通分后分子恒为零。

对斜率为−1的直线l:y=−x+m（m>−1），M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)满足yᵢ=−xᵢ+m，且x₁+x₂=2m+4，x₁x₂=m²。

先交代分母（谁都不许默认）：

(x₁−1)(x₂−1)=x₁x₂−(x₁+x₂)+1=m²−2m−3=(m−3)(m+1)．

由m>−1知m+1>0；而m=3时l:y=−x+3恰好过点P(1,2)——此时P本身就是C与l的交点之一，PM或PN的斜率不存在，与题设”k₁，k₂存在”矛盾，故m≠3。于是分母(m−3)(m+1)≠0。

通分：

．

把yᵢ=−xᵢ+m代入分子：

=−2x₁x₂+(m−1)(x₁+x₂)−2(m−2)

=−2m²+(m−1)(2m+4)−2m+4=0．

分子对一切m恒等于零，与m无关。所以

k₁+k₂=0，为定值．

数值回检：m=1时两交点、，，，和为0；m=2时，，和仍为0。

一、定值证明的”通分—消参”套路。斜率和、斜率积、倒数和这类定值，标准动作都是：设线联立→韦达定理→把目标式通分成”只含x₁+x₂与x₁x₂的分式”→用韦达代入化简。本题化简到最简时分子恰好恒等于零（不是解方程解出某个m，而是恒等式对一切m成立），这正是”定值”二字的代数含义。

二、分母的交代不是废话。证明里“(m−3)(m+1)≠0”两处缺一不可：m>−1来自判别式（保证交于两点），m≠3来自”l不过P“（保证斜率存在）。阅卷时这两句话就是得分点；省掉它们，整个证明在逻辑上不成立。

三、定值0是P(1,2)的”专属福利”。一般化验证：对y²=4x上一般的点P(x₀,y₀)，分子化简后为m(4−2y₀)+(4x₀−4y₀+2x₀y₀)，要使它对一切m恒为零，必须y₀=2且x₀=1——恰好就是本题的P(1,2)。数值反证：取P(4,4)、m=2，分子=−4×2+32=24≠0，定值不成立。可见本题的定值并非”通用性质”，而是P(1,2)恰为通径端点（，PF⊥ x轴）带来的特殊结构——这正是命题人把|PF|=2、P(1,2)藏在条件里的用意。