81.抛物线的焦半径与焦点弦必知的八组结论
抛物线的焦点弦是抛物线中的高频考点，特别是对于考生而言，本节的结论既要注意把握
推导过程，更应该注意对结论的熟悉程度，因为很多涉及到焦点弦的题目都会以选填的形
式出现，如此，你便可以用相关结论快速做到，避免小题大做！
一．重要结论
抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最
重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:
假设抛物线方程为
.过抛物线焦点的直线与抛物线交于
两点，其坐标分别
px
y
2
2
l
B
A,
为
.
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
性质1.
,
.
，
2
|
|
p
x
AF
A
2
|
|
p
x
BF
B
p
x
x
AB
B
A
|
|
证明：性质1 的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过
向准线引垂线，
B
A,
垂足分别为
.由定义可知：
.代入坐标即可证得相关结
N
M ,
|
|
|
|
|
|
|
|
BF
BN
AF
AM
，
论.
性质2.抛物线
的焦点为F，
是过
的直线与抛物线的两个
px
y
2
2
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
F
交点，求证：
.
2
2
1
2
2
1
,
4
p
y
y
p
x
x
证明：
，则
的方程为
，整理可得：
)
,
2
(
),
,
2
(
2
2
2
1
2
1
y
p
y
B
y
p
y
A
AB
)
2
(
2
2
1
2
1
1
p
y
x
y
y
p
y
y
，即可得
的方程为：
.最后，由
2
1
2
1
1
2
)
)(
(
y
px
y
y
y
y
AB
2
1
2
1
2
)
(
y
y
px
y
y
y
于直线
过焦点，代入焦点坐标可得
.再代入抛物线方程
.
AB
2
2
1
p
y
y
4
2
2
1
p
x
x
一般地，如果直线恒过定点
与抛物线
交于
两点，那么
l
)
0,
(m
M
)
0
(
2
2
p
px
y
B
A,
.
pm
y
y
m
x
x
B
A
B
A
2
,
2
于是，若
恒过定点
.
AB
OB
OA
)
0,
2
( p
性质3.已知倾斜角为
直线的经过抛物线
的焦点
，且与抛物线交于
两
l
px
y
2
2
F
B
A,
点，则
（1）
.
p
FB
FA
P
BF
p
AF
2
|
|
1
|
|
1
cos
1
|
|,
cos
1
|
|
，
（2）
.
)
1
1(
2
|
|
sin
2
sin
2
|
|
2
2
2
k
p
AB
p
S
p
AB
OAB
，
，
证明：设准线交
轴于点
，过点
作
轴于
，作
于
，由抛物线定
l
x
P
A
x
AM
M
l
AN
N
义可知：
．其中
，
.
AN
AF
p
PF
cos
AF
MF
所以
，
，故
．
cos
AF
p
FM
PF
AN
cos
AF
p
AF
cos
1
p
AF
同理
，所以
．
cos
1
p
BF
2
2
sin
2
cos
1
2
p
p
BF
AF
AB
性质4.抛物线的通径
(1).通径长为
.
p
2
(2).焦点弦中，通径最短.
(3).通径越长，抛物线开口越大.
由性质3 易得，略.
性质5.已知直线经过抛物线
的焦点
，且与抛物线交于
两点，若弦
l
px
y
2
2
F
B
A,
AB
中点的坐标为
，则
.
)
,
(
0
0 y
x
)
2
(
2
|
|
0
p
x
AB
证明：设
坐标为
，由抛物线定义：
B
A,
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x
p
x
x
BF
AF
AB
2
1
|
|
|
|
|
|
，
故
.
)
2
(
2
|
|
0
p
x
AB
性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.
证明：设焦点弦的中点为
，则
到准线的距离为
，由性质5 可证得.
)
,
(:
0
0 y
x
M
M
2
0
p
x
性质7.如图，过抛物线
的焦点
的直线与抛物线相交于
两点，自
2
2
(
0)
y
px p
F
N
M ,
向准线作垂线，垂足分别为
，则
N
M ,
l
1
1, N
M
（1）
；
2
1
FM
FM
（2）记
的面积分别为
,
,
，
.
1
1
1
1
,
,
FNN
N
FM
FMM
1S
2
S
3
S
2
2
1
3
4
S
S S
注:此题为2009 湖北卷文科试题，证明过程可参见该题解答.
二．典例分析
例1.（2017 年全国1 卷）.已知
为抛物线
的焦点，过
作两条互相垂直的
F
x
y
C
4
:
2
F
直线
，直线
与
交于
两点，直线
与
交于
两点，则
的最
2
1,l
l
1l
C
B
A,
2l
C
E
D,
|
|
|
|
DE
AB
小值为( )
A．16
B．14
C．12 D．10
解析：法1:设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
,
3
3
4
4
(
,
),
(
,
)
D x
y
E x
y
,直线1l 方程为
1(
1)
y
k x
取方程
2
1
4
(
1)
y
x
y
k x
,得
2
2
2
2
1
1
1
2
4
0
k x
k x
x
k
∴
2
1
1
2
2
1
2
4
k
x
x
k
2
1
2
1
2
4
k
k
同理直线2l 与抛物线的交点满足
2
2
3
4
2
2
2
4
k
x
x
k
由抛物线定义可知
1
2
3
4
|
|
|
|
2
AB
DE
x
x
x
x
p
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
4
2
4
4
4
16
4
8
2
8
16
k
k
k
k
k
k
k k
当且仅当
1
2
1
k
k
(或1
)时,取得等号．
法2:设1l 的倾斜角为,则直线2l 的倾斜角为π
2
，根据焦点弦长公式有:
2
2
4
4
π
sin
sin
2
AB
DE
2
2
2
2
2
2
2
4
4
16
sin
cos
sin
cos
．
故选A．
法4:设点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,则
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
4
AB
x
x
p
x
x
y
y
2
1
2
1
2
1
2
2
4
y
y
y y
设直线1l 的方程为
1
x
my
0
m
联立直线1l 与抛物线
2
:
4
C y
x
方程消去x 可得
2
4
4
0
y
my
所以
1
2
1
2
4
4
y
y
m
y y
,所以
2
2
1
2
1
2
1
2
2
4
4
4
AB
y
y
y y
m
同理
2
4
4
DE
m
，所以
2
2
4
8
4
16
AB
DE
m
m
(当且仅当
1
m 时等号成
立)
法5：可设直线
，由抛物线焦点弦的性质3 可得：
1
2
1
1
1
:
,
:
b
x
k
y
l
b
kx
y
l
，故
，当且仅
)
1(
4
|
|
),
1
1(
4
|
|
2
2
k
DE
k
AB
16
)
1(
4
)
1
1(
4
|
|
|
|
2
2
k
k
DE
AB
当
时取到最小值，故选A.
1
k
上述例2，在知晓背景的情况下解答是很容易的，这再次说明记住一些重要的二级结论可
以优化运算，提升解题速度. 下例中，我们将看到有关面积的定值问题，从而为前面的重
要结论做一个补充.
例2．（2022 新高考2 卷）已知
为坐标原点，过抛物线
的焦点
的
O
)
0
(
2
:
2
p
px
y
C
F
直线与
交于
，
两 点，点
在第一象限，点
，若
，则直线
C
A
B
A
0
M p，
AF
AM
＝
AB
的斜率为
2 6
A．直线AB 的斜率为2
B．
6
OB
OF
＝
C．
D．
4
AB
OF
＞
180
OBM
OAM
解析：选项A：设
中点为
，则
所以
FM
N
3
2
,
2
4
A
N
p
p
x
x
p
所以
故
2
2
3
3
2
2
0 ,
4
2
A
A
A
y
px
p
p
p
y
6
,
2
A
y
p
6
2
2 6.
3
4
2
AB
p
k
p
p
选项B：
所以
1
1
2
1
1
2
3
4
2
p
AF
BF
p
BF
p
p
5
6
2
3
B
B
p
p
BF
p
x
x
所以
2
2
2
2
.
3
3
B
p
p
y
p
2
2
2
2
2
2
2
7
.
9
3
9
4
B
B
p
p
p
p
OB
x
y
选项C：
3
25
2
4
.
4
3
12
p
AB
p
p
p
p
OF
选项D：由选项A,B 知
所以
3
6
6
,
,
,
,
4
2
3
3
p
A
p
p
B
p
所以
为钝角；
2
2
2
3
6
6
3
,
,
0,
4
2
3
3
4
4
p
p
OA OB
p
p
p
p
p
AOB
又
所以
为钝角；
2
2
2
6
6
11
,
,
0,
4
2
3
3
12
12
p
p
p
MA MB
p
p
p
p
AMB
所以
.故选ACD.
180
OAM
OBM
例3．（2023 新高考2 卷）．设O 为坐标原点，直线
过抛物线
3
1
y
x
的焦点，且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．
2
:
2
0
C y
px p
A．
2
p
B．
8
3
MN
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．
为等腰三角形
OMN
A
解析：A 选项：直线
过点
，所以抛物线
的焦点
3
1
y
x
1,0
2
:
2
0
C y
px p
，
10
F
,
所以
，则A 选项正确，且抛物线
的方程为
.
1,
2,2
4
2
p
p
p
C
2
4
y
x
B 选项：设
，由
消去
并化简得
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
2
3
1
4
y
x
y
x
y
，解得
，所以
2
3
10
3
3
3
1
0
x
x
x
x
1
2
1
3,
3
x
x
1
2
1
16
3
2
3
3
MN
x
x
p
，B 选项错误.
或
3
16
3
4
4
)
1
1(
2
|
|
2
k
p
MN
C 选项：设
的中点为
，
到直线的距离分别为
，因为
MN
A
,
,
M N A
l
1
2
,
,
d d
d
，即
到直线的距离等于
的一半，所以以
1
2
1
1
1
2
2
2
d
d
d
MF
NF
MN
A
l
MN
MN
为直径的圆与直线相切，C 选项正确.
l
D 选项：直线
，即
，
到直线
的距离为
3
1
y
x
3
3
0
x
y
O
3
3
0
x
y
，所以三角形
的面积为
，由上述分析可知
3
2
d
OMN
1
16
3
4 3
2
3
2
3
，所以
1
2
1
2 3
3 3 1
2 3,
3
1
3
3
y
y
，所以三角形
不是等腰三
2
2
2
2
1
2 3
13
3
2 3
21,
3
3
3
OM
ON
OMN
角形，D 选项错误.故选：AC.
例4．（湖北省武汉市2025 届高三二月调考）已知
为坐标原点，过抛物线
O
焦点的直线与该抛物线交于
，
两点，若
，若
面积为
2
2
0
y
px p
A
B
12
AB
OAB
△
，则
（ ）
4 6
p
A．4
B．3
C．
D．
2 6
3 2
解析：（方法1）抛物线
的焦点
，设直线
，点
2
2
y
px
(
,0)
2
p
F
:
2
p
AB x
ty
，
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)
由
消去
得
，则
，
2
2
2
p
x
ty
y
px
x
2
2
2
0
y
pty
p
2
1
2
1
2
2
,
y
y
pt y y
p
，即
，
2
1
2
1
2
|
| |
|
|
|
(
)
2
2 (
1)
12
AB
AF
BF
x
x
p
t y
y
p
p t
2
(
1)
6
p t
，
2
2 2
2
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
4
4
4
2
1
y
y
y
y
y y
p t
p
p t
，则
，因此
，
2
2
1
2
1
1
|
||
|
1
4 6
2
2
OAB
S
OF
y
y
p
t
A
2
2
1
8 6
p
t
3
64
p
所以
.故选：A
4
p
（方法2）设直线
的倾斜角为
，由于
AB
sin
2
sin
2
|
|
2
2
p
S
p
AB
OAB
，
所以
.故选：A
4
p
例5.已知抛物线
的焦点为F，抛物线C 上存在n 个点
，
，
，
（
2
:
4
C y
x
1P
2P
L
nP
2
n
且
）满足
，则下列结论中正确的是
*
N
n
1
2
2
3
1
1
2
n
n
n
PFP
P FP
P FP
P FP
n
（ ）
A．
时，
2
n
1
2
1
1
2
PF
P F
B．
时，
的最小值为9
3
n
1
2
3
PF
P F
P F
C．
时，
4
n
1
3
2
4
1
1
1
4
PF
P F
P F
P F
D．
时，
的最小值为8
4
n
1
2
3
4
PF
P F
P F
P F
解析：当
时，
，此时不妨取
过焦点垂直于x 轴，
2
n
1
2
1
2
PFP
P FP
1
2
PP
不妨取
，则
，故A 错误；
1
2
(1 2),
(1
2)
P
P
，
，
1
2
1
1
1
1
=
+
1
2
2
PF
P F
当
时，
，此时不妨设
在抛物线上逆时针排
3
n
1
2
2
3
3
1
2
3
PFP
P FP
P FP
1
2
3
,
,
P P P
列，设
,则
，则
1
,
(0,
)
2
PFx
1
2
|
| 1 cos
PF
，故
2
2
2
2
|
|
,|
|
2
4
1 cos(
)
1 cos(
)
3
3
P F
P F
，
1
2
3
2
2
2
2
4
1 cos
1 cos(
)
1 cos(
)
3
3
PF
P F
P F
2
1
4(1
cos
)
2
2
1
1 cos
(cos
)
2
令
，则
，
1
1 3
cos
,
( , )
2
2 2
t
t
1
2
3
2
4
2
3
3
2
t
PF
P F
P F
t
t
令
，则
，
2
4
2
3
3
2
( )
t
t
t
f t
2
3
2 3
8
2
6
27(
1)
( )
(3
2 )
(3
2 )
t
t
f t
t
t
t
t
当
时，
，
递增，当
时，
，
递减，
1
1
2
t
( )
0
f t
( )
f t
3
1
2
t
( )
0
f t
( )
f t
故
，故当
，即
时，
取到最小值
min
( )
(1)
9
f t
f
1
t
1
cos
,
2
3
1
2
3
PF
P F
P F
9，故B 正确；
当
时，
，
4
n
1
2
2
3
1
3
4
4
2
PFP
P FP
P FP
P FP
此时不妨设
在抛物线上逆时针排列，设
,
1
2
3
4
,
,
,
P P P P
1
,
(0,
)
2
PFx
则
，
1
2
3
4
2
2
2
2
|
|
,|
|
,|
|
,|
|
3
1 cos
1 cos(
)
1 cos(
)
1 cos(
)
2
2
PF
P F
P F
P F
即
，故
2
3
4
2
2
2
|
|
,|
|
,|
|
1 sin
1
cos
1 sin
P F
P F
P F
，
，
1
3
2
2
2
4
1 cos
1 cos
sin
PF
P F
2
4
2
2
2
4
1 sin
1 sin
cos
P F
P F
所以
，故C 正确；
1
3
2
2
4
2
sin
cos
1
4
4
1
4
1
PF
P F
P F
P F
由C 的分析可知：
，
2
3
4
2
2
1
2
2
2
4
4
4
16
sin
cos
sin
cos
sin 2
PF
P F
P F
P F
当
时，
取到最小值16，即
最小值为16，故D 错
2
sin 2
1
2
16
sin 2
1
2
3
4
PF
P F
P F
P F
误；故选：BC
例6．（2022 年全国甲卷）已知直线
与抛物线
交于
两
2
1
0
x
y
2
:
2
(
0)
C y
px p
,
A B
点，且
．
|
| 4 15
AB
（1）求
；
p
（1）设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
0
FM FN
MFN
△
解析：（1）设
，由
可得，
，所以
,
,
,
A
A
B
B
A x
y
B x
y
2
2
1
0
2
x
y
y
px
2
4
2
0
y
py
p
，所以
4 ,
2
A
B
A
B
y
y
p y y
p
，
2
2
2
5
5
4
4 15
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
AB
x
x
y
y
y
y
y
y
y y
即
，因为
，解得：
．
2
2
6
0
p
p
0
p
2
p
（2）（方法1）若设
，由抛物线焦半径公式可得
2
MFN
MFx
, 故而（凌晨讲数学）
|
|
,
1 c
2
os
MF
2
|
| 1 sin
NF
1
1
2
2
|
| |
|
2
2 1 cos
1 sin
MFN
S
MF
NF
1 sin
cos
sin
2
cos
令
, 则
.故
sin
cos
t
2
1
[
2,
2],sin
cos
2
t
t
2
2
2
,
2
4
1
4
2
1
(
)
1
1
2
MFN
S
t
t
t
t
t
因为
, 所以
. 从而当
时,
2
2
(
1)
( 2
1)
t
„
2
12
8 2
(
4
2
1)
MFN
S
…
3
4
面积的最小值为
.
MNF
12
8 2
（方法2）因为
，显然直线
的斜率不可能为零，设直线
：
，
10
F
,
MN
MN
x
my
n
，由
可得，
，所以，
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
2
4
y
x
x
my
n
2
4
4
0
y
my
n
，
1
2
1
2
4 ,
4
y
y
m y y
n
，因为
，所以
，
2
2
16
16
0
0
m
n
m
n
0
FM FN
1
2
1
2
1
1
0
x
x
y y
即
，亦即
，
1
2
1
2
1
1
0
my
n
my
n
y y
2
2
1
2
1
2
1
1
1
0
m
y y
m n
y
y
n
将
代入得，
，
，
1
2
1
2
4 ,
4
y
y
m y y
n
2
2
4
6
1
m
n
n
2
2
4
1
0
m
n
n
所以
，且
，解得
或
．设点
到直线
的距离为
1
n
2
6
1
0
n
n
3
2 2
n
3
2 2
n
F
MN
，所以
，
d
2
1
1
n
d
m
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
16
16
MN
x
x
y
y
m
y
y
m
m
n
，所以
的面
2
2
2
1
4
6
1
16
2 1
1
m
n
n
n
m
n
MFN
△
，而
或
，所
2
2
2
1
1
1
2 1
1
1
2
2
1
n
S
MN
d
m n
n
m
3
2 2
n
3
2 2
n
以，
当
时，
的面积
3
2 2
n
MFN
△
2
min
2
2 2
12
8 2
S
