重难点15：破解圆锥曲线弦长：圆锥曲线
中斜率、弦长与面积问题
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................4
题型一、求直线斜率........................................................................................4
题型二、求周长................................................................................................7
题型三、求弦长..............................................................................................11
题型四、已知弦长或弦长关系求参数..........................................................14
题型五、已知中点弦求参数..........................................................................17
题型六、求面积..............................................................................................19
题型七、已知面积或面积关系求参数..........................................................23
题型精析・方法突破提能力..............................................................................26
圆锥曲线中斜率、弦长与面积问题是高考解析几何的核心考点，其本质是代数方法解
决几何问题，核心工具是 “联立方程 + 韦达定理”，同时需结合几何图形的性质简化运
算。所有此类问题均围绕 “直线与圆锥曲线相交” 展开，通用解题思路如下：
步骤 1：设方程：定曲线与动直线
圆锥曲线方程：直接使用标准方程（椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1、双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1、抛物线
y
2=2px等），明确参数（(a,b,p)）的已知条件。
直线方程：根据斜率是否存在分类讨论（避免漏解）：
知识网络・核心根基深扎牢
一、解题思路
若斜率存在且不为 0：设为y=kx+ m （k为斜率，m 为纵截距），便于联立消
元；
若斜率不存在：设为x=t（垂直于x轴，适用于抛物线或对称问题）；
若斜率为 0：设为y= m （平行于x轴，较少单独使用）。
步骤 2：联立与消元：构建一元二次方程
将直线方程代入圆锥曲线方程，消去x或y（优先消去 “次数较低” 的变量，如抛
物线y
2=2px优先消x），得到关于单个变量的一元二次方程：
A x
2+ Bx+C=0（或Ay
2+ By+C=0）。
步骤 3：判韦达：用判别式与韦达定理定关系
相交
Δ=
⇔
B
2
4
−AC>0，由此可得到k与m的不等关系（关键约束条件，常用于后续
求范围或最值）。设交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则：x1+x2=−B
A ，x1x2=C
A （若
消去y）；y1+y2=−B
A ，y1y2=C
A （若消去x）。
步骤 4：转代数：将几何条件译为代数表达式
根据题目要求（求斜率、弦长、面积、参数），将几何量用韦达定理的结果表示（核
心步骤）。
步骤 5：解方程/求最值：结合约束条件求解
代入韦达定理的表达式，化简后解方程（求斜率、参数），或结合Δ>0等约束条件
求范围、最值（常用二次函数、基本不等式、三角函数等工具）。
知识点
1 ：弦长公式（韦达定理）
设直线l:y=kx+ m 与圆锥曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，两点间距离为：
|AB|=
❑√1+k
2∙
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2；
|AB|= ❑√1+(
1
k)
2
∙
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2；
设直线l:x=ty+n与圆锥曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，两点间距离为：
二、方法技巧
|AB|= ❑√1+(
1
t)
2
∙
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2；
|AB|=
❑√1+t
2∙
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2；
注意：直线与圆锥曲线联立的一元二次方程利用韦达定理求x1+x2，x1x2，y1+ y2，
y1 y2
知识点
2 ：弦长公式（硬解定理）
设直线l:y=kx+ m 与圆锥曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，
联立消去x 得到：ax
2+ bx+c=0，两点间距离为：|AB|=
❑√1+k
2∙
❑√∆
|a| ；
联立消去y 得到：a y
2+ by+c=0，两点间距离为：|AB|=
❑√1+(
1
k)
2
∙
❑√∆
|a|
；
设直线l:x=ty+n与圆锥曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，
联立消去x 得到：ax
2+ bx+c=0，两点间距离为：|AB|= ❑√
1+(
1
t)
2
∙
❑√∆
|a|
；
联立消去y 得到：a y
2+ by+c=0，两点间距离为：|AB|=
❑√1+t
2∙
❑√∆
|a| ；
知识点
3 ：面积公式（任意三角形）
设平面内三点：直线y=kx+ m与曲线交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，定点P(x0,y0)，
△PAB 的面积：
S=1
2 ×|AB|×d =1
2
❑√1+k
2∙
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2∙|k x0−y0+m|
❑√1+k
2
=1
2
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2∙|k x0−y0+m|
；
设平面内三点：直线x=ty+n与曲线交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，定点P(x0,y0)，
△PAB 的面积：
S=1
2 ×|AB|×d =1
2
❑√1+t
2∙
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2∙|x0−t y0−n|
❑√1+t
2
=1
2
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2∙|x0−t y0−n|
；
知识点
4 ：面积公式（焦点三角形）
椭 圆：设椭圆椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1，a>b>0，焦点F1(−c,0)、F2(c,0)，P(x0,y0)为
椭圆上一点，∆PF1F2中∠F1PF2=θ，|PF1|= m ，|PF2|=n，则面积为：
基本公式：S=1
2 mnsinθ；
坐标公式：S=c|y0|，因|y0|≤b，故面积最大值为Smax= bc；
角度关联公式：S= b
2tanθ
2
。
双曲线：设双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，a>0,b>0O，焦点F1(−c,0)、F2(c,0)，P(x0,y0)
为双曲线上一点，∆PF1F2中∠F1PF2=θ，|PF1|= m ，|PF2|=n，则面积为：
基本公式：S=1
2 mnsinθ；
坐标公式：S=c|y0|，因|y0|≥0，面积可无限增大；
角度关联公式：S=b
2
tanθ
2
。
注意：当P处于椭圆短轴端点时，θ最大。
知识点
5 ：面积公式（含焦点三角形）
设过焦点F1的直线与椭圆或双曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，焦点
F1(−c,0)、F2(c,0)
则S∆ABF2=S∆A F1F2+S∆BF1F2=1
2 ×2c×|y1−y2|=c
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2
注意：该公式可推广到如图的三角形求面积
则S∆ABP=S∆A PQ+S∆BPQ=1
2 ×|PQ|×|y1−y2|=1
2 ×|PQ|❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2
知识点
6 ：圆锥曲线弦中点性质（用点差法）
椭 圆：设椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1，a>b>0，过椭圆内一点M(x0,y0)的弦为AB（M为AB中
点），则弦AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的斜率kOM之积为定值−b
2
a
2 ，即：
kAB·kOM=−b
2
a
2
双曲线：设双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，a>0,b>0O，过双曲线内（或外，需保证弦存在）一点
M(x0,y0)的弦为AB（M为AB中点），则弦AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的
斜率kOM之积为定值b
2
a
2 ，即：kAB·kOM= b
2
a
2 。
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、求直线斜率
【答案】A
【分析】依题意设直线
的斜率为
，直线
的倾斜角为
，则
，设
，
，分别联立直线
、
方程与椭圆方程，即可得到
、
，再根据
，由弦长公式得到
，代入
、
，即
可得到关于
的方程，解得即可；
【详解】解：设直线
的斜率为
，直线
的倾斜角为
，则
，
为等腰直角三角形，
直线
的斜率为
或
，
，
设
，
，
，
，
由
，即
，即
，
典例探究
【典型例题】已知点A，B 在椭圆
上，点A 在第一象限，O 为坐标原点，且
．若
是等腰三角形（点O，A，B 按顺时针排列），则OA 的斜率为（ ）
A．
或
B．
或
B．C．
或
D．
或
由
，即
，即
，
由
可得
，
，
整理可得
，
解得
故选：A
【1-1】若直线
与抛物线
交于
两个不同的点，抛物线的焦点为
，且
成等差数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
.由
得
，由韦达定理得
，因为直线
与抛物线
交于
两个不同的点，所以
即
， 由抛物线的性质可知
，再结合条件有
，进而得而出答案.
【详解】设
.由
消去
，得
，
举一反三
故
，解得
，且
.
由
，且
成等差数列，
得
，得
，
所以
，解得
又
，故
，
故选：D
【1-2】已知椭圆
，过右焦点
且斜率为
的直线与椭圆交于
，
两点，
若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】设直线方程
，根据
得纵坐标关系，结合韦达定理求
解.
【详解】由题：椭圆
，右焦点
，
过右焦点
且斜率为
的直线
，
设
，
联立
，得：
，
，
，所以
，得
，即
，
，
所以
故选：B
【1-3】已知椭圆C：
的离心率为
，过左焦点F 作一条斜率为
的直线，与椭圆交于A，B 两点，满足
，则实数k 的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，由
得到A、B 两点的纵坐标的关
系，进而得到方程，求出实数k 的值.
【详解】因为离心率
，所以
，设直线方程为：
，则
与椭圆
联立得：
，设
，不妨令
，由
可得：
，其中
①，
②，将
代入①②可得：
，
，从而
，解得：
，因为
，所以
.
故选：B
题型二、求周长
典例探究
【答案】D
【分析】由离心率为
，得到a，b，c 之间的关系，做出简图，分析可得直线
的
方程为：
，且直线
垂直平分
，所以
的周长等于
的周长，
等于
，将直线方程与椭圆方程
联立，利用弦长公式求出c，a 的值.
【详解】因为椭圆的离心率为
，所以
，
，
如图，
，所以
为正三角形，又因为直线
过
且垂
直于
，所以
，直线
的方程为：
，
设点D 坐标
，点E 坐标
，
将直线方程与椭圆方程
联立，得
，
【典型例题】已知椭圆
的上顶点为
，左右焦点为
，离心
率为
.过
且垂直于
的直线与
交于
两点，
，则
的周长是（ ）
A．19
B．14
C．
D．13
则
，
，
所以
，
得
，
.
由图，直线
垂直平分
，所以
的周长等于
的周长，等于
.
故选：D.
【2-1】已知椭圆
的左焦点为
，点
是椭圆上异于顶点的任意一点，
为坐标
原点，若点
是线段
的中点，则
的周长为（ ）
A．6
B．5
C．12
D．10
【答案】B
【分析】设椭圆的右焦点为
，连接
，进而得
的周长为
，即可得答案.
【详解】解：由题知，
，
设椭圆的右焦点为
，连接
，
因为点
是线段
的中点，
为线段
中点，
所以
，
，
所以，
的周长为
举一反三
故选：B
【2-2】已知椭圆
，过
作直线
与
交于
两点，则
的周长为（ ）
A．24
B．20
C．16
D．12
【答案】A
【分析】根据焦点三角形的周长即可求解.
【详解】由椭圆方程可知
，则
，
所以
是椭圆
的焦点，
所以
的周长为
.
故选:
.
【2-3】已知椭圆C：
，椭圆C 的一顶点为A，两个焦点为
，
，
的面积为
，焦距为2，过
，且垂直于
的直线与椭圆C 交于D，E 两点，则
的周长是（ ）
A．
B．8
C．
D．16
【答案】B
【分析】先根据
的面积为
，焦距为2，求得椭圆方程为
，然后
根据已知条件及等边三角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结
合三角形的周长公式即可求解.
【详解】因为
的面积为
，焦距为2，所以
，
所以
，故椭圆方程为
，
假设
为椭圆C 的上顶点，因为两个焦点为
，
，
所以
，
，故
,
所以
为等边三角形，又因为过
，且垂直于
的直线与椭圆C 交于D，E 两
点，
所以
，
,
由椭圆的定义可知：
，
，
所以
的周长为
，
故选：
.
题型三、求弦长
【答案】B
【分析】设直线的方程为
，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将
表示成
的函数即可求解.
【详解】设直线的方程为
，由
，得
，
由
，得
，
则
，
所以
，
当
时取到最大值，此时直线的方程为
．
故选：B．
【3-1】已知椭圆
：
的左焦点为
，不经过
且斜率为
的直线交
于
，
两点.当
的周长最大时，
（ ）
典例探究
【典型例题】已知斜率为1 的直线与椭圆
相交于
，
两点，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
举一反三
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义证明当直线
过点
时，
的周长最大，联立方程组
求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论.
【详解】椭圆
的左焦点
的坐标为
，则椭圆的右焦点
的坐标为
，
由椭圆的定义可得
，
，
所以
的周长为
，
又
，所以
，当且仅当
在线段
上时取等号，
所以当直线
过点
时，
的周长最大，
又直线
的斜率为
，所以直线
的方程为
，
联立
，消
可得
，所以
或
，
所以
，
所以当
的周长最大时，
，
故选：C.
【3-2】过双曲线
的左焦点F1，作倾斜角为
的直线与双曲线交于A，B 两点，
则
＝（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】先表达出直线AB 的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合
韦达定理即可求解.
【详解】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为
，直线AB 的方程为
.
由
得
.
设
，
则
，
，所以
＝3.
故选：B.
【3-3】已知双曲线
的左焦点为
，圆
.若过
的直
线分别交
的左、右两支于A，B 两点，且圆
与
相切，
的离心率为
到
的渐近
线的距离为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可得
，可得
，进而可求直线
的方程
，联立方程组可求弦长.
【详解】由
，得
.
双曲线
的渐近线方程为
，
，
因为
到
的渐近线的距离为
，所以
，解得
，所以
，
过
的直线
与圆
相切于
，则可得
，
所以
，
过
且与圆
相切的直线方程为
，
联立方程组
，消去
得
.设
，
则
，所以
.
故选：D.
【答案】C
【分析】联立直线与抛物线方程，再利用弦长公式即可得到答案.
【详解】设
，
题型四、已知弦长或弦长关系求参数
典例探究
【典型例题】已知直线
与抛物线
交于
两点，且
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
联立
，得
，
则
，解得
，
，
，
，解得
.
故选：C.
【4-1】已知抛物线
的焦点为F，过点F 且斜率大于0 的直线l 交C 于A，B 两点，
若
，则l 的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设出直线方程，联立曲线方程后借助焦点弦公式计算即可得.
【详解】依题意
，设直线
的方程为
，
由
，得
，所以
，
所以
，解得
，
所以直线l 的斜率为
.
举一反三
故选：B.
【4-2】过点
且斜率为1 的直线交抛物线
于
两点，若
，
则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．7
【答案】D
【分析】求出直线
，然后与抛物线方程联立
，结合韦达定理及弦长
公式即可求解.
【详解】由题得直线
，设
，联立
得
，
令
，则
，所以
，
由
，
则
，解得
．故D 正确.
故选：D.
【4-3】已知椭圆
的右焦点为
，过点
的直线与
交于
两点，若直线
的斜率为正数，且
，则直线在
轴上的截距是（ ）
A．1
B．－1
C．
D．
【答案】D
【分析】设出直线的横截式方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求解出
值，
则结果可求.
【详解】设
，
联立
，消去
化简整理得
，
所以
，
于是
，
解得
，
故直线的方程为
，
令
，解得
，所以直线在
轴上的截距为
，
故选：D.
题型五、已知中点弦求参数
典例探究
【答案】B
【分析】利用点差法计算得出
，借助离心率公式计算即可.
【详解】设
，
因为
为线段
的中点，所以
，
由
，两式相减可得：
，
整理得
，即
，
所以
，则
，即椭圆
的焦点在
轴上，
即
，则
，
所以
.
故选：B.
【5-1】已知椭圆
，过点
的直线l 与C 交于
两点，若
的中点坐标为
，则C 的离心率为（ ）
【典型例题】过点
作斜率为
的直线与椭圆
相交于
两点，若
为线段
的中点，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
举一反三
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据点差法结合直线
斜率可求出
，即可得到椭圆的离心率.
【详解】
由题意得，
.
设
，则
，
∵点
在椭圆上，∴
，
两式相减得，
，即
，
∴
，∴
，
∴C 的离心率
.
故选：B.
【5-2】已知直线
与双曲线
相交于
，
两点，且弦
的中点是
，则此双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用点差法，求
，即可求双曲线的渐近线方程.
【详解】设
，
，
则
，两式相减得
，
，即
，即
，
所以双曲线的渐近线方程为
.
故选：C
【5-3】已知双曲线
与直线
相交于A，B 两点，其中
中点的横坐标为
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
中点为
，根据易知确定
坐标值，再应用点差
法及直线斜率的两点公式得到
，进而得到双曲线参数的齐次方程求离心率.
【详解】设
中点为
，由题设易知
，故
，
因为
，故
，
所以
，而
，故
，
故
，故
.
故选：A
【答案】C
【分析】设
，根据向量加法的平行四边形法则得到
，再根据
其模长可得关于
的等式，联立椭圆方程即可求出
的值，再利用纵坐标的绝对值求三
角形面积即可.
【详解】
设
，
为坐标原点，由
，
，与
，
，
.
故选：C.
题型六、求面积
典例探究
【典型例题】已知椭圆
：
的焦点为
，
，椭圆
上有一点
处于第一象限，
且
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【6-1】已知抛物线C：
的焦点为F，过点
及点F 的直线与C 交于
M，N 两点（M 在第一象限），与C 的准线交于点P，若
，O 为坐标原点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可知焦点
，过点N 作准线
的垂线，垂足为点
，可得
，进而可得直线FA 的斜率为
，然后可得
，联立直线方程与抛物
线方程组，可得
，
，利用三角形面积公式即可求解.
【详解】
由抛物线C：
方程可知：焦点
，准线方程
.
过点N 作准线
的垂线，垂足为点
，如图所示，则由抛物线的定义可知
举一反三
.
又
，所以
，所以
，所以
，所以直线FA
的斜率为
.
由直线的点斜式方程可知：直线FA 的方程为
，即
.
令
，得
，则
，所以抛物线C 方程为
.
联立方程组
，消去
化简整理得
，
即
，解得
或
，
所以
，
，则
.
故选：A.
【6-2】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，关于原点对称的点
在
上，
若
，则四边形
的面积为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由对称性，且
，四边形
是矩形，则结合定义求
即可.
【详解】由已知，
，
，
则
，
由已知，
关于原点对称，且
，则四边形
是矩形，
则
，
，
联立解方程，可得
.
故选：B.
【6-3】设
为双曲线
的两个焦点，点
是双曲线上的一点，且
，
则
的面积为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】设
，利用双曲线定义，可得
，又由勾股
定理得
，联立求得
，即得三角形的面积.
【详解】
如图，由
可知，
，
由对称性，不妨设点
在第一象限，
设
，由定义
，
，
，
的面积为
.
故选：B
【答案】C
【分析】利用面积关系，得到线段比例关系，设出直线与
轴交点后求参数即可.
【详解】
易得
，故
，设
，
，
直线
与
轴交点
，
面积为
，
面积为
，
由题意得
面积是
面积的2 倍，则
，
题型七、已知面积或面积关系求参数
典例探究
【典型例题】已知双曲线
的左、右焦点为
，
，直线
与C 交于
A，B 两点，若
的面积是
面积的2 倍，则
（ ）
A．
B．
或6
C．
D．
或
化简得
，结合
，
故
，解得
，即
，故
，解得
.
故选：C.
【7-1】已知双曲线
的左、右焦点分别为
为
上关于原点对
称的两点，且
，
的面积为
，若
为锐角，则
（ ）
A．48
B．96
C．144
D．192
【答案】B
【分析】双曲线定义结合对称性，根据三角形面积公式列方程求出
，然后利用
余弦定理求解可得.
【详解】由于
，则由双曲线定义知
，所以
．
如图，根据双曲线对称性知四边形
为平行四边形，则
，
结合
，
所以
，
解得
，
又
为锐角，故
，则
.
在
中，由余弦定理可知
，则
，
所以
．
举一反三
故选：B
【7-2】由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率
与椭圆的
长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆
的离心率为
分别
为
的左､右焦点，
上一点
满足
，且
的面积为
，则
的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】只需根据题目条件求得
，再结合椭圆面积公式即可求解.
【详解】由
，可得
，则
.
因为
的面积为
，所以
，则
，
从而
，即
.
又
的离心率为
，所以
，解得
，
从而
，则
的面积为
.
故选：D.
【7-3】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，设
为坐标原点，
为
上一
点，若
的面积为
，则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据面积求出点
的纵坐标，代入椭圆可出
的坐标.
【详解】
，
，
设
，则
，
故选：A
【突破提升训练・1】已知椭圆
上，过F1的直线l 与椭圆E 交于A、B 两点
（点A 位于x 轴上方），若
，则直线l 的斜率k 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
题型精析・方法突破提能力
【分析】设出直线方程，与椭圆联立，根据向量关系可得
，代入韦达定理即
可求出.
【详解】由椭圆方程可得
，设直线方程为
，设
，
联立方程组
，可得
，
则
，
，
由
得
，则
，
代入上式得
，
，解得
，则
，
则直线的斜率为
，又点A 位于x 轴上方，所以斜率为
.
故选：C.
【突破提升训练・2】椭圆
的两个焦点分别为
，过
的直线交椭圆于A、
B 两点，则
的周长是（ ）
A．10
B．12
C．16
D．20
【答案】D
【分析】根据椭圆定义进行求解.
【详解】由题意得
，
由椭圆定义可知，
，
所以
的周长为
.
故选：D
【突破提升训练・3】已知椭圆C：
的两个焦点分别为
，
，椭圆C 上有一点
P，则
的周长为（ ）
A．8
B．10
C．
D．12
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义可得：
，所以
的周长等于
【详解】因为
，
，所以
，故
的周长为
．
故选：B
【突破提升训练・4】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，左右顶
点分别为
，过
的直线交
于
两点（异于点
），
的周长为
，
且直线
与
的斜率之积为
，则椭圆
的标准方程为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义即可求得
，设
，由
求得
，进而求
解.
【详解】由
的周长为
，由椭圆的定义得
，解得
，
所以
，
，设
，则
，可得
，
则
，解得
，
所以椭圆C 的方程
，
故选：A.
【突破提升训练・5】椭圆
的左顶点为
，右焦点为
为
上一点，则
的周长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】可先根据椭圆的标准方程求出相关参数，再结合椭圆的定义求出
的周
长表达式，最后根据椭圆上点的坐标范围确定周长的取值范围。
【详解】对于椭圆
，根据椭圆的标准方程
，
其中
为长半轴长,
为短半轴长, 为半焦距且
可得
，则
,
，所以
已知椭圆的左顶点
，右焦点
根据椭圆的定义：平面内与两个定点
的距离之和等于常数（大于
）的点
的轨迹叫做椭圆，且
（
为椭圆的左焦点）
椭圆
的左焦点
,则
,即
的周长
,其中
所以
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可得
,即
所以
,
又因为当
共线时，
此时
或
，所以
，D 正确.
答选：D
【突破提升训练・6】直线y＝x+m 与椭圆
交于A，B 两点，若弦长
，
则实数m 的值为（ ）
A．
B．±1
C．
D．±2
【答案】B
【分析】联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，结合
求得
的
值.
【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），联立
，整理可得：3x2+4mx+2m2﹣
2＝0，则x1+x2＝
，x1x2＝
，
所以弦长|AB|＝
＝
＝
，
由题意可得：
＝
，解得：
.
故选：B
【突破提升训练・7】椭圆
，过原点O 斜率为
的直线与椭圆交于C，D，若
，则椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用直线斜率和弦长求出
点的坐标，然后将点
代入椭圆方程，解出
，
从而得到椭圆方程.
【详解】由题意可知，直线
的方程为
，直线倾斜角为
，
不妨设
点在第一象限，则
，因此可得
，
又点
在椭圆
上，所以
，
所以椭圆的标准方程为
，
故选：D.
【突破提升训练・8】已知抛物线
与直线
交于
，
两点，
且线段
中点的横坐标为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用点差法列方程可得解.
【详解】设
，
，则
，
整理得
，
因为线段
中点的横坐标为
，
所以线段
中点的纵坐标为
，则
，
从而可得
，
故选：D.
【突破提升训练・9】已知抛物线E：
的焦点为F，过点F 的直线与E 交于
A，B 两点，过点A，B 分别作E 的切线．若两条切线的交点为P，则
面积的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题可设
，
，求得中点
，进而利用导数求得切线
AP，BP 的方程，进而求得
的坐标，可得
轴，利用
，可求面
积的最小值.
【详解】由题可设
，
，AB 的中点为M，则
．
因为
，所以
，故切线AP 的方程为
，
化简得
．同理，切线BP 的方程为
．
两式联立得
，故
轴，
则
．
直线
的斜率不存在时，与抛物线不存在两个交点，故
的斜率存在，
设
的直线方程为
，代入抛物线方程得
，
，所以
，
所以
，
当
时，
最小，最小值为
，
所以
．
故选：B.
【突破提升训练・10】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，若
上一点
到
轴的距离为
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的方程与几何性质结合三角形面积公式计算.
【详解】由题意知点
的横坐标为
，代入
得
，
又
，
所以
的面积为
.
故选：B
【突破提升训练・11】已知抛物线
的焦点为
，点A 在抛物线上，O
是坐标原点，若
的面积为
，则
长度为（ ）
A．2
B．3
C．
D．4
【答案】D
【分析】根据焦点可得抛物线方程
，进而由面积公式可得点的坐标，即可根
据焦半径公式求解.
【详解】由
，得
，即
，故抛物线的方程为
.
设
，则
的面积为
，得
，
将
代入
，得
，
由焦半径公式
.
故选：D.
【突破提升训练・12】已知抛物线C：
的焦点为F，过点F 的直线与C 交
于A，B 两点，过A，B 分别作准线l 的垂线交l 于P，Q 两点，若
，且
的面积为
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．6
【答案】D
【分析】如图，过点B 作
交直线AP 于点M，交x 轴于点N，设点
，
，由题意可得
，
，进而根据
，可求
.
【详解】如图，过点B 作
交直线AP 于点M，交x 轴于点N，
设点
，
，因为
，
所以
，即
①．
又因为
，所以
，所以
，
所以
②，
由①②可解得
，
．
当
时，
；当
时，
．
所以
，解得
．
故选：D.
【突破提升训练・13】已知椭圆
的离心率
，且椭圆的长轴
长为4.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的直线与椭圆
交于
两点，且
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）由长轴长可得
，再根据离心率可得
，再求
，即可得到方
程；
（2）方法一、根据题意，直线斜率为0 时，得到
不符合题意，当直线
斜率不为0 时，设
，联立曲线得到
，再根据
求解即可；
方法二、直线斜率不存在时，
，不符合题意，当直线斜率存在时，设
，联立曲线得到
，再根据
求解即可.
【详解】（1）由题可知，
，
，
又
，且
，解得
，
，
则椭圆
的方程为
.
（2）法一：①当直线斜率为0 时，
， 不符合题意.
②当直线斜率不为0 时，设直线方程为
，
联立
，得
，
，
设
，则
.
由题意，
，
即
，解得
.
故直线的方程为：
或
.
法二：①当直线斜率不存在时，
，不符合题意.
②设直线方程为
，
联立
，得
，
，
设
，则
，
由
，得
，
即
，解得
.
故直线的方程为
或
.
【突破提升训练・14】已知椭圆
，其中离心率为
，且过点
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
的直线被椭圆
截得的弦长为
，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据离心率和过点列方程组求解即可；
（2）分直线l 斜率存在和不存在时讨论，当直线l 斜率存在时，设其方程为
，
与椭圆方程联立，利用弦长公式求出弦长，列方程求解即可．
【详解】（1）由题意得
，解得
，
，
∴椭圆
的标准方程为
．
（2）分直线斜率是否存在讨论：
当斜率不存在时，直线方程为
，此时截得的弦长为
，不符合题意；
当斜率存在时，设直线的方程为
，
联立
得
，
设直线与椭圆
的交点为
，
，
则
，
，
，
则
，
化简得
,
解得
,
∴直线的方程为
．
综上，
或
.
【突破提升训练・15】已知椭圆C：
，
，P 是椭圆C 上任意
一点，F 是椭圆C 的右焦点，且
的最小值是1．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，若
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由
，结合
最小值得到方程，求出
，得到椭
圆方程；
（2）当过点
的直线的斜率为0 时不合要求，当过点
的直线的斜率不为0 时，
设出方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式列出方程，求出直线方
程.
【详解】（1）因
，
，所以
，
，即
．
当P 是椭圆右顶点时，
取得最小值，最小值为
，故
，
则
，
，椭圆C 的方程为
．
（2）当过点F 的直线l 的斜率为0 时，
，不符合要求．
当过点F 的直线l 的斜率不为0 时，设直线l 的方程为
，
代入
，得
，
恒成立．
设
，
，则
，
，
故
，
故
，解得
，
故直线l 的方程为
．
【突破提升训练・16】已知椭圆
与椭圆
的焦点相同，且
的长轴长是短轴长的
倍．
(1)求
的方程；
(2)若过点
且斜率为
的直线与
交于
两点，求
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据题意可得椭圆
的焦点，即可得
，且
，利用
计算可得
的值，从而得出椭圆方程；
（2）根据题意写出直线的方程，与椭圆方程联立可得
，利用韦达定
理结合弦长公式计算可得结果.
【详解】（1）由题意，椭圆
的焦点为
和
，即
，
且
，
，解得
，
，
，
椭圆
的方程为
.
（2）由题意，直线的斜率
，其方程为
，
联立
可得
，
设
，
根据韦达定理，则有
，
.
所以
.
【突破提升训练・17】已知双曲线
的左焦点为
，离心率
为2.
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点，与
轴交于点
，且
是
的中点，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知求
，由
关系求
，写出方程；
（2）由已知可得
，求出直线方程，联立-消元-韦达定理，利用弦长公式求
解.
【详解】（1）由已知可得
，所以
，所以
，
所以
的方程为
.
（2）因为
是
中点，所以点
的横坐标为2，所以
，
所以直线的斜率
，方程为
，
由
，得
，
设
，则
，
所以
.
【突破提升训练・18】已知
为抛物线
上一点，点
到
的焦点的距离
为6，到
轴的距离为5 .
(1)求
的方程；
(2)设
的焦点为
，过点
的直线与
交于
、
两点，
，求
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，结
合已知条件求出
的值，进而得抛物线的方程；
（2）先求出焦点
的坐标，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用向量关系得到
坐标关系，再结合韦达定理求出直线方程中的参数，最后根据弦长公式求出
.
【详解】（1）设点
，因为点
到
的焦点的距离为6，到
轴的距离为5，
根据抛物线的定义，得
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）由（1）得，抛物线
的方程为
，所以
，
又过点
的直线与
交于
、
两点，
设直线：
，
，
，
则
，联立化简得
，
所以
，
，
，
又
，则
，
所以联立方程
，解得
，
根据弦长公式，对于直线与抛物线相交的弦长，
得
，
将
，
，代入上式，
可得
，
又
，得
.
【突破提升训练・19】已知抛物线
与椭圆
有一个相同的焦
点，过抛物线
焦点的直线与抛物线
相交于
、
两点，且
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得出
的值，由此可得出抛物线的标准方
程；
（2）设直线的方程为
，
、
，将该直线方程与抛物线方
程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦点弦长公式可得出
的值，即可得出直线的方
程.
【详解】（1）
椭圆
的焦点坐标为
，
抛物线
的焦点坐标为
，
，即
.
抛物线
的方程为
.
（2）易知直线不与
轴重合，又直线过焦点
，
设直线的方程为
，
、
，
联立
，消去
并整理得
，则
，
，
，
，解得
.
直线的方程为
或
.
【突破提升训练・20】已知
为椭圆
：
上一点，且点
到两焦点距
离之和为
，且椭圆离心率为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
被椭圆
截得的线段长为
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，直接求出
，即可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，消
得到
，结合条件，利用韦达定
理和弦长公式，即可求解.
【详解】（1）由题可得
，则
，
又由
得
，则
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）设直线
与椭圆
交于
，
两点，
联立方程组
，消
得到
，
则
，
由于
，又
，
则
，整理得到
，解得
，
又
时，
，所以
满足题意.
【突破提升训练・21】已知动点P 与平面上两定点
连线的斜率的积为定
值
，试求：
(1)动点P 的轨迹C 的方程；
(2)是否存在过点
与（1）中曲线C 相交所得弦长
的直线，若存在，
求直线l 的方程；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)
；
(2)存在，
或
.
【分析】（1）设动点
，根据
及斜率两点式列方程求轨迹；
（2）设直线
与曲线C 的交点为
，联立轨迹C 并应用韦达
定理、弦长公式求参数k，即可得结果.
【详解】（1）设动点
，
由题意
，化简整理得
，
故点P 的轨迹C 的方程是
.
（2）直线斜率不存在时不合题意，
斜率存在时，设直线
与曲线C 的交点为
，
由
，得
，
，
则
，
，
，整理得
，解得
或
（舍）.
经检验，
符合题意，直线l 的方程为
，即
或
.
【突破提升训练・22】已知直线
与曲线
.
(1)若与
有公共点，求实数
的取值范围；
(2)若与
有两个不同的公共点
，且线段
中点
的横坐标为
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与椭圆，利用方程组与两个交点，求出
的范围.
（2）设交点
，利用韦达定理求解即可.
【详解】（1）联立
的取值范围
（2）设
由
得.
线段
中点
的横坐标为
【突破提升训练・23】已知双曲线
的右焦点为
，直线与
的右支交于
两点.若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
【答案】
【分析】设
，根据题意利用点差法可得直线的斜率，即可得方程，
注意检验.
【详解】设
，则
，直线的斜率
，
因为
在椭圆上，则
，两式相减得
，
整理可得
，即
，
可得直线的方程为
，即
，经检验符合题意，
所以直线的方程为
，即
.
【突破提升训练・24】过点
作抛物线
的弦
，弦
恰被点P 平分.
(1)求弦
所在直线的方程；
(2)求弦
的长度.
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】（1）直线
斜率存在，设
，代入抛物线方程相减求得直
线斜率后可得直线方程；
（2）直线方程与抛物线方程联立后，用韦达定理求得弦长．
【详解】（1）点
在抛物线内部，过
点的所有斜率不为0 的直线都与抛物线相交，
又
是
中点，直线
斜率存在，
设
，则
，
则
，相减得
，
所以
，
所以直线
方程为
，即
；
（2）由
，得
，
则
，
所以
．
【突破提升训练・25】已知抛物线C：
（p＞0）的焦点为F，过点F 作直线l 与抛
物线C 交于A，B 两点O 为坐标原点．当直线l⊥y 轴时，|AB|＝4．
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)若直线AB 的斜率为1，求△ABO 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)依题意分析当直线l⊥y 轴时，用
表示A、B 两点坐标，根据
,可
求得
的值,进而得到抛物线C 的标准方程.
(2)联立直线与抛物线方程，可得到
两点坐标关系，进而求得△ABO 的面积.
【详解】（1）由题可知：
.
当直线l⊥y 轴时，可得
，
.所以
.
因为
,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C 的标准方程为
．
（2）由（１）知：
，所以直线
.
联立直线l 与抛物线C 方程
，得
，
设点A
，B
,则
，
，
所以
.
所以△ABO 的面积
．
【突破提升训练・26】已知椭圆
的离心率为
，经过点
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
为
的右顶点，过点
的直线交
于
两点，若
为
的中点，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用已知条件及
即可求解；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及
为
的中点即可求出斜率
，进而
求出直线
的方程，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，即可求解.
【详解】（1）设椭圆
的半焦距为，由题知
，由
，则
，
所以椭圆
的方程为
．
（2）
由题意可知直线
的斜率存在，
设
的方程为
，
由
消去
得，
，
因为
为
的中点，所以
，解得
，
从而
，
的方程为
，
所以
，
而
，所以点
到直线
的距离
，
所以
的面积
．
【突破提升训练・27】已知点
在双曲线C：
上，直线l 交C 于
P，Q 两点，直线
的斜率之和为0．若
，求
的面积．
【答案】
．
【分析】点
代入求得双曲线方程，直线AP，AQ 的斜率之和为0．得直线
倾斜角关系，然后由
求得直线
的斜率、方程，直线方程与
双曲线方程联立利用韦达定理求得
，再由面积公式得结论.
【详解】将点
代入C 得
，
解得
．所以C 的方程为
．
不妨设直线
的倾斜角
，
则
或
．
因为C 的渐近线的斜率为
，
由
得
，
解得
或
（舍）或
（舍）或
（舍），
所以
，
．
故直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
联立
消去
得
，
，
，
所以
．
联立
消去
得
，
，
，
同理
．
由
得
，
所以
．
【突破提升训练・28】已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，
若C 的离心率为2，点
在C 上，过
的直线l 交C 的右支于P，Q 两点．
(1)求直线AP，AQ 的斜率之积；
(2)若
的面积为
，求l 的方程．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据条件求出双曲线方程为：
，设l 的方程为
，
，
，与双曲线方程联立，由韦达定理可得
，
，代入
化简即可求解.
（2）化简
，由
，解出
的值，判断其合理性即可.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
所以C 的方程为
．
所以
，由于直线l 的斜率不为0，设l 的方程为
，
，
，
联立
消去
得
，
由
，
得
，则
，
，
故
．
（2）由（1）得
，
，
所以
所以
，
即
，即
，
解得
或
，
因为直线l 交C 的右支于P，Q 两点，
所以
且
，
即
，
，
解得
，所以仅有
满足题意，
所以直线l 的方程为
或
．
【突破提升训练・29】已知椭圆
的离心率为
，短轴长为
.
(1)求C 的方程；
(2)若直线
与C 交于
两点，O 为坐标原点，
的面积为
，求t 的
值.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据题意可得
，进而解出
即可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出
的面积，
建立方程即可求解.
【详解】（1）由题意，得
，解得
，
则椭圆C 的方程为
.
（2）设
，
联立
，得
，
则
，解得
，
且
，
所以
，
点
到直线的距离为
，
则
，解得
或
，满足
，
则
或
.
【突破提升训练・30】已知顶点在坐标原点
，焦点在坐标轴上的抛物线过点
．
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)过点
作直线交抛物线于另一个交点
（
在第四象限），设直线
的斜率
分别为
，若
，求
的面积．
【答案】(1)抛物线的标准方程为
，准线方程为
或抛物线的标准方程为
，准线方程为
.
(2)
【分析】（1）根据题意分开讨论抛物线的开口方向，求出抛物线的标准方程与准线
方程.
（2）首先求出
和直线
的方程，然后求出点
的纵坐标，最后根据面积公式
求出
的面积即可.
【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为
，
将点
代入方程可得
，解得
，
此时抛物线的标准方程为
，准线方程为
；
当抛物线开口向上时，设其方程为
，
将点
代入方程可得
，解得
，
此时抛物线的标准方程为
，准线方程为
.
综上，抛物线的标准方程为
，准线方程为
或
，准线方程为
.
（2）根据题意，因为点
在第四象限，所以抛物线的标准方程为
，准线方程
为
.
画出图象为：
由题意可知
存在，
，因为
，所以
.
设点
，所以
，解得
（舍去）或
.
直线
的方程为
，即
.
所以
点的坐标为
.
所以
的面积为
.
