第 08 讲 圆锥曲线中的焦点弦、焦半径及定比分点
问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
抛物线定义的理解
2023年新Ⅱ卷，第10题,5分 抛物线焦点弦有关的几何性质 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
求直线与抛物线的交点坐标
2020年新I卷，第13题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2020年新Ⅱ卷，第14题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的焦点弦及其相关计算
2.理解、掌握圆锥曲线的焦半径及其相关计算
3.理解、掌握圆锥曲线的定比分点及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习知识讲解
1. 椭圆的斜率式焦点弦长公式
(1) 为椭圆 的左、右焦点，过 (或 )斜率为 的直线 与椭圆 交于
两点，则
(2) 为椭圆 的下、上焦点，过 (或 斜率为 的直线 与椭圆 交于
两点，则
2. 双曲线的斜率式焦点弦长公式
x2 y2
(1)F ，F 为双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F 斜率为k的直线l与双曲线交于A,B两
1 2 a2 b2 1
点，则
2ab2(1+k2)
(1)A，B在同支弦，|AB)=
a2k2−b2
2ab2(1+k2)
(2)A，B在异支弦，|AB)=
b2−a2k2
2ab2(1+k2)
综合(1)(2)可统一为:|AB)=
|a2k2−b2)y2 x2
(2)F ，F 为双曲线C: − =1(a>0,b>0)的上、下焦点，过F 斜率为k的直线l与双曲线交于A,B两
1 2 a2 b2 1
点，则
2ab2(1+k2)
(1)A，B在同支弦，|AB)=
a2−b2k2
2ab2(1+k2)
(2)A，B在异支弦，|AB)=
b2k2−a2
2ab2(1+k2)
综合(1)(2)可统一为:|AB)=
|a2−b2k2)
3. 椭圆的倾斜角式焦点弦长公式
x2 y2
(1)F ,F 为椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点，过F 倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两点，
1 2 a2 b2 1
2ab2 2ep
则|AB)= =
a2−c2cos2θ 1−e2cos2θ
|a2
)
b2
其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p= −c =
c c
y2 x2
(2)F ,F 为椭圆C: + =1(a>b>0)的上、下焦点，过F 倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两点，
1 2 a2 b2 1
2ab2 2ep
则|AB)= =
a2−c2sin2θ 1−e2sin2θ
|a2
)
b2
其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p= −c =
c c
2b2
特殊情形，对于焦点在x轴上的椭圆，当倾斜角为θ=90∘时，即为椭圆的通径，通径长|AB)=2ep= .
a
4. 双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
x2 y2
(1)F ，F 为双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F 倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A,B
1 2 a2 b2 1
2ab2 2ep
两点，则|AB)= =
|a2−c2cos2θ) |1−e2cos2θ)
|a2
)
b2
其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p= −c =
c c
y2 x2
(2)F ，F 为双曲线C: − =1(a>0,b>0)的上、下焦点，过F 倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A,B
1 2 a2 b2 1
2ab2 2ep
两点，则|AB)= =
|a2−c2sin2θ) |1−e2sin2θ)
|a2
)
b2
其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p= −c =
c c2b2
特殊情形，对于焦点在x轴上的双曲线，当倾斜角为θ=90∘时，即为椭圆的通径，通径长|AB)=2ep= .
a
5. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式
2|p)
(1) 焦点在 x 轴上, |AB)=
sin2θ
2|p)
(2) 焦点在 y 轴上, |AB)=
cos2θ
6. 椭圆的角度式焦半径公式
x2 y2 b2
设P是椭圆 + =1上任意一点，F为它的一个焦点，∠PFO=θ，则|PF)=
a2 b2 a−ccosθ
注:上述公式定义∠PFO=θ,P为圆锥曲线上的点,F为焦点
7. 双曲线的角度式焦半径公式
x2 y2
设 P 是双曲线 − =1(a>0,b>0) 上任意一点， F为它的一个焦点， ∠PFO=θ ，则
a2 b2
b2
|PF)=
ccosθ±a
式中“ 的记忆规律: 同正异负.即当 P 与 F 位于 y 轴的同侧时取正，否则取负.
取 ∠PFO=θ ，无需讨论焦点位置
8. 抛物线的角度式焦半径公式
已知 A 是抛物线 C:y2=2px(p>0) 上任意一点， F 为它的一个焦点， ∠AFO=θ ，则
p
|AF)=
1+cosθ
9. 定比分点的定义
若 ⃗AP=λ⃗PB, 则称点 P 为线段 AB 的定比分点, λ 为点 P 分 ⃗AB 的比.
(x +λx y +λ y )
一般地, 设点 A(x ,y ),B(x ,y ), 且 ⃗AP=λ⃗PB, 则点 P 的坐标为 1 2, 1 2 .
1 1 2 2 1+λ 1+λ
考点一、 椭圆、双曲线、抛物线的通径问题1．（2023秋·四川内江·高三期末）椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上且 轴，则 到
直线 的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】先求出 、 的坐标，再由 轴，可求出 ，再由勾股定理可求出 ，然后利用等
面积法可求得结果.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
所以 ， ，
当 时， ，解得 ，
因为 轴，所以 ，
所以 ，
设 到直线 的距离为 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线 的通径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的通径长公式计算．
【详解】由已知 ，双曲线的通径长 ，
故选：B.
3．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知点 到抛物线 的准线的距离为4，那么抛物线
的通径（过焦点并垂直于轴的弦）长是（ ）
A．8 B．8或24 C．12 D．12或24
【答案】B
【分析】考虑 和 两种情况，根据点到准线的距离得到抛物线方程，再计算通径得到答案.
【详解】 ，即 ，
当 时，准线方程为 ，故 ， ，抛物线方程为 ，
焦点 ，当 时， ，通径长为 ；
当 时，准线方程为 ，故 ， ，抛物线方程为 ，焦点 ，当
时， ，通径长为 .
综上所述：通径长为 或 .
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别是 、 ，点 在椭圆上.若 、 、
是一个直角三角形的三个顶点，则点 到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】分析可知 必为锐角，则 或 是直角顶点，将 代入椭圆方程，即可得解.
【详解】在椭圆 中， ， ， ，
将 代入椭圆方程可得 ，可得 ，所以，当 或 是直角顶点时，点 到 轴的距离为 ；
设 ， ，则 ，
由余弦定理可得
，
当且仅当 时，等号成立，故 必为锐角.
综上所述，点 到 轴的距离为 .
故选：C.
1．（2022·全国·高三专题练习）抛物线 的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为
．
【答案】
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，然后求解过焦点且与对称轴垂直的弦长得到答案.
【详解】抛物线 的焦点(1,0)，
当 时，可得： ，解得 ．
所以过焦点且与对称轴垂直的弦的两个端点坐标为
所以过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦长为 ．
故答案为： ．
4
2．（2023·全4国·模拟预测）已知抛物线C：x2＝2py 的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C相交
于A，B两点，若 AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p＝ ．
【答案】6
△
【分析】首先根据条件求点 的坐标，再代入面积公式，即可求解.
【详解】抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F(0， )，
将y＝ 代入x2＝2py可得x＝±p，即有A(p， )，B(－p， )，
所以 ＝2p，所以S AOB＝ × ×2p＝18，解得p＝6.
△
故答案为：63．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB
两点，且 ，则p的值为 ．
【答案】3
【分析】根据抛物线焦点弦性质求解，或联立l与抛物线方程，表示出 ，求其最值即可.
【详解】已知 ，设 ， ， ，
则 ，
∵ ，所以 ， ，
∴ ，当且仅当m=0时，取 .
.
故答案为：3.
4．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆 的焦点 的弦中最短弦长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由过椭圆焦点的最短弦所在直线不垂直y轴，设出其方程并与椭圆方程联立求出直线被椭圆所截
弦长即可推理作答.
【详解】显然过椭圆焦点 的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，
由 消去x并整理得： ，
设直线l与椭圆交于点 ，则有 ，
则有
，当且仅当 时取“=”，
于是，当 ，即直线l垂直于x轴时， ，所以过椭圆 的焦点 的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是 .
故选：A
考点 二 、 椭圆中的焦点弦及焦半径问题
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ，离心
率为 ．倾斜角为 的直线与 交于 两点，并且满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，用弦长公式表示出 ，用两点间的距离公式结合点在椭圆上的条件表示
出 ，代入题干条件即可求解.
【详解】设 ，则 ，由 ，
消去 ，得 ，
注意到 ，则 .于是 ，
同理， . 因此 .
的倾斜角为 ，∴直线的斜率 ，
根据弦长公式，可得 .
由 ，可得 ，故 .
．
故选：A
2．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，
为第一象限内 上一点．若 ，则直线 的斜率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义结合已知条件求出 ，设点 ，其中 ， ，根据两点间的距
离公式求出点 的坐标，进而可求得直线 的斜率.
【详解】在椭圆 中， ， ，则 ，所以，点 、 ，
因为 ，可得 ，
设点 ，其中 ， 且 ，
，
解得 ，则 ，可得 ，即点 ，
因此，直线 的斜率为 .
故选：C.
3．（2023·全国·高三对口高考）已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交椭圆于
A、B两点，若 ，则 ．
【答案】11
【分析】由椭圆定义， ， ，结合条件数值即可求
【详解】由椭圆定义， ， ， ，
故 ，又 ，故 ．
故答案为：11
4．（2023·全国·高三对口高考）如图，把椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作 轴的垂线
交椭圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，则
___【答案】35
【详解】试题分析：设右焦点为 ，由椭圆的对称性可得，
，
由椭圆的定义可得
=35
考点：考查了椭圆的几何性质，椭圆的定义
点评：掌握椭圆的性质，即对称性是解题的关键
1．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 的直
线交椭圆E于A，B两点．若 ， 轴，则椭圆E的方程为 ．
【答案】
【分析】根据 轴，可求得A点坐标，又 ，得 ，则可求得B点坐标，代入椭圆
方程，即可求得 ，即可得答案.
【详解】设 ，
因为 轴，
所以 ，代入椭圆方程得 ，设 ，
因为 ，得 ，
所以 ，
解得 ，即 ，又B在椭圆上，将 代入椭圆方程得： ，
又 ，解得 ，
所以椭圆方程为：
故答案为： .
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，将 ，转化为 ，可大大简化计算，考查分析理解，
求值计算的能力，属基础题.
2．（2022秋·四川乐山·高三期末）设 、 分别为椭圆 ： 的左、右两个焦点，过 作斜率
为1的直线，交 于 、 两点，则
【答案】
【分析】由椭圆的标准方程，求出焦点 的坐标，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长，利用定义
可得 ，进而求出 ．
【详解】由 知，焦点 ，所以直线 ： ，代入 得
，即 ，设 ，
，故
由定义有， ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、以及直线与椭圆位置关系中弦长的求法，注意
直线过焦点，位置特殊，采取合适的弦长公式，简化运算．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，且
，若第一象限的点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为
.
【答案】
【分析】设点 、 ，求得椭圆的离心率，利用椭圆的焦半径公式可求得 的值，再利
用弦长公式可求得直线 的斜率.【详解】椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，且 ，
所以， ，
由椭圆的几何性质可知 ， ，椭圆的离心率为 ，
设点 、 ，则 ， ，
则
，
同理可得 ，
所以， ，解得 ，
设直线 的斜率为 ，由弦长公式可得 ，
解得 ，
因为点 、 都在第一象限，则 ，故 .
故答案为： .
4．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知F，F 分别是椭圆 的左，右焦点，
1 2
点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足 ，则下列结论错误的是（ ）
A．△ABF 的周长为定值 B．AB的长度最小值为2
2
C．若AB⊥AF，则 D．λ的取值范围是
2
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义结合椭圆焦点弦的几何意义，可判断A,B两个选项，再设直线 的方程与椭圆
方程联立．利用韦达定理求解参数 的值或取值范围，即可判断CD选项．
【详解】因为 ，所以 ， ， 三点共线，△ 周长 是定值，
所以A正确．
根据椭圆的性质知，当 时，此时经过焦点的弦最短，故 ，所以B正确．
(证明如下：设 ， , ， , ．联立 ，整理得 ，即 ， ，
，
由于 ，所以 ,当且仅当 时， 取最小值2，此时 )，
因为 ， 在上下顶点处，不妨设 ，则 ，联立得 ．
解得 或 ， ， ，所以C正确．
设 ， , ， , ．
联立 ，整理得 ．
即 ， ， ，
当 时， ．当 时， ，
所以 ，所以D错误．
故选：D．
考点 三 、 双曲线中的焦点弦及焦半径问题
1．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
【答案】8
【分析】利用双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长．
【详解】由双曲线 得 ，又
所以 ．
2．（2021·全国·高三专题练习） 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线分别交该双曲
线的左、右两支于A、B两点，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由双曲线的定义可得， ，结合已知条件可得 ，然后在直
角三角形 中利用勾股定理可求得答案
【详解】解：由双曲线的定义可得， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，得 ，
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，一条渐近
线方程为 ，过双曲线C的右焦点 作倾斜角为 的直线 交双曲线的右支于A，B两点，若
的周长为36，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得 ，则双曲线方程为 ， ， ，可得直线为 ，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出 ，再由双曲线的定义和 的周长为
36，可求出 ，从而可求出双曲线的方程
【详解】因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，
所以 ，则双曲线方程为 ， ， ，
所以直线 为 ，
设 ，
由 ，得 ，
则 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 的周长为36，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以双曲线方程为 ，
故选：C
4．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）（多选）在平面直角坐标系中，已知 ，过点
可作直线 与曲线 交于 ， 两点，使 ，则曲线 可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意得到点 为四个曲线的焦点，结合椭圆、双曲线和抛物线的焦点弦的性质，逐项判定，
即可求解.
【详解】由题意，根据选项可得，点 恰为四个曲线的焦点，
A中，抛物线 焦点弦弦长最小值为 ，故不存在弦长 ，所以A不正确；B中，椭圆 中，根据椭圆的性质，可得焦点弦弦长取值范围为 ，
即 ，而 ，所以B正确；
C中，若 同在右支上，则焦点弦弦长取值范围为 ，即 ，
因为 ，所以C正确；
D中，若 在异支上，则焦点弦弦长取值范围为 ，即 ，
因为 ，所以D正确.
故选：BCD.
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，以 ， 为
直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 ， ， ，则双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】先把 用a表示出来，解出a、b、c，写出双曲线的标准方程.
【详解】由双曲线定义得
又 ，解得： ， ，
∵ 为以 ， 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点，
∴
∴ ，
解得： ，∴ ，故双曲线标准方程为： ．
故答案为：
【点睛】椭圆、双曲线的焦点三角形，通常把各边用a、b、c表示出来，解三角形.
2．（2022·全国·高三专题练习）若 分别是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线左支上过点的弦，且 ， 的周长是20，则m= ．
【答案】
【分析】根据双曲线定义得到 ，最后加上 ，即得到关于 的方程，解出 即可.
【详解】由题意得 ，
根据双曲线定义得 ，
上述两式相加得 ，
即 ，即 ，
，
周长 ，解得 .
故答案为：9.
3．（2023秋·江西·高三统考开学考试）（多选）已知 、 是双曲线 的左、右
焦点，以 为圆心， 为半径的圆与 的一条渐近线切于点 ，过 的直线 与 交于 、 两个不同的
点，若 的离心率 ，则（ ）
A．
B． 的最小值为
C．若 ，则
D．若 、 同在 的左支上，则直线 的斜率
【答案】ACD
【分析】利用焦点到渐近线的距离可得出 的值，再结合双曲线的离心率可求得 、 的值，再结合余弦定
理可求出 ，可判断A选项；取直线 的斜率为 ，求出 的值，可判断B选项；利用双曲线的定义可
判断C选项；设直线 的方程为 ，将直线 的方程与双曲线 的方程联立，利用韦达定理以及判
别式求出 的取值范围，可判断D选项.
【详解】对于A选项，设双曲线 的一条渐近线为 ，即 ，
则 到直线 的距离为 ，
因为以 为圆心的圆与 相切于点 ，所以 ，因为 ，即 ，则 ，又 ，即 ，所以 ， .
在 中， ，
在 中， ， ，
，
所以 ，故A正确；
对于B选项，当直线 的斜率为 时， 、 两点分别为双曲线的顶点，则 ，
又因为 ，即 的最小值不可能为 ，故B错误；
对于C选项，因为 ，又 ，且 ，所以 在 的右支上，
所以 ，所以 ，故C正确；
对于D选项，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
设点 、 ，
联立 ，可得 ，
因为直线 与双曲线 交于右支的两点，
所以， ，解得 或 ，D对.
故选：ACD.考点 四 、 抛物线 中的焦点弦及焦半径问题
1．（全国·高考真题）已知直线 与抛物线 相交于A、B两点，F为C的焦点，若
,则k=
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将y=k(x+2)代入y2=8x,得
k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.
设交点的横坐标分别为x ,x ,
A B
则x +x = -4,①
A B
x ·x =4.
A B
又|FA|=x +2,|FB|=x +2,
A B
|FA|=2|FB|,
∴2x +4=x +2.
B A
∴x =2x +2.②
A B
∴将②代入①得x = -2,
B
x = -4+2= -2.
A
故x ·x = =4.
A B
解之得k2= .
而k>0,∴k= ,满足Δ>0.故选D.
2．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得 ，根据弦长公式求得 ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，
由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.3．（山东·统考高考真题）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =
．
【答案】
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并
整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
4．（重庆·高考真题）过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 两点，若 则
= ．
【答案】
【详解】设 ，则 ,又 所以 ,
则
【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系，当遇到抛物线焦点弦问题时，常
根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立，把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题，属于难题
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）（多选）如图，已知抛物线 ，过抛物线焦点 的直线 自上而下，
分别交抛物线与圆 于 四点，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由题知 ，设直线 为 ， ， ，联立方程 ，消去 得
，根据韦达定理可得 ， ，然后根据直线与抛物线的位置关系，焦点弦
性质，均值不等式，求导逐个计算即可.
【详解】由抛物线方程可知 ，
设直线 为 ， ， ，
联立方程 ，消去 得 ，
所以 ， ，
由抛物线的定义可知 ， ，
又点 是圆 的圆心，
所以 ， ，所以 ，选项A正确；
因为 ，
由上述可知 ， ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，选项B正确；
因为 ，
由上述可知 ，所以 ，
所以 ，其中 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
所以 ，选项C错误；
因为 ，
由上述可知 ， ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 ，选项D错误；
故选：AB
1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线 的焦点 ，作斜率为
的直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则 （ ）
A． B． 或3 C． 或2 D．3
【答案】C
【分析】设直线 的方程与抛物线联立，解方程由比例关系及抛物线的定义计算求值即可.【详解】由题意可知 直线 的方程为 ，
由 ，可得 ，解得 或 ，或者
.
故选：C.
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线
与抛物线 及其准线分别交于 两点， ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过P点作PH⊥准线，根据抛物线的定义及向量的线性关系求出 ，再转化为求
，即可得直线斜率.
【详解】如图，
过 点作 准线，垂足为 点，则 ，
由 ，得 ，
则 ，则 ，
则 ，
根据抛物线的对称性可得直线 的斜率为 .
故选：C
3．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A，B是抛物线 ： 上两动点， 为抛物线
的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时， 最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为 时，
C．若AB中点M的横坐标为2，则 最大值为5
D．
【答案】BC
【分析】对于A B项画出抛物线图象，把 用直线 的倾斜角表示，验证是否正确；对于C 项，
可求解；对于D项举出反例即可.
【详解】对于A项，过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ，
过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，准线与 轴的交点为 ，
设直线 的倾斜角为 ，画图为：
根据抛物线的定义： ，从图可知 ， ，
，在 中， ，
所以 ，同理 ，
则，故当 时 ，
故 最小值为 ，此时 垂直于 轴，所以A不正确；
对于B项，由A可知， ，故B正确；
对于C项， ，
当且仅当直线 过焦点 时等号成立，所以 最大值为5，故C正确；
当直线 过焦点 时， ，
当直线 不过焦点 时， 不是定值，
举例当 时，此时 ， ，
即 ， ， ，故D错误；
故选：BC.
4．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交
于A，B两点， ，AB的中点横坐标为4，则 ．
【答案】
【分析】根据抛物线定义有 ，结合已知即可求参数p的值.
【详解】由抛物线定义知： ，而AB的中点横坐标为4，即 ，
所以 ，即 .
故答案为：
5．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）已知抛物线 与圆 ，过圆心 的直线 与抛
物线 和圆 分别交于 ， ， ， ，其中 ， 在第一象限， ， 在第四象限，则 最
小值是 .
【答案】
【分析】按直线AB斜率存在和不存在分类讨论，斜率不存在时直接求出 的值，斜率存在时，
设出直线方程，代入抛物线方程后应用韦达定理及基本不等式求解最值，最后比较即可得答案.
【详解】 的圆心为 ，半径为1，
所以圆心为抛物线 的焦点，且圆M过抛物线 的顶点.当 轴时， ，则 ，
当 斜率存在时，设其方程为 ， ，
将 代入 得 ，
则 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
由 知， 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】结论点睛：若 是抛物线 上任一点， 是抛物线的焦点，则 .
考点 五 、 定比分点问题
x2 y2
1 已知过定点 P(0,3) 的直线与椭圆 + =1 交于两个不同的点 A,B, 且满足 ⃗AP=λ⃗PB, 求 λ
9 4
的取值范围.
(x +λx y +λ y )
解: 设点 A(x ,y ),B(x ,y ), 则由 ⃗AP=λ⃗PB知点 P 1 2, 1 2 ,
1 1 2 2 1+λ 1+λ
又已知点 P(0,3), 所以 x +λx =0,y +λ y =3(1+λ) (1).
1 2 1 2
x2 y2 λ2x2 λ2y2
由点 A,B 在脒圆上得 1+ 1=1, 2+ 2=λ2,
9 4 9 4(x +λx )(x −λx ) (y +λ y )(y −λ y )
两式作差得 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =1− λ2(2).
9 4
4
于是, 将(1) 代入 (2) 化简得 y −λ y = (1− λ).
1 2 3
3 2 13 5
由 y +λ y =3(1+λ) 可得 y = (1+ λ)+ (1−λ)= + λ∈[−2,2),
1 2 1 2 3 6 6
[ 1)
解得 λ∈ −5,− .
5
1．（浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足 ，则当m=
时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【分析】方法一：先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关
于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出.
【详解】［方法一］：点差法＋二次函数性质
设 ，由 得
因为A,B在椭圆上,所以 ，即 ，与
相减得： ，所以，
，当且仅当 时取最等号，即 时，点B横坐标的绝对值
最大.
故答案为：5．
［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理
由条件知直线 的斜率存在，设 ，直线 的方程为 ，联立
得 ，根据韦达定理得 ，由 知 ，
代入上式解得 ，所以 ．此时 ，又，解得 ．
［方法三］：直线的参数方程+基本不等式
设直线 的参数方程为 其中t为参数， 为直线 的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得
，设点A，B对应的参数分别为 ，则 ．由韦达定理知
，解得 ，所以
，此时
，即 ，代入 ，解得 ．
［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质
设 ，因为 ，所以 ．
即 ①， ②，
又因为 ，所以 ．
不妨设 ，因此 ，代入②式可得 ．化简整理得
．
由此可知，当 时，上式有最大值16，即点B横坐标的绝对值有最大值2．
所以 ．
［方法五］：【最优解】仿射变换
如图1，作如下仿射变换 ，则 为一个圆．根据仿射变换的性质，点B的横坐标的绝对值最大，等价于点 的横坐标的绝对值最大，则
．
当 时等号成立，根据 易得 ，此时 ．
［方法六］：中点弦性质的应用
设 ，由 可知 ，则 中点 ．因为 ，所以
，整理得 ，由于 ，则 时， ，所以 ．
【整体点评】方法一：由题意中点 的坐标关系，以及点差法可求出点 的横、纵坐标，从而可以根据
二次函数的性质解出；
方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点 的横坐标，然后利用基本不等式求出
最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；
方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点 的横坐标，再利用基本不
等式求出最值，由取等条件得解；
方法四：利用题目条件硬算求出点 的横坐标，再根据二次函数的性质解出；
方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，
从而解出，计算难度小，是该题的最优解；
方法六：利用中点弦的性质找出点 的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点 的横坐标的绝对
值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·高三课时练习）抛物线 的通径长为（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】先求得抛物线的标准方程，然后根据通径的知识求得正确答案.
【详解】抛物线 ，即 ，
可得 ，因此通径长为 .故选：C
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，则过点 且斜率为 的直线 截抛物线
所得弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线 的方程 ，与抛物线方程联立，根据韦达定理以及抛物线的定义可求出结果.
【详解】由 可得 ，准线方程为 ，
直线 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，
设直线 与抛物线的两个交点为 ， ，
则 ，
所以直线 截抛物线 所得弦长为 .
故选：B
3．（2023秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）设经过点 的直线与抛物线 相交于 ， 两
点，若线段 中点的横坐标为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线与抛物线的位置关系以及韦达定理、弦长公式求解即可.
【详解】因为经过点 的直线与抛物线 相交于 ， 两点，
所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为 ，
设 ，
联立 ，整理得 ，
所以
所以 ，
因为线段 中点的横坐标为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆 的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且 ，则
这样直线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合
已知弦长判断直线的条数即可.
【详解】左焦点为 ，若直线垂直x轴，则直线为 ，
代入椭圆方程得 ，可得 ，此时通径长 ，
所以，由椭圆性质知： 的直线有仅只有一条.
故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）设 为双曲线 ： 上的点， ， 分别是双曲线 的左，右焦
点， ，则 的面积为（ ）
A． B． C．30 D．15
【答案】D
【分析】设 ， ，则由双曲线的定义可得 ，由余弦定理可得
，由 可得 ，三式相结合可求出 ， ，再由同角三角函
数的关系求出 ，从而可求出三角形的面积
【详解】解：由 ，得 ，则 ，所以 ，
设 ， ，则
，所以 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，所以 的面积为 ，
故选：D
6．（2023秋·高三课时练习）已知抛物线 的焦点为 ，若直线 与 交于 ， 两点，
且 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】将 代入抛物线得 ，结合弦长可得 ，根据抛物线定义求 即可.
【详解】令 ，则 ，故 ，所以 ，
所以 ，故准线为 ，则 .
故选：B
7．（2023春·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知抛物线 直线 与 交于 ， 两点，
直线 与 交于 ， 两点，则| |+2| |的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设A ，联立 根据直线 经过C的焦点，利用抛物线的定义
分别得到 和 再利用基本不等式求解.
【详解】解：设A ，联立
得x²-4kx-4=0，则 ，
因为直线 经过C的焦点，
所以 ，
同理可得
所以 +12，
当且仅当 时，等号成立.
故选：A8．（2023·全国·高三专题练习）已知 为抛物线 的焦点，过 的直线 交抛物线 于 两点，
若 ，则 （ ）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】由抛物线的定义求得 点的横坐标，代入抛物线得 点坐标，从而求得直线 的方程，联立抛
物线与直线即可得 点的横坐标，求得 ，从而可得 的值.
【详解】如图，过 作 准线于 ，过 作 准线于 ，
由抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由抛物线的定义可得 ，所以 ，代入抛物线方程得
若 ，直线 的斜率为 ，则直线 方程为 ，即
联立 得 ，则 ，所以 ，
则 ；
若 ，直线 的斜率为 ，则直线 方程为 ，即联立 得 ，则 ，所以 ，
则 ；
综上， .
故选：C.
9．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线 的焦点 ，作斜率为
的直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则 （ ）
A． B． 或3 C． 或2 D．3
【答案】C
【分析】设直线 的方程与抛物线联立，解方程由比例关系及抛物线的定义计算求值即可.
【详解】由题意可知 直线 的方程为 ，
由 ，可得 ，解得 或 ，或者
.
故选：C.
10．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为F，过F且斜率大于零的
直线l与 及抛物线 ： 的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】设直线 的方程为 ，与抛物线 相切，可得 ，直线 的方程与抛物线 方程
联立，设 ， ，利用抛物线焦半径公式可得答案.【详解】由题意可得 ，设直线 的方程为 ，
由题意可得直线 与抛物线 必有2个交点，
与抛物线 相切，联立方程组 ，可得 ，
所以 ，解得 ，故直线 的方程为 ，
与抛物线 方程联立 ，得 ，
设 ， ，则 ，所以 .
故选：C.
11．（2021·全国·模拟预测）如图，椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过点 ， 分别作弦
， .若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况，当直线 的斜率不存在，可求出点 的坐标，从而可得
，当直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，然后将直线方程与椭
圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，表示出 ，从而可表示出 ， ， 进而可表
示【详解】由椭圆的对称性可知 ， ， .设点 ， .
若直线 的斜率不存在，则点 ， ，所以 ，所以
.
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 消去 整理得 ， ，则 .又
，同理可得 ，所以
，所以
.
综上， 的取值范围为 ，
故选:C.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质､直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用椭圆的对称
性结合题意得 ， ， ，然后分直线 的斜率存在和不存在两种情况求解，
考查计算能力，属于中档题
12．（2023·陕西·校联考三模）已知定点 ，直线 ： 与抛物线 交于两点
A，B，若 ，则 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】设 ，联立直线l与抛物线的方程，求得 ， ， ，由 可
得 ，从而可求k的值，根据弦长公式即可求 ．
【详解】设 ，
，
由题知， ，故 ，则 ，
由 ，
即 ，
即 ，解得 ，则 ，
则 ．
故选：C．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知斜率不为0的直线 过椭圆 的左焦点 且交椭圆于 ，
两点， 轴上的点 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【分析】设直线 的方程并联立椭圆方程求解，得到 的斜率为参数的关于 的二次方程，再根据韦达定理，
写出弦长 ，求出 中点坐标和 的垂直平分线的方程，求出点 的坐标，写出 和 ，最
后根据 的斜率范围求出 的取值范围.
【详解】解：很明显点 为线段 的垂直平分线与 轴的交点，
设直线 ， ， ， ， ，
联立直线方程与椭圆方程，可得 ，
因此 ，
所以线段 的中点坐标为 ，
，
的垂直平分线的方程为 ，
当 时， ，则 ，
因此 ，所以
，
故选：B．
二、多选题
14．（2022秋·河北衡水·高三校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线
相交于 两点，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的最小值为5
C．以线段 为直径的圆与直线 相切
D．若 ，则直线 的斜率为
【答案】AC
【分析】根据抛物线的焦半径公式即可判断A；过点 作准线 的垂线，垂足为 ，根据抛物线的定
义结合图象即可判断B；设点 的坐标分别为 ，直线 的方程为 ，联立方程，
利用韦达定理求得 ，从而可得线段 的中点坐标及长度，再求出中点到准线的距离即可判断
C；根据 ，可得 ，结合C选项即可判断D.
【详解】解：抛物线 的准线方程为 ，
对于A，由 ，得 ，故A正确；
对于B，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，
则 ，
当且仅当 三点共线时，取等号，
所以 的最小值为4，故B错误；
对于C，设点 的坐标分别为 ，直线 的方程为 ，
联立方程 ，消去 得 ，
则 ，
则 ，线段 的中点为 ，
点 到直线 的距离为 ，所以以 为直径的圆与直线 相切，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，可得 ，
由 ，
得 ，解得 ，故D错误.
故选：AC.
15．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知F，F 分别是椭圆 的左，
1 2
右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足 ，则（ ）
A． ABF 的周长为定值 B．AB的长度最小值为1
2
C．若
△
AB⊥AF
2
，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5]
【答案】AC
【分析】根据椭圆的定义结合椭圆中焦点弦的几何意义，可判断A、B两项，设直线 的方程，与椭圆
的方程联立，利用韦达定理求解参数 的值或取值范围，即可判断C、D项.
【详解】因为 ，则 三点共线， 周长 是定值，A对．
，B错．
∵ ，则 ，A在上、下顶点处，不妨设 ，则
解得 或， ， ， ，C对．
令消x可得 ，
时，
时， ∴ ，D错．
故选：AC.
三、填空题
16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的离心率 ，左右焦点分别为 ，P为椭圆C上一动点，
则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用焦半径公式把比值表示为 的式子，然后由 得出范围．
【详解】设 ， ，且 得： .
故答案为： .
17．（2022秋·四川乐山·高三期末）设 、 分别为椭圆 ： 的左、右两个焦点，过 作斜率
为1的直线，交 于 、 两点，则
【答案】
【分析】由椭圆的标准方程，求出焦点 的坐标，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长，利用定义
可得 ，进而求出 ．
【详解】由 知，焦点 ，所以直线 ： ，代入 得
，即 ，设 ，
，故
由定义有， ，所以 ．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、以及直线与椭圆位置关系中弦长的求法，注意
直线过焦点，位置特殊，采取合适的弦长公式，简化运算．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，且
，若第一象限的点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为
.
【答案】
【分析】设点 、 ，求得椭圆的离心率，利用椭圆的焦半径公式可求得 的值，再利
用弦长公式可求得直线 的斜率.
【详解】椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，且 ，
所以， ，
由椭圆的几何性质可知 ， ，椭圆的离心率为 ，
设点 、 ，则 ， ，
则
，
同理可得 ，
所以， ，解得 ，
设直线 的斜率为 ，由弦长公式可得 ，
解得 ，
因为点 、 都在第一象限，则 ，故 .
故答案为： .
19．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点 ，点
的坐标为 ， 为 的角平分线，则【答案】6
【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双
曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．
【详解】不妨设A在双曲线的右支上,
∵ 为 的平分线，
∴ ，
又∵ ，解得 ，故答案为6.
【点睛】本题考查内角平分线定理，考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义，属于中档
题.
20．（2021·全国·高三专题练习）已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，以 ， 为
直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 ， ， ，则双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】先把 用a表示出来，解出a、b、c，写出双曲线的标准方程.
【详解】由双曲线定义得
又 ，解得： ， ，
∵ 为以 ， 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点，
∴
∴ ，
解得： ，∴ ，故双曲线标准方程为： ．
故答案为：
【点睛】椭圆、双曲线的焦点三角形，通常把各边用a、b、c表示出来，解三角形.
