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1
抛物线与几何定值【题集C】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，一次函数
(
为常数)的图象与轴交于点
，
与轴交于点
．以直线
为对称轴的抛物线
(
为常数，且
)经过
，
两点，并与轴的正半轴交于点
．
x
y
O
求
的值及抛物线的函数表达式
若
是抛物线对称轴上使
的周长取得最小值的点，过点
任意作一条与轴不平行的直
线交抛物线于
，
两点，试探究
是否为定值，并写出探究过
程．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
是定值为．理由见解析．
将
代入
中得：
，解得
．
要使
的周长最小，只需
最小即可．
如答图，
x
y
O
连接
交
于
点，因为点
、
关于
对称，根据轴对称性质以及两点之间线段
最短，可知此时
最小（
最小值为线段
的长度）．
∵
，
∴直线
解析式为
∵
，∴
，即
．
令经过点
的直线为
，则
，即
，
则直线的解析式是：
，
∵
，
，
2
【标注】
联立化简得：
，
∴
．
∵
，
∴
．
根据两点间距离公式得到：
又
同理
∴
∴
，
∴
为定值．
【知识点】二次函数与轴对称问题
，
，
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，已知直线
与抛物线
交于点
．
图
求直线
的解析式和线段
的长度．
点
为抛物线第一角限内的动点，过点
作直线
，交轴于点
（点
不重合），交直
线
于点
，再过点
作直线
的垂线，交轴于点
．试探究：线段
与线段
的长
度之比是否为定值？如果是，求出这个定值．如果不是，说明理由．
如图，若点
为抛物线上对称轴右侧的点，点
在线段
上（与点
不重合），点
是轴正半轴上的动点，且满足
，求出
点坐标，并探
究，
在什么范围时，符合条件的
点的个数分别是个，个．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
是，定值为．
3
（1 ）
图
（2 ）
图
（3 ）
【解析】
（3 ）
，
①当
时，
点有个，
②当
时，
点有个．
把点
代入
得：
，
∴
，
∴
，
∴
．
是一个定值．
如图，过点
作
轴于点
，
轴于点
，
①当
与
重合时，显然
与
重合，
此时
，
②当
与
不重合时，
∵
，
，
不妨设点
，
分别在，轴的正半轴上，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
，
当点
、
在抛物线和直线上不同位置时，同理可得：
．
如图，延长
交轴于点
，过点
作
于点
，
过点
作
轴于点
，
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
设点
作
于点
，则
，
4
【标注】
∴
，即
，
，
（舍去），
∴
，
∴
，
，
∴
，
在
与
中，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，则
（
），
由
得
，
∴
，
∴
（
），
∴顶点为
，
当
时，
，
点有个，
当
时，任取一个
的值都对应着两个值，
点有个，
∴当
时，
点共有个，
当
时，
点有个．
【知识点】二次函数与相似三角形结合
（1 ）
3. 如图，
为直角三角形，
，
，点
，
在轴上，点
坐标为
，线段
与轴相交于点
，以
为顶点的抛物线过点
，
．
求点
的坐标（用
表示）．
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（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
求出抛物线的表达式．
设
为抛物线上点
至点
之间的一个动点，连接
并延长交
于点
，连接
并延长交
于点
，证明：
的值为定值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
点
的坐标为
．
抛物线的表达式为
．
证明见解析．
略．
略．
如图，过点
作
于点
，过点
作
于点
．设点
的坐标为
，则
，
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
∽
，
从而
，
即
，
得
．
∵
，
∴
∽
，
从而
，
即
，
得
．
∵
，
∴
．所以
的值为定值．
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【标注】【知识点】二次函数与直角三角形结合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 已知，在以
为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为
，且经过点
，与轴分
别交于
、
两点．
直线
以及该抛物线相应的函数表达式分别是 ， ．
如图，点
是抛物线上的一个动点，且在直线
的下方，过点
作轴的平行线与直线
交于点
，求
的最大值．
x
y
如图，过点
的直线交轴于点
，且
轴，点
是抛物线上
、
之间的一个动点，直
线
、
与
分别交于
、
两点．当点
运动时，
是否为定值？若是，试求
出该定值；若不是，请说明理由．
x
y
【答案】（1 ）
（2 ）
;
．
7
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
（3 ）
．理由见解析．
设直线
的解析式为
，由题意可得
，解得
，故直线
的解析式为
．∵抛物线顶点坐标为
，∴可设抛物线解析式为
．又抛物线经过点
，∴
，解得
．∴抛物线
解析式为
．
设
，
，则
的横坐标为
，纵坐标为
，
∵
轴，
∴
，
得
∴当
时，
有最大值，最大值
．
如图，过点
作
轴交轴于
，
x
y
在
中，令
，
可得
，解得
或
，
∴
．
设
，则
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
同理
，得
，
∴
∴
，
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【标注】
∴当点
运动时，
为定值．
【知识点】二次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知点
在抛物线
，点
在它的对称轴上，点
为抛物线上一
动点．
求这条抛物线的函数解析式．
判断是否存在直线，使得线段
的长总是等于点
到直线的距离，需说明理由．
设直线
与抛物线的另一交点为
，探究：
和
这两条线段的倒数和是否为定值？证
明你的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
抛物线的解析式是
．
存在符合题意的直线，理由见解析．
是定值，证明见解析．
由
，
，得
，
把
和点
代入
，可求得
．
∴这条抛物线的解析式是
．
设点
，则
．
作
于
，得
，
又∵
，
∴
，
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（3 ）
【标注】
∴
．
易知
，
，
∴
．
又∵当直线经过点
且与轴平行时，
即为点
到直线的距离．
∴存在符合题意的直线．
是定值．证明如下：
当
轴时，
，
．
当
与轴不平行时，作
于
，
∵
，
∴
．
再依据第（）小题的结果，可得
．
整理上式，得
．
【知识点】二次函数与动点问题
