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1
抛物线与圆：几何定值【题集】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，以点
为圆心，以
为半径的圆与轴交于
、
两点，与
轴交于
、
两点．抛物线
经过
、
、
三点．
求该抛物线的解析式．
若
的切线交轴正半轴于点
，交轴负半轴于点
，切点为
，且
，试判
断直线
是否经过抛物线的顶点？说明理由．
点
是
位于轴右侧上的一动点，连结
交轴于点
，问是否存在一个常数．始终满
足
？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
直线
经过抛物线的顶点，理由见解析．
存在，
．
略．
直线
经过抛物线的顶点．理由如下：
由（）知，抛物线的解析式为
，则其顶点坐标是
．
如图，连接
，设直线
交抛物线对称轴于点
．
∵
是
的切线，∴
．
∴
．又∵
∴
，则
，即点
是抛物线的顶点坐标，
2
（3 ）
【标注】
∴直线
经过抛物线的顶点．
故答案为：直线
经过抛物线的顶点．
存在，理由如下：
如图，连接
．
∵
是直径，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
则
，即
．
故答案为：存在，
．
【知识点】二次函数与圆的综合问题
x
y
O
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 抛物线
的顶点为
，与轴交于点
、
，连结
、
，得等边
．点从
点出发，以每秒个单位的速度向点
运动，同时点从点
出发，以每秒
个单
位的速度向轴负方向运动，
交射线
于点
，当点到达
点时，点停止运动．设运动时间
为秒．
求二次函数的解析式．
设
的面积为，求关于的函数解析式．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
以点为圆心，
为半径的圆与射线
交于点
，试说明：在点运动的过程中，线段
的长是一定值，并求出该定值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
的顶点是
，
抛物线的对称轴是轴，
，故可设抛物线的解析式是：
，
又三角形
是等边三角形，且有
，
，
，
把点
代入
，得
，
抛物线的解析式是
．
当
时，
，
；
；
当
时，
，
；
；
综上，与的函数关系式为：
．
x
y
O
图
x
y
O
图
当
，（如图）过
作
轴，显然有
，又
度，
三角形
为等边三角形，
，
，设
，
4
【标注】
则有
，即
，
，
，
．
当
，（如图），
同理，
，即有
，
，
，
．
【知识点】二次函数与面积
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，抛物线
的顶点为
，与轴交于
、
两点，且
．
x
y
求抛物线的解析式；
点
从点
出发，以每秒个单位的速度向点
运动，同时点
从点
出发，以每秒个单位的
速度向轴负方向匀速运动，连接
交射线
于点
，当点
到达点
时，点
停止运动．
以点
为圆心，
为半径的圆与射线
交于点
，若在点
、
运动的过程中，线段
的
长始终是一个定值，求的值及
长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，
．
∵抛物线
的顶点为
，
∴抛物线的对称轴是轴，
∴
，可设抛物线的解析式为
，
把
代入
，得
，
∴抛物线的解析式为
．
连接
，过
作
轴于
，
设
，设经过秒时，
，
，
①如图，当
时：
5
∵
，
，
x
y
∴
为等边三角形，∴
，
又∵
，
，
，
，
∵
，∴
，即
，
∴
，∴
，
∴
，
依题意，
为定值，故当
时，
长与无关，即
；
②当
时，
到
点，
与
重合，
显然
为定值；
③如图，当
时，
，
x
y
∵
，
，
，
，
同理：
，得
，即
，
∴
，∴
，
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【标注】
∴
，
依题意：
为定值，故当
时，
；
综上所述：在点
运动的过程中，
，线段
的长是定值．
法2：∵
，
，∴直线
①
（Ⅰ）
时，由
，
，
得直线
②
联立①②得
点的横坐标：
，
又∵
是等边三角形，
∴
，∴
，
∴
，
为定值，故当
时，
的长与无关，
为定值；
（Ⅱ）
时，
到
点，
与
重合，
显然
为定值．
【知识点】二次函数与动点问题
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
4. 如图，已知抛物线
与轴交于
、
两点（点
在点
左侧），与轴
交于点
，抛物线对称轴与轴交于点
，
为轴上一点．
图
写出点
、
、
的坐标（用
表示）．
若以
为直径的圆经过点
且与抛物线交于另一点
．
求抛物线解析式．
为线段
上一动点（不与
、
重合），过
点分别作
，
．判断
是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
7
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图②，将线段
绕点
顺时针旋转
，与轴相交于点
，连接
．点是线段
的
中点，连接
．若点
是线段
上一个动点，连接
，将
绕点逆时针旋转
得到
，延长
交
于点
．若
的面积等于
的面积的
，求线段
的长．
图
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
，
，
．
．
是；定值为．
或
．
，
，
．
，
由题可知
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
，
∴
为正三角形，
易得：
≌
，
∴
，
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【标注】
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
为
中点，
设
，
∴
，
，
，
解得
或
．
【知识点】二次函数与面积
