文档文本内容
1
辅助圆思想 题集【B】
1.
【解析】
在平面直角坐标系
中，
，
，对于线段
和轴上方的点
给出如下定义：
当
时，称点
为
的“等角点”．
直线
分别交轴、轴于点
、
，点
的坐标是
，
，若线段
的所有
“等角点”都在
内部，则的取值范围是 ．
x
y
O
【答案】
①在题目的基础上，以直线
上的点
为圆心，为半径作圆，当圆
与轴相切，
且
在轴右侧时，如图所示，
x
y
O
图
此时
的坐标为
，此时
点的横坐标为
，
即
，
②在题目的基础上，以直线
上的点
为圆心，为半径作圆，当圆
与线段
相切，且
在
下方时，如图所示，
2
【标注】
x
y
O
图
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
此时点
的横坐标为
，
∴
，
．
综上可知：若线段
的所有“等角点”都在
内部，
则的取值范围是
，
故答案为：
．
【知识点】切线的性质定理
x
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
O
1
2
（1 ）
2. 如图，在平面直角坐标系
中，点
与点
的坐标分别是
，
．
对于坐标平面内的一点
，给出如下定义：如果
，则称点
为线段
的“等角
点”．显然，线段
的“等角点”有无数个，且
、
、
三点共圆．
设
、
、
三点所在圆的圆心为
，直接写出点
的坐标和⊙
的半径．
轴正半轴上是否有线段
的“等角点”?如果有，求出“等角点”的坐标；如果没
有，请说明理由．
3
（2 ）
1
x
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
O
2
（1 ）
x
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
O
（2 ）
【解析】
当点
在轴正半轴上运动时，
是否有最大值？如果有，说明此时
最大的理
由，并求出点
的坐标；如果没有，也请说明理由．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
圆心
的坐标为
和
；半径为
．
，
．
．
圆心
的坐标为
和
；半径为
．
轴的正半轴上存在线段
的“等角点”
如图所示：当圆心为
时，过点
作
轴
于
，
则
，
．
∵⊙
的半径
，
∴⊙
与轴相交，
设交点为
、
，此时
、
在轴的正半轴上，
连接
、
、
，则
．
∵
轴，
，
．
∴
，
∴
，
．
当过点
，
的圆与轴正半轴相切于点
时，
最大．
理由如下：如果点
在轴的正半轴上，设此时圆心为
，则
在第一象限在轴的正半轴上任取一点
（不与点
重合），
连接
，
，
，
，设
交于⊙
于点
，
连接
，
∵点
，点
在⊙
上，
∴
，
∵
是
的外角，
∴
，即
．
此时，过点
作
轴于
，则
，
，
连接
，
，
∵⊙
与轴相切于点
，则
轴，
4
x
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
O
【标注】
∴四边形
是矩形，
，
．
∴⊙
的半径为，即
，
∴在
中，
，
∴
即
．
【知识点】圆与勾股
3.
【解析】
【标注】
在平面直角坐标系
中，
，
（其中
），点
在以点
为圆心，
半径等于的圆上，如果动点
满足
．
（）线段
的长等于 （用含
的代数式表示）；
（）
的最小值为 ．
x
y
O
【答案】
;
∵
，
，
∴
．
，
，
，
，
∴
最小值为．
【知识点】圆与最值问题
4. 定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．
5
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称．
如图，四边形
是“等对边四边形”，其中
，边
与
的延长线交与点
，点
、
是对角线
、
的中点，若
，求证：
．
如图，在
中，点
、
分别在边
、
上，且满足
，线
段
、
交于点
．
求证：
．
请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
平行四边形，矩形，菱形等（答案不唯一）．
证明见解析．
证明见解析．
四边形
，证明见解析．
平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形均可．
取
中点
，连接
、
，
由
，
，
得
，
所以可证等边
，
所以
．
6
1
2
（3 ）
【标注】
，
利用四边形的内角和或四点共圆可证
．
“等对边四边形”
．
过点
、
作
于
，
于
，
证
≌
，
所以
，
证
≌
，
所以
．
【知识点】与四边形有关的新定义
图
（1 ）
图
（2 ）
（3 ）
5. 在
中，点
、
分别在边
、
上，
、
交于点
，
，且
．
如图，当
时，与
相等的线段是 ．（请直接写出答案）
如图，当
时，（1）中的结论是否成立，若成立请证明，若不成立，请说明
理由．
如图，点
、
分别在边
、
的延长线上时，
、
交于点
，若将条件
改为“
”，且
，
，
，其它条件不变，求
的长
（用含，
，，的式子表示）．
7
图
图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
.
成立．
．
，
理由：如图，过点
，
，
作圆交
于
，连接
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，∵
，∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
故答案为：
．
仍然成立，
理由：同（）的方法直接得出，
．
如图，
过点
，
，
作圆交
于
，连接
，过点
作
，
∴
，
∵点
，
，
，
四点共圆，
∵
，
，
∴
，
8
图
【标注】
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，在
中，
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】四点共圆的应用
6. 如图，
、
均是边长为的等边三角形，点
是边
、
的中点，直线
、
相
交于点
．当
绕点
旋转时，线段
长的最小值是（ ）．
9
A.
B.
C.
D.
【解析】
【答案】D
如图，连接
，
，取
中点
，连接
，
，
∵
、
均是边长为的等边三角形，且
是边
、
的中点，
∴
，
，
，
，
∴
，
又∵
，即
，
，
∴
，
∴
．
由图可得，
，
∴
，
∴
．
在
中，∵
为
中点，
∴
．
又∵
，
∴
．
即当
，
，
三点共线时，线段
的长最小，为
，如图所示．
10
【标注】
【知识点】等边三角形的性质
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7. 回答下列问题：
如图，四边形
是矩形，试在
边上找一点
，使
为等腰三角形．
图
如图，矩形
中，
，
，点
在
边上，
，点
是矩形
内或边上一点，且
，点
是
边上一点，求
的最值．
图
如图，四边形
中，
，
，
，
，
，点
在
边上，
，点
是四边形
内或边上一点，且
，求四边形
面积
的最值．
11
图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
最小值为，最大值为
．
四边形
面积最小值为
，最大值为
．
如图所示：
由题可知，
点的运动轨迹是以
为圆心，半径为的圆弧．平移
，当与圆弧相切时，
有最小值．
．
分析可知：
处，
有最大值，
在
中,
.
∴
的最小值为，最大值为
．
连接
，过
作
，过
作
，过
作
．
，
，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
，
，
∴
，
∴在
中，
．
四边形
12
【标注】
由题可知：
点是以
为圆心，以为半径的圆弧．
当
点与
点重合时，
由最大值，为
．
在
中，
，
∴
．
平移
当与圆弧相切时，
有最小值．
∵
，
，
即
，
在
中，
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】矩形的判定-从四边形
【知识点】等腰三角形的判定
【知识点】勾股定理应用
【知识点】作等腰三角形
【知识点】切线的性质定理
【能力】运算能力
【思想】数形结合思想
四边形
四边形
