文档文本内容
1
辅助圆思想 题集【A】最值问题
1. 定义法确定圆的轨迹
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，已知
是⊙
外一点，
是⊙
上的动点，线段
的中点为
，连接
，
．若⊙
的半
径为，
，则线段
的最小值是（ ）．
【答案】B
取
的中点
，连接
，
，如图，
∵
为
的中点，
∴
为
的中位线，
∴
，
∴点
在以
为圆心，为半径的圆上，
在
中，
，
当点
在
上时，
最小，最小值为，
∴线段
的最小值为．
【知识点】辅助圆问题
2. 如图，已知线段
，
，以
为圆心
为半径作⊙
，点
为⊙
上任意一点，连结
，取
中点
，连接
，则
的最大值为 ．
2
【解析】
【标注】
【答案】
如图，连结
、
，
依题可知
，
，
∴
，
，
∴点
的轨迹为落在以
为圆心，为半径的圆上，
∴
，
∴
．
故
的最大值为，最小值为．
【知识点】辅助圆问题
3.
【解析】
如图，
，
是正方形
的边
上两个动点，满足
．连接
交
于
，连接
交
于点
．若正方形的边长为，则线段
长度的最小值是 ．
【答案】
在正方形
中，
，
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
在
和
中，
3
【标注】
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
取
的中点
，连接
、
，
则
，
在
中，
，
根据三角形的三边关系，
，
∴当
、
、
三点共线时，
的长度最小，
最小值
．
【知识点】全等三角形的性质
4.
【解析】
如图，矩形
中，
，
，点
是边
上一动点，
为
的中点，
是
上一
点，且满足
，连接
，当点
在
上运动的过程中，
长的最小值为 ．
【答案】
在
中，
为斜边中点，则
，
∴点
在以点
为圆心，半径为
的圆上，
∴
，
连接
，则
，
取
中点
，连接
，
当
、
、
三点共线时，
有最小值，为
．
4
【标注】【知识点】辅助圆问题
旋转
（1 ）
1. 阅读材料
如图，若点
是⊙
外的一点，线段
交⊙
于点
，则
长是点
与⊙
上各点之间的最短距
离．
图
图
证明：延长
交⊙
于点
，显然
．
如图，在⊙
上任取一点
（与点
，
不重合），连结
，
．
∵
，
且
，
，
∴
，
∴
长是点
与⊙
上各点之间的最短距离．
由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．
请用上述真命题解决下列问题．
如图，在
中，
，
，以
为直径的半圆交
于
，
是
上的一个动点，连接
，则
长的最小值是 ．
图
5
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，在边长为的菱形
中，
，
是
边的中点，点
是
边上一动
点，将
沿
所在的直线翻折得到
，连接
，①求线段
的长度；②
求线段
长的最小值．
图
【答案】（1 ）
（2 ）①
．
②
．
①∵
沿
所在的直线翻折得到
，
∴
．
②由①知，点
在以点
为圆心，为半径的圆上，
连接
交圆
于点
，过点
向
的延长线作垂线，垂足为点
．
在
中，
，
，
在
中，
，
∴
．
【知识点】瓜豆原理（轨迹与最值）：轨迹为弧
2. 如图所示，正六边形
的边长为，点
从
点出发沿
运动至点
，点
是点
关于直线
对称的点．
6
（1 ）
（2 ）
（1 ）
【解析】
点
从点
运动至
过程中，下列说法正确的有 ．（填序号）
①当点
运动到
时，线段
长为
．
②点
沿直线从
运动到
．
③点
沿圆弧从
运动到
．
点
从点
运动至
的过程中，点
到
的距离的最小值是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
①③
①当点
运动到
时，
为顶角为
的等腰三角形，
过点
作
于点
，则
，
∴
，
在
中，由勾股定理得
，
∴
，
∴①正确．
∵从点
从
运动至
的过程中，
，
∴点
的运动轨迹为图中的弧线
（以
为圆心，
为半径的圆的一部分），
7
（2 ）
【标注】
∴③正确．
综上，正确的有①③．
∵
的运动轨迹为圆弧，
∴连接
与
交于点
，此时
最短，
，
∴点
到
的距离的最小值是
．
【知识点】瓜豆原理（轨迹与最值）：轨迹为弧
3.
【解析】
如图，正方形
中，
，以
为圆心，
长为半径画
，点
在
上移动，连接
，并将
绕点
逆时针旋转
至
，连接
．在点
移动的过程中，
长度的最小值
为
．
【答案】
如图，当
在对角线
上时，
最小，连接
，
由旋转得：
，
，
∴
．
∵四边形
为正方形，
∴
，
．
∴
．
∴
．
∴
．
8
【标注】
∴
．
在
中，
∵
，
由勾股定理得：
，
∴
．
即
长度的最小值为(
)
．
【知识点】辅助圆问题
4.
【解析】
【标注】
如图，正方形
的边长为
，正方形
的边长为
．如果正方形
绕点
旋转，
那么
、
两点之间的最小距离是
．
【答案】
连接
、
、
，如图，
∵正方形
与正方形
的边长分别为
，
，
∴
，
，
∵
（当点
、
、
共线时，取等号），
∴
的最小值为
．
【知识点】旋转性质综合应用
5. 如图，正方形
与正方形
的边
、
在一条直线上，正方形
以
点
为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点
重合，其它顶点均
9
（1 ）
（2 ）
（1 ）
【解析】
不重合，连接
、
．
图
当正方形
旋转至如图所示的位置时，求证：
．
当点
在直线
上时，连接
，直接写出
的度数．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
或
．
如图，∵四边形
是正方形，
图
∴
，
，
又∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
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（2 ）
∴
．
的度数为
或
．
①如图，连接
，
，
，
∵四边形
与
是正方形，
∴
,
图
∵
,
∴点
，
，
，
四点共圆，
∵
是直角，
∴
是直径，
∴
，
∵
，
∴
,
②如图，连接
，
，
，
，
图
由（）知
≌
，
∴
，
∴
和
在同一条直线上，
∴
，
∵四边形
与
是正方形，
∴
，
∴
，
，
∴
，
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【标注】
∴
，
∴点
，
，
，
四点共圆，
∵
是直角，
∴
是直径，
∴
，
∴
，
综上所述，
的度数为
或
．
【知识点】辅助圆问题
2. 对角互补确定圆的轨迹
1.
【解析】
【标注】
如图，正方形
边长为，点
、
分别是边
、
上的点，
，连接
、
交
于点
，则
的最小值 ．
【答案】
依题可知，在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∴点
落在以
为直径的圆上，
，
∴
最小值为
．
【知识点】正方形与全等综合
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A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，定长弦
在以
为直径的⊙
上滑动（点
、
与点
、
不重合），
是
的中点，过
点
作
于点
，若
，
，
，则的最大值是 ．
【答案】C
四点共圆且直径为．
∴当
为直径时，即
时，
最长．
【知识点】四点共圆的应用
A. 随
，
的运动位置而变化，且最大值为
B. 随
，
的运动位置而变化，且最小值为
C. 随
，
的运动位置长度保持不变，等于
D. 随
，
的运动位置而变化，没有最值
3.
【解析】
如图，
为直径，
，
，
为圆上两个动点，
为
中点，
于
，当
，
在
圆上运动时保持
，则
的长（ ）．
【答案】C
连接：
，
，
，
∵
是
的中点，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
，
，
四点共圆，
∴
，
∴
，
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【标注】
又∵
，
∴
为等边三角形．
∴
．
【知识点】辅助圆问题
3. 定弦定角确定圆的轨迹
1.
【解析】
如图，⊙
的直径为，
为⊙
上一个定点，
，动点
从
点出发沿半圆弧
向
点
运动（点
与点
在直径
的异侧），当
点到达
点时运动停止，在运动过程中，过点
作
的
垂线
交
的延长线于
点．在点
的运动过程中，线段
长度的最大值为 ．
【答案】
在
中，
，
，
∵
，
∴
，
又
（圆内接四边形外角等于内对角），
∴
（定角对定弦
），
∴点
的轨迹为圆，并且所对的圆心角为
，
圆心在以
为边往右上方做等边三角形的另一顶点
处，
当点
、
、
三点共线时，线段
有最大值，
最大值为
．
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【标注】【知识点】圆内接四边形综合
2.
【解析】
如图，在
中，
，
，
，在线段
上有一动点
（
不与
重
合），以
为直径作⊙
交
于
点，连
，则
的最小值为 ．
【答案】
如图，连接
，则
，
∴点
在以
为直径的⊙
上，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
当点
，
，
三点共线时，
最小，
∵
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
15
【标注】【知识点】圆与最值问题
图
（1 ）
图
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
解答下列各题．
如图，已知
中，
，
，则
．
如图，在平面直角坐标系
中，点
在轴上运动，点
在轴上运动，且
，求
的面积的最大值．
如图，⊙
的半径为，弦
，点
为优弧
上一动点，
交射线
于
点
，请问，
的周长存在最大值还是最小值？若存在，求出相应的最值；若不存
在，说明理由．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
存在最大值，最大值为
．
如图①，
图
过点
作
，
∵
，
，
16
（2 ）
（3 ）
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图②，
图
取
的中点
，
∴
，
∴
，
以
为半径作圆
，
，
∴当
时，
最大．
此时，
．
如图③，
图
过点
作
，连接
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
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【标注】
如图④，在
中，
，
．
图
延长
到点
,使
，
∴
，作等腰
，
．
则点
、
、
在以
为圆心的圆上，
过点
作
，
，
，
，
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
