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1
抛物线与几何定值【题集D】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在平面直角坐标系中，已知正方形
的顶点
的坐标为
，点
的坐标为
，顶点
在第一象限内，抛物线
（、常数）的顶点
为正方形对角线
上一动点．
当抛物线经过
、
两点时，求抛物线的解析式．
若抛物线与直线
相交于另一点
（
非抛物线顶点，且
在第一象限内），求证：
的
长是定值．
根据（）的结论，取
的中点
，求
的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
．
∵抛物线过
，
两点，
∴
，
解得：
，
∴抛物线的函数表达式为：
．
∵
，
，
易知
，
∴
，
易得直线
的关系式为
，
∵
，
2
（3 ）
∴顶点
的坐标为
，
∵点
在直线
上，
∴
，
∴
．
∵
，
均在直线
上，
∴设
，
，则
，
为
的两根，
方程整理得
，
∴
，
，
∴
，
∴
，即
的长是定值．
取
的中点
，连接
，
，
连接
，
，则
，
∵由（）可知
，
又∵
，
∴
，
∵
是
的中点，
是
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，即
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
3
【标注】
，
∴当
、
、
三点共线时，
取得最小值为
．
【知识点】二次函数与直角三角形结合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
图中，二次函数
的图象交轴于
，
两点（
在
的左侧），过
点的直线
（
）交于另一点
，交轴于
．
求点
的坐标，并求二次函数的解析式．
过点
作
交
于
，若
且
点是直线
上的一个动点．求出当
与
相似时点的坐标．
设
，图中连
交二次函数的图象于另一点
，连
交轴于
．
是否是一个定值？如果是定值，求出该值；若不是，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
二次函数的表达式
．
或
或
或
．
是定值，这个定值是
．
，
解之得
，所以
，
因为
在
，所以
，
解之可得
，
所以该二次函数的表达式
．
在
中，
，
，所以
，
①如图中，当
在
的延长线上时，
，
∽
，
4
在
中，
，
在
中，解得
，
过
作在
轴垂足为
，
∵
，
，
∴
，
在
中，∵
，
，
，
，
所以
．
②当
与点
重合时，
∽
，此点
．
③如图中，当
在线段
上时，
，
∽
，
在
中，
，
得
，
所以
．
④如图中，当
时，
∽
，此时
，
5
（3 ）
设
在直线
上，解得
，
从而
，
综上所述，
或
或
或
．
如图中，直线
与二次函数
图象的交点是
，
两点，
所以
，整理可得
，
又因为
，
，
所以
，
，
过点
与点
的直线：
，
直线
与抛物线的交点，
，消去
整理得到：
，
∴
，
∴
，
，
∴直线
为
，
∴
，
，
6
【标注】
∴
，
∴
是定值，这个定值是
．
【知识点】二次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知抛物线
与轴的交点为
，
，与轴的交点为
，顶点为
．
若点
，点
的坐标分别为
，
，求抛物线的解析式．
在（）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点
使
为直角三角形？若存在，求出
点
的坐标，若不存在，请说明理由．
若抛物线
与直线
交于
，
两点，点
在
之间的抛物线上运
动，
轴，交直线
于点
，问
是否为定值，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
的坐标为
或
．
．
将
，
代入
中，
得
，解得
，
∴
．
7
（3 ）
①
在
上方时，设对称轴与轴交于点
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
．
②
在
下方时，作
轴于点
，
∵
，
∴
，
又
，
∴
，即
，
∴
，
，
∴
，
综上，
的坐标为
或
．
设
，
，
，
∴
，
∴
，
联立
得
，
∴
，
，
∵
，
，
8
【标注】
∴
，
∴
．
【知识点】二次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知抛物线
与直线
只有一个公共点．
求的值．
直线
与抛物线交于点
、
，分别过点
、
作
轴于点
、
轴于点
，试问
的值是否发生变化．如果变化，请求出其取值范围，如果不变，
请求出其值．
将抛物线上
向上平移个单位长度后得到新抛物线
，点
为对称轴左侧抛物线上一动点，
点
为新抛物线的顶点，
交轴于点
，过点
作
轴交
于点
，直线
交轴于
点
，连接
、
，
，点
为对称轴右侧抛物线上一动点，过点
作
轴
交直线
于点
，求证：
的值为定值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
联立
得
，
，
．
设
、
，
联立
得
，
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（3 ）
【标注】
∴
，
∴
，
∴
．
由题意可知
，
∴
，
设
，
过点
作
轴于点
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
轴，
∴
，
解得
、
（舍），
∴
、
、
．
设
、
，
则
、
、
，
∴
．
【知识点】二次函数与相似三角形结合
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