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1
抛物线与几何定值【题集A】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，边长为的正方形
的两边在坐标轴上，以点
为顶点的抛物线经过点
，点
是抛物线
上点
、
间的一个动点（含端点），过点
作
于点
．点
、
的坐标分别为
，
，连接
，
，
．
备用图
请直接写出抛物线的解析式．
小明探究点
的位置发现：当点
与点
或点
重合时，
与
的差为定值．进而猜想：对
于任意一点
，
与
的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．
小明进一步探究得出结论：若将“使
的面积为整数”的点
记作“好点”，则存在多
个“好点”，且使
的周长最小的点
也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的
个数，并求出
的周长最小时“好点”的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
抛物线解析式为
．
正确．理由见解析．
“好点”共有
个，且
的周长最小时，“好点”的坐标为
．
∵边长为的正方形
的两边在坐标轴上，以点
为顶点的抛物线经过点
，
∴
，
．
设抛物线为
，
则
，解得
．
故抛物线解析式为
．
正确．理由如下：
设
，则
．
．
2
（3 ）
【标注】
∴
．
∴
，
∴猜想正确．
的面积
．
由
，知
，
∴的整数值有
个．
由函数图象知，当
时，对应的“好点”有个．
∴“好点”共有
个．
在点
运动时，
大小不变，
∴
与
的和最小时，
的周长最小．
∵
，
∴
，
∴
．
当
，
，
三点共线时，
最小．
此时
，
的横坐标都为
．
将
代入
，得
，
∴
，此时
的周长最小，且
的面积为
，点
恰为“好点”．
综上，“好点”共有
个，且
的周长最小时，“好点”的坐标为
．
【知识点】二次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，直线
与轴、轴分别交于点
、
，抛物线
经过点
、
，并
与轴交于另一点
．
O
B
A
C
D
N
M
O
B
A
C
D
N
M
备用图
求此抛物线及直线
的函数表达式．
垂直于轴的直线与抛物线交于点
，
，与直线
交于点
，若
，结合函数的图象，求
的取值范围．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
经过点
的直线
与射线
、射线
分别交于点
、
．当直线
绕点
旋转时，
是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
为定值．
∵直线
与轴、轴分别交于点
、
，
∴点
，点
．
将
、
代入
中，
得：
，解得：
，
∴抛物线的函数表达式为
．
设直线
的函数表达式为
，
将
、
代入
中，
得：
，解得：
，
∴直线
的函数表达式为
．
∵
，
∴
．
当直线经过点
时，
，
，此时
；
当直线经过顶点
时，∵直线
的解析式为
，
∴
，
，此时
．
∵当
时，直线在直线与直线之间（如图），
O
B
A
C
图
∴
．
设直线
的解析式为
，
当
时，有
，
解得：
，
∴点
的坐标为
，
4
【标注】
∴
，
；
联立直线
与直线
的函数表达式成方程组，
得：
，解得：
，
∴点
的坐标为
．
过点
作
轴，垂足为
，如图所示，则
．
∵
轴，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
O
B
A
C
D
N
M
G
图
【知识点】二次函数与相似三角形结合
（1 ）
（2 ）
3. 如图所示，直线：
与轴交于点
，与轴交于点
，把
沿轴翻折，点
落到点
，抛物线过点
，
和
．
求直线
和抛物线的解析式．
5
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
若点
是抛物线上一动点，是否存在这样的点
使
是以
为直角边的直角三角
形，若存在，求出点
的坐标：若不存在，请说明理由．
若点
是对称轴上一点，过点
的任一条与轴不平行的直线与抛物线交于两点
，
，说明
是否是定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
直线
的解析式为
，抛物线的解析式为
．
的坐标为
或
．
是定值，定值为
．
∵
与轴交于点
，与轴交于点
，
∴
，
，设直线
的解析式为
，
把
、
两点坐标带入，
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
∵抛物线经过点
，
设抛物线的解析式为
，
把点
代入得
，
∴抛物线的解析式为
．
当
时，
∵
，
直线
的解析式为
，
直线
的解析式为
，
由
，
解得
或
，
∴点
的坐标为
；
当
时，
∵
，直线
的解析式为
，
∴直线
的解析式为
，
由
解得
或
，
∴点
的坐标为
，综上所述
的坐标为
或
．
理由：
设过点
的直线为
，
则
，
，
，
6
【标注】
∴
，
∴过点
的直线为
，
由
，得到
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
同理可得
，
∴
，
∴
．
【知识点】二次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
4. 抛物线
（
）与轴交于
，
两点，
点在
点左边，与轴交于
点，
顶点为
．
当
时，求点
，
，
坐标．
如图（）的条件下，若
为抛物线上一个动点，以
为斜边的等腰直角三角形的直角顶点
在对称轴上，（
，
，
按顺时针方向排列），求
点坐标．
7
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
如图，若一次函数
过
点且与抛物线只有一个公共点，平移直线
，使
其过抛物线的顶点
，与抛物线另一个交点为
与轴交于
点，当
变化时，求证：
是定值．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
，
．
点坐标为
或
．
证明见解析．
当
时，抛物线解析式为
，
当
时，
，解得
，
，则
，
，
∵
，
∴
点坐标为
．
抛物线的对称轴为直线
，直线
交轴于
，设
，
，
作
直线
于点
，如图，
8
（3 ）
图
∵
为等腰直角三角形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中
，
∴
≌
，
∴
，
，
即
，
，
∴
，
整理得
，解得
，
，
∴
点坐标为
或
．
，则
，
当
时，
，解得
，
，则
，
把
代入
得
，解得
，
则直线
的解析式表示为
，
图
9
【标注】
∵一次函数
与抛物线只有一个公共点，
∴方程
有相等的实数解，
方程整理为
，
∵
，
∴
，
∴一次函数
表示为
，
设直线
平移后的解析式为
，
把
代入得
，解得
，
即经过点
的直线解析式为
，
当
时，
，解得
，则
，
解方程组
得
或
则
，
作
轴于
，
轴，它们相交于点
，如图，
∵
，
∴
．
【知识点】动直线（线段）与定抛物线交点问题
1
2
（1 ）
（2 ）
5. 抛物线
与轴交于
、
两点，顶点为
，点
为抛物线上，且位于轴下方．
如图，若
、
，
B
O
C
A
求该抛物线的解析式．
若
是抛物线上一点，满足
，求点
的坐标．
如图，已知直线
、
与轴分别交于
、
两点．当点
运动时，
是否为定
值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
B
O
C
A
F
P
E
1
10
1
方法一：
方法二：
2
（1 ）
【解析】
【答案】
2
（1 ）
（2 ）
或
．
是定值，等于．
将
、
代入
得
，
解得
，
抛物线的解析式为：
．
由
得
，
与
关于轴对称，
得
．
如图，
在
右侧，即图中
，则
，
延长
交轴于
，
P
D
B
D2
O
C
Q
A
则
，
设
，则
，
解得：
，
∴
，则直线
为
，
再联立
，
得：
或
，
∴
．
∴点
的坐标为
或
．
如图，
x
y
O
当点
在
左侧时，
11
方法一：
（2 ）
由
，
得
，
与
关于轴对称，
，
得
；
当点
在
右侧时，延长
交轴于点
．
作
于点
，则
，
．
∵
，
∴
．
设
，则
，
．
在
中，由
，得
．
∴点
．
∴直线
的解析式为
，
解方程组
得
，
．
∵
，
∴
．
∴点
的坐标为
或
．
设
，则
有
，
∴
，
过点
作
，
B
O
C
A
F
P
E
H
有
，
易证：
，
则
即
，
∴
，
同理得
，
∴
，
∴
，则
．
12
方法二：
方法三：
∴
，
又
，
∴
．
∴
是定值，等于．
点
运动时，
是定值，定值为，
理由如下：
作
于
点，
x
y
O
设
，
，
，
则
，
．
∵
，
∴
，
∴
．
同理
．
∴
．
∴
．
设
的坐标为
，
，则
的解析式
，
的解析式为
，
所以
的坐标为
，
的坐标为
，
所以
13
【标注】
，
由于
在抛物线上，所以有
，
代入得
，为定值．
【知识点】二次函数与相似三角形结合
