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1
抛物线与几何定值【题集A】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 如图，边长为的正方形
的两边在坐标轴上，以点
为顶点的抛物线经过点
，点
是抛物线
上点
、
间的一个动点（含端点），过点
作
于点
．点
、
的坐标分别为
，
，连接
，
，
．
备用图
请直接写出抛物线的解析式．
小明探究点
的位置发现：当点
与点
或点
重合时，
与
的差为定值．进而猜想：对
于任意一点
，
与
的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．
小明进一步探究得出结论：若将“使
的面积为整数”的点
记作“好点”，则存在多
个“好点”，且使
的周长最小的点
也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的
个数，并求出
的周长最小时“好点”的坐标．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，直线
与轴、轴分别交于点
、
，抛物线
经过点
、
，并
与轴交于另一点
．
O
B
A
C
D
N
M
O
B
A
C
D
N
M
备用图
求此抛物线及直线
的函数表达式．
垂直于轴的直线与抛物线交于点
，
，与直线
交于点
，若
，结合函数的图象，求
的取值范围．
经过点
的直线
与射线
、射线
分别交于点
、
．当直线
绕点
旋转时，
是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由．
3.
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
如图所示，直线：
与轴交于点
，与轴交于点
，把
沿轴翻折，点
落到点
，抛物线过点
，
和
．
求直线
和抛物线的解析式．
若点
是抛物线上一动点，是否存在这样的点
使
是以
为直角边的直角三角
形，若存在，求出点
的坐标：若不存在，请说明理由．
若点
是对称轴上一点，过点
的任一条与轴不平行的直线与抛物线交于两点
，
，说明
是否是定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 抛物线
（
）与轴交于
，
两点，
点在
点左边，与轴交于
点，
顶点为
．
当
时，求点
，
，
坐标．
如图（）的条件下，若
为抛物线上一个动点，以
为斜边的等腰直角三角形的直角顶点
在对称轴上，（
，
，
按顺时针方向排列），求
点坐标．
图
如图，若一次函数
过
点且与抛物线只有一个公共点，平移直线
，使
其过抛物线的顶点
，与抛物线另一个交点为
与轴交于
点，当
变化时，求证：
是定值．
3
图
1
2
（1 ）
（2 ）
5. 抛物线
与轴交于
、
两点，顶点为
，点
为抛物线上，且位于轴下方．
如图，若
、
，
B
O
C
A
求该抛物线的解析式．
若
是抛物线上一点，满足
，求点
的坐标．
如图，已知直线
、
与轴分别交于
、
两点．当点
运动时，
是否为定
值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
B
O
C
A
F
P
E
