第 08 讲 圆锥曲线中的焦点弦、焦半径及定比分点
问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
抛物线定义的理解
2023年新Ⅱ卷，第10题,5分 抛物线焦点弦有关的几何性质 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
求直线与抛物线的交点坐标
2020年新I卷，第13题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2020年新Ⅱ卷，第14题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的焦点弦及其相关计算
2.理解、掌握圆锥曲线的焦半径及其相关计算
3.理解、掌握圆锥曲线的定比分点及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习知识讲解
1. 椭圆的斜率式焦点弦长公式
(1) 为椭圆 的左、右焦点，过 (或 )斜率为 的直线 与椭圆 交于
两点，则
(2) 为椭圆 的下、上焦点，过 (或 斜率为 的直线 与椭圆 交于
两点，则
2. 双曲线的斜率式焦点弦长公式
x2 y2
(1)F ，F 为双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F 斜率为k的直线l与双曲线交于A,B两
1 2 a2 b2 1
点，则
2ab2(1+k2)
(1)A，B在同支弦，|AB)=
a2k2−b2
2ab2(1+k2)
(2)A，B在异支弦，|AB)=
b2−a2k2
2ab2(1+k2)
综合(1)(2)可统一为:|AB)=
|a2k2−b2)y2 x2
(2)F ，F 为双曲线C: − =1(a>0,b>0)的上、下焦点，过F 斜率为k的直线l与双曲线交于A,B两
1 2 a2 b2 1
点，则
2ab2(1+k2)
(1)A，B在同支弦，|AB)=
a2−b2k2
2ab2(1+k2)
(2)A，B在异支弦，|AB)=
b2k2−a2
2ab2(1+k2)
综合(1)(2)可统一为:|AB)=
|a2−b2k2)
3. 椭圆的倾斜角式焦点弦长公式
x2 y2
(1)F ,F 为椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点，过F 倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两点，
1 2 a2 b2 1
2ab2 2ep
则|AB)= =
a2−c2cos2θ 1−e2cos2θ
|a2
)
b2
其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p= −c =
c c
y2 x2
(2)F ,F 为椭圆C: + =1(a>b>0)的上、下焦点，过F 倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两点，
1 2 a2 b2 1
2ab2 2ep
则|AB)= =
a2−c2sin2θ 1−e2sin2θ
|a2
)
b2
其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p= −c =
c c
2b2
特殊情形，对于焦点在x轴上的椭圆，当倾斜角为θ=90∘时，即为椭圆的通径，通径长|AB)=2ep= .
a
4. 双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
x2 y2
(1)F ，F 为双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F 倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A,B
1 2 a2 b2 1
2ab2 2ep
两点，则|AB)= =
|a2−c2cos2θ) |1−e2cos2θ)
|a2
)
b2
其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p= −c =
c c
y2 x2
(2)F ，F 为双曲线C: − =1(a>0,b>0)的上、下焦点，过F 倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A,B
1 2 a2 b2 1
2ab2 2ep
两点，则|AB)= =
|a2−c2sin2θ) |1−e2sin2θ)
|a2
)
b2
其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p= −c =
c c2b2
特殊情形，对于焦点在x轴上的双曲线，当倾斜角为θ=90∘时，即为椭圆的通径，通径长|AB)=2ep= .
a
5. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式
2|p)
(1) 焦点在 x 轴上, |AB)=
sin2θ
2|p)
(2) 焦点在 y 轴上, |AB)=
cos2θ
6. 椭圆的角度式焦半径公式
x2 y2 b2
设P是椭圆 + =1上任意一点，F为它的一个焦点，∠PFO=θ，则|PF)=
a2 b2 a−ccosθ
注:上述公式定义∠PFO=θ,P为圆锥曲线上的点,F为焦点
7. 双曲线的角度式焦半径公式
x2 y2
设 P 是双曲线 − =1(a>0,b>0) 上任意一点， F为它的一个焦点， ∠PFO=θ ，则
a2 b2
b2
|PF)=
ccosθ±a
式中“ 的记忆规律: 同正异负.即当 P 与 F 位于 y 轴的同侧时取正，否则取负.
取 ∠PFO=θ ，无需讨论焦点位置
8. 抛物线的角度式焦半径公式
已知 A 是抛物线 C:y2=2px(p>0) 上任意一点， F 为它的一个焦点， ∠AFO=θ ，则
p
|AF)=
1+cosθ
9. 定比分点的定义
若 ⃗AP=λ⃗PB, 则称点 P 为线段 AB 的定比分点, λ 为点 P 分 ⃗AB 的比.
(x +λx y +λ y )
一般地, 设点 A(x ,y ),B(x ,y ), 且 ⃗AP=λ⃗PB, 则点 P 的坐标为 1 2, 1 2 .
1 1 2 2 1+λ 1+λ
考点一、 椭圆、双曲线、抛物线的通径问题1．（2023秋·四川内江·高三期末）椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上且 轴，则 到
直线 的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双
曲线 的通径长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知点 到抛物线 的准线的距离为4，那么抛物线
的通径（过焦点并垂直于轴的弦）长是（ ）
A．8 B．8或24 C．12 D．12或24
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别是 、 ，点 在椭圆上.若 、 、
是一个直角三角形的三个顶点，则点 到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D． 或
1．（2022·全国·高三专题练习）抛物线 的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为
．
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：x2＝2py 的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C相交
于A，B两点，若 AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p＝ ．
3．（2022·全国·高△三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB
两点，且 ，则p的值为 ．
4．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆 的焦点 的弦中最短弦长是（ ）
A． B． C． D．
考点 二 、 椭圆中的焦点弦及焦半径问题1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ，离心
率为 ．倾斜角为 的直线与 交于 两点，并且满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，
为第一象限内 上一点．若 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三对口高考）已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交椭圆于
A、B两点，若 ，则 ．
4．（2023·全国·高三对口高考）如图，把椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作 轴的垂线
交椭圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，则
___
1．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 的直
线交椭圆E于A，B两点．若 ， 轴，则椭圆E的方程为 ．
2．（2022秋·四川乐山·高三期末）设 、 分别为椭圆 ： 的左、右两个焦点，过 作斜率
为1的直线，交 于 、 两点，则3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，且
，若第一象限的点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为
.
4．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知F，F 分别是椭圆 的左，右焦点，
1 2
点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足 ，则下列结论错误的是（ ）
A．△ABF 的周长为定值 B．AB的长度最小值为2
2
C．若AB⊥AF，则 D．λ的取值范围是
2
考点 三 、 双曲线中的焦点弦及焦半径问题
1．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 直线，交双曲线于 两
点，求弦长 ．
2．（2021·全国·高三专题练习） 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线分别交该双曲
线的左、右两支于A、B两点，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，一条渐近
线方程为 ，过双曲线C的右焦点 作倾斜角为 的直线 交双曲线的右支于A，B两点，若
的周长为36，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）（多选）在平面直角坐标系中，已知 ，过点
可作直线 与曲线 交于 ， 两点，使 ，则曲线 可以是（ ）
A． B．
C． D．1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，以 ， 为
直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 ， ， ，则双曲线的标准方程为 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）若 分别是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线左支上过点
的弦，且 ， 的周长是20，则m= ．
3．（2023秋·江西·高三统考开学考试）（多选）已知 、 是双曲线 的左、右
焦点，以 为圆心， 为半径的圆与 的一条渐近线切于点 ，过 的直线 与 交于 、 两个不同的
点，若 的离心率 ，则（ ）
A．
B． 的最小值为
C．若 ，则
D．若 、 同在 的左支上，则直线 的斜率
考点 四 、 抛物线 中的焦点弦及焦半径问题
1．（全国·高考真题）已知直线 与抛物线 相交于A、B两点，F为C的焦点，若
,则k=
A． B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形3．（山东·统考高考真题）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =
．
4．（重庆·高考真题）过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 两点，若 则
= ．
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）（多选）如图，已知抛物线 ，过抛物线焦点 的直线 自上而下，
分别交抛物线与圆 于 四点，则（ ）．
A． B．
C． D．
1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线 的焦点 ，作斜率为
的直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则 （ ）
A． B． 或3 C． 或2 D．3
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线
与抛物线 及其准线分别交于 两点， ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A，B是抛物线 ： 上两动点， 为抛物线
的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时， 最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为 时，C．若AB中点M的横坐标为2，则 最大值为5
D．
4．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交
于A，B两点， ，AB的中点横坐标为4，则 ．
5．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）已知抛物线 与圆 ，过圆心 的直线 与抛
物线 和圆 分别交于 ， ， ， ，其中 ， 在第一象限， ， 在第四象限，则 最
小值是 .
考点 五 、 定比分点问题
x2 y2
1 已知过定点 P(0,3) 的直线与椭圆 + =1 交于两个不同的点 A,B, 且满足 ⃗AP=λ⃗PB, 求 λ
9 4
的取值范围.
(x +λx y +λ y )
解: 设点 A(x ,y ),B(x ,y ), 则由 ⃗AP=λ⃗PB知点 P 1 2, 1 2 ,
1 1 2 2 1+λ 1+λ
又已知点 P(0,3), 所以 x +λx =0,y +λ y =3(1+λ) (1).
1 2 1 2
x2 y2 λ2x2 λ2y2
由点 A,B 在脒圆上得 1+ 1=1, 2+ 2=λ2,
9 4 9 4
(x +λx )(x −λx ) (y +λ y )(y −λ y )
两式作差得 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =1− λ2(2).
9 4
4
于是, 将(1) 代入 (2) 化简得 y −λ y = (1− λ).
1 2 3
3 2 13 5
由 y +λ y =3(1+λ) 可得 y = (1+ λ)+ (1−λ)= + λ∈[−2,2),
1 2 1 2 3 6 6
[ 1)
解得 λ∈ −5,− .
5
1．（浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足 ，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·高三课时练习）抛物线 的通径长为（ ）
A．8 B．4 C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，则过点 且斜率为 的直线 截抛物线
所得弦长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）设经过点 的直线与抛物线 相交于 ， 两
点，若线段 中点的横坐标为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆 的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且 ，则
这样直线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2022·全国·高三专题练习）设 为双曲线 ： 上的点， ， 分别是双曲线 的左，右焦
点， ，则 的面积为（ ）
A． B． C．30 D．15
6．（2023秋·高三课时练习）已知抛物线 的焦点为 ，若直线 与 交于 ， 两点，
且 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2023春·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知抛物线 直线 与 交于 ， 两点，
直线 与 交于 ， 两点，则| |+2| |的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 为抛物线 的焦点，过 的直线 交抛物线 于 两点，若 ，则 （ ）
A．1 B． C．3 D．4
9．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线 的焦点 ，作斜率为
的直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则 （ ）
A． B． 或3 C． 或2 D．3
10．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为F，过F且斜率大于零的
直线l与 及抛物线 ： 的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．（2021·全国·模拟预测）如图，椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过点 ， 分别作弦
， .若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·陕西·校联考三模）已知定点 ，直线 ： 与抛物线 交于两点
A，B，若 ，则 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
13．（2022·全国·高三专题练习）已知斜率不为0的直线 过椭圆 的左焦点 且交椭圆于 ，
两点， 轴上的点 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
二、多选题14．（2022秋·河北衡水·高三校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线
相交于 两点，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的最小值为5
C．以线段 为直径的圆与直线 相切
D．若 ，则直线 的斜率为
15．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知F，F 分别是椭圆 的左，
1 2
右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足 ，则（ ）
A． ABF 的周长为定值 B．AB的长度最小值为1
2
C．若
△
AB⊥AF
2
，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5]
三、填空题
16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的离心率 ，左右焦点分别为 ，P为椭圆C上一动点，
则 的取值范围为 .
17．（2022秋·四川乐山·高三期末）设 、 分别为椭圆 ： 的左、右两个焦点，过 作斜率
为1的直线，交 于 、 两点，则
18．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，且
，若第一象限的点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为
.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点 ，点
的坐标为 ， 为 的角平分线，则
20．（2021·全国·高三专题练习）已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，以 ， 为
直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 ， ， ，则双曲线的标准方程为 ．
