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抛物线与几何定值【题集B】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知抛物线
与直线
交于
、
两点，交轴于点
，直线交轴于
点
．
若
为抛物线顶点，且
，求的值．
连接
，
，若点
在第二象限，
，求点
的坐标．
若
、
均在轴上方，分别过点
、
作轴的垂线，垂足分别为
、
，当取某一确定值
时，对于任意的的可能取值，
的值恒为定值，求此时和
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，．
．
恒定值为
．
若
时：
，即为：
，代入
上
得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
或
．
故答案为：，．
由
得：
，∴
，
设
、
，
∴
，
2
（3 ）
【标注】
∴
，
，易知：
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
（舍）或
，
故答案为：
．
设
、
，则
，
∴
，
，而
，
其中：
，
，
∴
恒为定值，
∴
，
∴
，
此时：
．
故答案为：恒定值为
．
【知识点】二次函数与相似三角形结合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，已知抛物线
的顶点为
，且经过点
．
x
y
O
图
求顶点
的坐标．
若
是抛物线上且位于直线
上方的一个动点，求
的面积的最大值及此时点
的坐
标．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，将原抛物线沿射线
方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线
交于
，
两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段
的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；
若不是，请说明理由．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
的最大值为
，
．
是 ；定值为
．
把
代入
得：
，
解得
，
∴
，
∴顶点
的坐标是
．
∵直线
的解析式为
，过点
作
轴交直线
于点
，
故设
，
，
y
O
x
∴
，
∴
，
当
时，
的最大值为
．
此时
，
∴
．
故答案为：
．
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（3 ）
【标注】
∵直线
的解析式为
，
∴可设新的抛物线解析式为
，
联立
，
∴
，
∴
，
，
即
、
两点间的横坐标的差为，
∴
．
故答案为：是 ；定值为
．
【知识点】二次函数与动点问题
3.
【解析】
已知二次函数
（
c
），与轴交于
、
两点，
是线段
（不含端点）上
任意一点，
轴交抛物线于点
，
，
交直线
于点
，问当、有何
数量关系时（只写一种情况即可），
的周长为定值，并求出该值（用表示）．
【答案】
．
设
，则
，
，
，
，
若要
为完全平方式，参数未知，、重构解析式，
则可：
，
，
下面验证：当
，即
时，
是否为定值．
，
，
，
，∴
，
，
∴
．
故答案为：
．
，
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【标注】【知识点】二次函数与动点问题
4.
【解析】
已知抛物线
与轴交于
、
两点（
在
左侧），与轴交于
点，设点
，若
是抛物线对称轴上使得
的周长取得最小值的点，过
任意作一条与轴不
平行的直线交抛物线
于
，
两点，试探究
是否为定值？请说
明理由．
【答案】是定值．
要使
的周长取得最小，
只需
最小连接
交
于点
，
因为点
与点
关于
对称，
根据轴对称性质以及两点之间线段最短，
可知此时
最小．
令
中的
，
则
或，
∴
，
∵
，
∴直线
解析式为
，
∴
．
令过
的直线
解析式为
，
则
，
∴
则直线
的解析式为
．
由
，
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【标注】
得
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
．
∴
，
，
同理
，
∴
，
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
5. 如图，已知抛物线
的顶点为
，且经过点
．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
x
y
O
图
x
y
图
求抛物线的解析式．
在对称轴左侧的抛物线上存在一点
，使得
，求点
坐标．
如图，将原抛物线沿射线
方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线
交于
、
两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段
的长度是否为定值？若是，请求出这个定
值；若不是，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
在抛物线平移的过程中，线段
的长度是定值，
．
∵抛物线
经过点
，
∴代入得：
，
∴
，
∴
．
过
上一点
作
于
,过
作轴的平行线
，过
作
于
,过
作
于
，
∵
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
≌
，
∴
、
，
∴
，
∴直线
：
，
联立得：
．
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x
y
O
（3 ）
【标注】
在抛物线平移的过程中，线段
的长度是为定值，
∵直线
的解析式为
，
∴可设新抛物线为
，
联立得新抛物线与
得：
∴
，
∴
，
，
，
，
，
，
即
、
两点横坐标的差是常数，
、
两点的纵坐标差为常数，
∴
，
∴在抛物线平移的过程中，线段
的长度是定值．
【知识点】二次函数与等腰三角形结合
