第五部分 机械能 第四节 机械能守恒定律
知识点一 重力势能
1、定义:物体由于被举高而具有的能.
2、公式:Ep=mgh 物体的重力势能等于它所受的重力与所处高度的乘积.
（1）重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量,而不是地球上物体独有的,通常所说的物
体的重力势能是一种简略的习惯说法.
（2）重力势能具有相对性.重力势能的数学表达式E0=mgh 是与参考平面的选择有关的,式中的h 是物
体重心到参考平面的高度.重力势能是标量,只有大小而无方向,但有正、负,当物体在参考平面之
上时,重力势能Ep 为正值;当物体在参考平面之下时,重力势能Ep 为负值.注意物体重力势能的正、
负的物理意义是表示比零势能大,还是比零势能小,这与功的正、负的物理意义是不同的.如10 J
的重力势能大于-100 J 的重力势能.
（3）重力势能的参考平面的选取是任意的.视处理问题的方便而定,一般可选择地面或物体运动时所
达到的最低点为零势能参考点.
（4）重力势能的变化是绝对的.物体从一个位置到另一个位置的过程中,重力势能的变化与参考平面
的选取无关,它的变化是绝对性的.我们关注的是重力势能的变化,这意味着能的转化问题.
3、重力做功与重力势能的关系
（1）重力对物体做正功时,物体的重力势能减少,减少的重力势能等于重力所做的功;
（2）重力对物体做负功(或者说物体克服重力做功)时,物体的重力势能增加,增加的重力势能等于物
体克服重力所做的功;
（3）其定量关系式为:WG=-ΔEp=-(E
-
)=E
-E
.
即重力对物体所做的功等于物体重力势能的增量的负值;
（4）只要重力做功不等于零,重力势能就发生变化;也只有在重力做功不等于零时,重力势能才发生变
化.
以上结论不管是否有其他力对物体做功,也不管物体怎样运动均成立.
知识拓展：
1、重力势能的相对性、标矢性和系统性
重力势能
相对性
重力势能总是相对选定的参考平面而言的(该平面常称为零势能面)
标矢性
重力势能为标量，其正负表示重力势能大小。物体在参考平面上方时，重力势能
为正值，在参考平面下方时，重力势能为负值
系统性
重力势能是物体与地球所组成的系统共有的
2、做功表达式：WG＝mgh＝mgh1－mgh2，
式中h 指初位置与末位置的高度差；h1、h2分别指初位置、末位置的高度。
3、做功的正负：物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功。
4、做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的_起点和终点的位置有关，而跟物体运动的
路径无关。
5、重力做功与重力势能变化关系的理解
(1)无论物体是否受其他力的作用，无论物体做何种运动，关系式WG＝－ΔEp 总是成立的。
(2)功是能量转化的量度，重力势能的变化是由重力做功引起的，重力做功的多少是重力势能变化的量
度。
6、重力做功的特点：如图8-3-1 所示，物体沿路径1 或沿路径2 下降相同的高度，虽然位移不同，
但在竖直方向上的分位移相同，都等于下降的高度h。根据功的定义，某个力做的功等于该力与在
该力的方向上通过的位移的乘积，那么物体的重力做的功就等于该物体的重力与该物体在重力的
方
向上（竖直方向）通过的距离（上升或下降的高度），即
，无论物体沿路径1 或沿路径2
下降相同的高度，在重力的方向上通过的距离是相同的，所以重力做功相同。
可见，重力做功的大小与物体运动的路径无关，只与物体初末位置的高度差有关，
重力做的功等于物体的重力跟物体下降或上升的高度的乘积。同一物体，无论沿
那条路径运动，只要初、末位置相同，或者下降或上升的高度差相同，重力做功都相同。
7、物体上升，重力做负功，物体下降，重力做负功。
典例1、质量为m 的物体(可视为质点)从地面上方H 高处由静止释放，落在地面后出现一个深度为h
的坑，如图所示，重力加速度为g，在此过程中，重力对物体做功为______，重力势能
______(填“减少”或“增加”)了______．
h
1
2
8
3
1
图
答案：mg(H＋h) 减少 mg(H＋h)
随堂练习：截面积为S 的U 形管中，盛有一种密度为ρ 的液体，由于底部中间的阀门关闭着，使一
边管中的液面高度为h1，另一边管中的液面高度为h2，如图8-3-15 所示，把阀门打开，
使左右两边相通，当两边液面达到相同高度时，重力做的功为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
解：因为左右对称部分在整个过程中的重力势能不变，所以只研究左边多出的部分液体即可。
如图8-3-16 所示，以右面液面 为0 势能位置，多出部分液体的重心开始高度为
，两边
液面达到相同高度时，多出部分液体初始位置的重心高度为
，
多出部分液体的质量为
，
重力势能的减少量为
，
所以重力做功为
，故A 正确，
知识点二 弹性势能
1、定义:发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能叫弹性势能.
（1）弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量,因而也是对系统而言的.
（2）弹性势能也是相对的,其大小在选定了零势能点后才有意义.对弹簧,零势能点一般选弹簧自由
长度时为零.
（3）用力拉或压弹簧,弹簧克服弹力做功,弹性势能增加.
2、弹簧弹性势能的表达式： 如果弹簧的自由长度为零势能点,弹性势能的表达式为：Ep=
kL2
式中的l 为相对于自由长度的形变量.
1h
2h
阀门
8
3
15
图
1
O
2
O
8
3
16
图
3、弹力做功与弹性势能的关系：当弹簧的弹力做正功时,弹簧的弹性势能减小,弹性势能变成其他形
式的能;当弹簧的弹力做负功时,弹簧的弹性势能增大,其他形式的能转化为弹簧的弹性势能.
知识拓展：
1、对弹性势能的理解
(1)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势
能具有系统性．
(2)(弹簧)弹性势能的影响因素：①弹簧的形变量x； ②弹簧的劲度系数k.
(3)相对性：弹性势能的大小与选定的弹性势能为零的位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长
时的弹性势能为零．
2、弹性势能与弹力做功的关系：弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，
反之则减小．
典例2、(多选)关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是( )
A．弹簧的弹性势能与其被拉伸(或压缩)的长度有关
B．弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数有关
C．同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大
D．弹性势能的大小与使弹簧发生形变的物体有关
答案：ABC
解：理解弹性势能时要明确研究对象是发生弹性形变的物体，而不是使之发生形变的物体，弹簧弹
性势能的大小跟形变量有关，同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能也越大；弹簧的
弹性势能还与劲度系数有关，当形变量相同时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大，故A、B、C 正确．
随堂练习：如图甲所示，一滑块沿光滑的水平面向左运动，与轻弹簧接触后将弹簧压缩到最短，然
后反向弹回，弹簧始终处在弹性限度以内，图乙为测得的弹簧的弹力与弹簧压缩量之间的关
系图像，则弹簧的压缩量由8cm 变为4cm 时，弹簧所做的功以及弹性势能的改变量分别为（
）
A.
、
B.
、
C.
、
D.
、
答案：C
解：（1）面积法：弹簧由伸长量8cm 到伸长量4cm 的过程中，弹力做正功，
弹力做的功等于在该过程中，图线与x 轴围成的面积，
8
3
30
图
如图8-3-30 所示的梯形阴影部分的面积，
即：
，弹簧弹性势能的变化量为
。故C 正确。
（2） 平均力法：弹力做的功为
,
弹性势能的变化量为
。
（3）公式法：弹簧的劲度系数为
，弹簧由伸长量8cm 到伸长量4cm 的过程中，弹簧
弹性势能的改变量为
,弹力做的功为
。
知识点三 机械能守恒定律
1、内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持不变.这
叫做机械能守恒定律.
2、表达式：常见的表达方式有以下三种:
（1）物体(或系统)初态的总机械能E1等于末态的总机械能E2,即E1=E2.
（2）物体(或系统)减少的势能ΔEp 减等于增加的动能ΔEk 增,即ΔEp 减=ΔEk 增.
（3）若系统内只有A、B 两个物体,则A 减少的机械能等于B 增加的机械能,即ΔEA 减=ΔEB 增.
知识点四 功能关系
1、功是能量转化的量度.做功的过程就是能量转化的过程,做了多少功,就有多少能量发生转化.
2、功和能量是有区别的:功是过程量,能量是状态量.只能说处于某一状态的物体(或系统)具有多少
能,而不能说这个物体(或系统)具有多少功;功是能量转化的量度,决不能说“功是能的量度”.
“功”无所谓转化.功和能是两个不同的概念,不可等同视之.
3、功能关系的几种表达方式
（1）若重力做正功,重力势能减少;若重力做负功,重力势能增大. 即WG=E
-E
.
（2）若弹簧的弹力做正功,弹性势能减少;若弹簧的弹力做负功,弹性势能增大. 即W 弹=E
-E
.
（3）重力和弹力之外的力对物体做的功WF,等于物体机械能的变化. 即WF=E2-E1.
若WF>0,E2>E1,机械能增加. 若WF<0,E2<E1,机械能减少.
知识拓展：对机械能守恒定律的理解
1、对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化．
(2)只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．
(3)只有重力和弹力做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．
(4)除受重力或弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零．
2、判断机械能是否守恒的方法
(1)做功条件分析：只有重力和系统内弹力做功，其他力不做功或做功的代数和始终为零．
(2)能量转化分析：系统内只有动能、重力势能及弹性势能的相互转化，即系统内只有物体间的机械
能相互转移，则机械能守恒．
(3)定义判断法：如物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时，动能不变，势能变化，机械能不守恒．
典例3、如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A 将弹簧压缩的过程中，A 机械能守恒
B．乙图中，A 置于光滑水平面，物体B 沿光滑斜面下滑，物体B 机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A 加速下落、B 加速上升过程中，A、B 系统机械能守恒
D．丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
答案 C
解：若不计空气阻力，题图甲中重力和弹力做功，物体A 和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A 机
械能不守恒，选项A 错误；题图乙中物体B 除受重力外，还受弹力，弹力对B 做负功，机械能不
守恒，但A、B 组成的系统机械能守恒，选项B 错误；题图丙中绳子张力对A 做负功，对B 做正
功，代数和为零，A、B 系统机械能守恒，选项C 正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动
能和橡皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，选项D 错误．
随堂练习：如图所示,一物体质量m=2 kg.在倾角为θ=37°的斜面上的A 点以初速度v0=3 m/s 下
滑,A 点距弹簧上端B 的距离AB=4 m.当物体到达B 后将弹簧压缩到C 点,最大压缩量BC=0.2
m,然后物体又被弹簧弹上去,弹到的最高位置为D 点,AD=3 m.挡板及弹簧质量不计,g 取10
m/s2,sin37°=0.6,
求:(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ;
(2)弹簧的最大弹性势能Epm.
答案：(1)0.52 (2)24.4 J
解：(1)最后的D 点与开始的位置A 点比较:动能减少ΔEk=
mv =9 J.
重力势能减少ΔE p=mglADsin37°=36 J.机械能减少ΔE=ΔEk+ΔEp=45 J
机械能的减少量全部用来克服摩擦力做功，即W
=Ffl=45 J,而路程l=5.4 m,
则Ff=
=8.33 N. 而Ff=μmgcos37°,所以μ=
=0.52.
(2)由A 到C 的过程：动能减少ΔE′k=
mv =9 J. 重力势能减少ΔE′p=mglAC sin37°=50.4 J.
机械能的减少用于克服摩擦力做功W′
=Ff lAC=μmgcos37°×lAC=35 J.
由能的转化和守恒定律得: Epm=ΔE′k+ΔE′p-W′
=24.4 J.
解题思路与方法
一、重力做功与重力势能变化的关系
1、重力做功与重力势能变化的关系如下：重力做功一定能引起重力势能的变化，重力如果做正功，
那么物体的重力势能减少，减少的重力势能就等于重力所做的功；重力做负功，也就是物体克服重
力做功，重力势能增加，增加的重力势能就等于物体克服重力所做的功.
2、重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关.对于研究对
象是液体的重力势能变化的分析，一定要注意按其重心升高或降低的高度差去处理，另外，我们可
以不管“看似不动”的液体，只分析“动”了的液体部分，即认为液体直接移动到末状态.
3、求重力做功时，可以先求重力势能的变化，求重力势能的变化时也可以先求重力做的功，两者在
数值上是等效的，但要注意正负号问题.
随堂练习：某海湾面积共1.0×107 m2，涨潮时水深20 m，此时关上水坝闸门，可使水位保持在20 m
不变.退潮时，坝外水位降至18 m 也保持不变，如图所示.假如利用此水坝建立水电站，
在落潮时，水电站将水的重力势能转化为电能，转化的效率为15%，每天两次涨潮，问
该电站一天最多能发多少电？
答案：6×1010 J
解：涨潮末关上闸门，退潮时关上水坝闸门，坝内水面比坝外高出2 m，发电时高出的水通过发动机
流向坝外，最终水位由20 m 降至18 m，水减少的重力势能一部分转变成电能.
重力势能的减少量：ΔEp=mg·
=
ρSh2g
一天最多发的电能为：ΔE=2×ΔEp×15%=2×
×1.0×103×1.0×107×22×10×0.15 J=6×1010
J.
二、系统机械能守恒问题
对于多个物体组成的系统的机械能守恒问题，是一个比较复杂的问题.如果某一个系统内部 ，物
体之间只有动能和重力势能及弹簧的弹性势能相互转化，系统跟外界其他物体没有发生机械能的传
递，机械能也没有转变成其他形式的能（例如系统没有内能产生），则系统的机械能守恒.
随堂练习：如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定
滑轮.一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A 和B 连接，A 的质量为4m，B 的质量为
m.开始时将B 按在地面上不动，然后放开手，让A 沿斜面下滑而B 上升.物块A 与斜面间无
摩擦.设在A 沿斜面下滑s 距离后，细线突然断了.求物块B 上升的最大高度H.
答案：1.2 s
解：设物块A 沿斜面下滑s 距离时的速度为v，
由机械能守恒得：
v2+mgs=4mgssin30°=2mgs 细线突然断开的瞬间，物块B 竖直上升的速度为
v，此后B 做竖直上抛运动.设B 继续上升h，由机械能守恒得
mv2=mgh，物块B 上升的最大高度
H=h+s，由上式得H=1.2 s.
三、绳子在某一瞬间突然绷紧的问题
一般绳子在拉直、绷紧的瞬间，与之相关的物体将损失机械能，损失的机械能转化为绳子的内能
（类似碰撞）.所以对于有绳子参与，且绳子有拉直等情况出现的系统，系统的机械能是不守恒的，
一定会有一部分机械能转变为内能.
随堂练习：如图所示，摆球的质量为m，从偏离水平方向θ=30°的位置由静止释放，求小球运动到
最低点时绳子受到的拉力是多大.
答案：3.5mg
解：对球的运动分析及受力分析如图所示：
设悬线长为l，小球被释放后，先做自由落体运动，直到下落高度为h=2lsinθ=l,
处于松弛状态的细绳被拉直为止.这时，小球的速度竖直向下，大小为v=
.
当绳被拉直时，在绳的冲力作用下，速度v 的法向分量vn 减为零（相应的动能转化为绳的内
能）；小球以切向分量vt=vcos30°开始做变速圆周运动到最低点.
根据后一过程中机械能守恒，有
m（vcos30°)2+mgl(1-cos60°)=
mvA
2,
在最低点A 根据牛顿第二定律，有F-mg=m
,
所以，绳的拉力为F=mg+m
=3.5mg.
课 堂 练 习
1、下列实例中，不计空气阻力，机械能守恒的有( )
A. 行驶中汽车制动后滑行一段距离，最后停下 B. 流星在夜空中坠落并发出明亮的光焰
C. 降落伞在空中匀速下降 D. 物体从高处沿光滑固定的曲面下滑
答案：D
解：A．行驶中汽车制动后滑行一段距离，最后停下，则机械能减小，选项A 不符合题意；
B．流星在夜空中坠落并发出明亮的光焰，受阻力作用，且机械能转化为内能，则机械能减小，选项
B 不符合题意；C．降落伞在空中匀速下降，则动能不变，势能减小，机械能减小，选项C 不符合题
意；
D．物体从高处沿光滑固定的曲面下滑，只有重力做功，则机械能守恒，选项D 正确.
2、如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a 和b．a 球质量为
m，静置于地面；b 球质量为3m，用手托往，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b 后，
a 可能达到的最大高度为（ ）
A. h
B. 2h C. 1.5h D. 2.5h
答案：C
解：设a 球上升高度h 时，两球的速度大小为v，
根据ab 系统的机械能守恒得：3mgh=mgh+
•（3m+m）v2，解得：
，此后绳子恰好松弛，
a 球开始做初速为
的竖直上抛运动，再对a 球，
根据机械能守恒：mgh+
=mgH，解得a 球能达到的最大高度：H=1.5h，故C 正确，ABD 错误。
3、下列所述的情景中，机械能守恒的是（ ）
A. 汽车在平直路面上加速行驶
B. 木块沿斜面匀速下滑
C. 降落伞在空中匀速下落
D. 小球在空中做自由落体运动
答案：D
解：A．汽车在平直路面上加速行驶，动能增加，重力势能不变，所以汽车的机械能不守恒，A 错
误。
B．木块沿斜面匀速下滑，说明此时的木块要受到沿斜面的摩擦力的作用，且对木块做了负功，所以
其机械能不守恒。B 错误。
C．降落伞在空中匀速下落，说明重力和空气的阻力大小相等，阻力做了负功，所以机械能不守恒，
C
错误。
D．做自由落体运动的物体只受重力的作用，所以小球的机械能守恒，D 正确。
4、将甲、乙两物体自地面同时上抛，甲的质量为ｍ，初速度为ｖ，乙的质量为２ｍ，初速度为
.
若不计空气阻力，以地面为零势能面则( )
A.甲比乙先到最高点 B.甲和乙在最高点的重力势能相等
C.落回地面时，甲的动量的大小比乙的大 D.落回地面时，甲的动能比乙的大
答案：D 解：上升时间t 甲=
,t 乙=
=
. 所以t 甲>t 乙，A 错;
取地面为零势能面，据机械能守恒知甲、乙两物体到达最高点时的重力势能分别为E
=
mv2;
E
=
2m(
)2=
mv2 所以Ep 甲>Ep 乙,B 错;落回地面时甲的动量大小p 甲=mv；
乙的动量大小p 乙=mv,所以p 甲=p 乙，C 错;据机械能守恒定律知D 正确.
5、如图,物体B 的质量是物体A 的质量的
,在不计摩擦阻力的情况下,A 物自高H 处由静止开始下落,
且B 始终在同一水平面上,若以地面为零势能面,当A 的动能与其势能相等时,A 距离地面的高度是（
）
A.
H B.
H C.
H D.
H
答案：B 解：A 下落过程中,重力势能转化为两物体的动能,由系统机械能守恒,
有mAgH=mAgh+
mAv2+
mBv2,此时
mAv2=mAgh,而mB=
mA 则
mBv2=
(
mA)v2=
mAgh,
代入上式得mAgH=mAgh+mAgh+
mAgh,解得h=
H.
6、（多选）下面列举的各个实例中（除a 外都不计空气阻力），哪些情况机械能是守恒的( )
a.跳伞员带着张开的降落伞在空气中匀速下落 b.抛出的手榴弹或标枪在空中运动
c.拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升（见图1）
d.在光滑水平面上运动的小球碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来（见图2）
e.用细线拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动
f.用细线拴着一个小球，使小球在竖直面内做圆周运动
图1
图2
答案：bdef
解：判断机械能是否守恒，根据是它的守恒条件.上面的习题b\,f 中，物体只受重力作用，因而机械
能守恒.a 中受到空气阻力;c 中受到斜向上的拉力，且这些力对物体做功，所以机械能不守恒.e
中小球虽然受到细绳的拉力,但该力不做功，故机械能守恒.d 中，小球和弹簧除受到弹力作用外，
还受地面对小球的支持力和墙壁对弹簧的作用力，但这两个力不做功，故该系统机械能守恒.
7、如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R=0.5 m，轨道在C 处与水平地
面相切.在C 处放一小物块，给它一水平向左的初速度v0=5 m/s，结果它沿CBA 运动，通过A 点，
最后落在水平地面上的D 点，求C、D 间的距离s.取重力加速度g=10 m/s2.
答案：1 m
解：设小物块的质量为m，经A 处时的速度为v,由A 到D 经历的时间为t,
有：
mv =
mv2+2mgR 2R=
gt2,s=vt 由三式联立解得s=1 m.
8、如图所示，光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m1的小球用轻绳跨过圆柱与质量为m2的小球相
连，最初小球m1放在平台上，两边绳竖直，两球从静止开始运动，m1上升，m2下降，当m1上升到最
高点时绳子突然断了，发现m1恰能做平抛运动，求m2应为多大？
答案：m2=
m1
解：两球组成的系统机械能守恒，从静止开始运动到m1 到达最高点有m2g(R+
×2πR)-m1g×2R=
(m1+m2)v2
对m1在最高点，只受重力作用.由圆周运动得m1g=m1
以上两式联立解得,m2=
m1.
课 后 练 习
1、如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a 和b.a 球质量为m,
静置于地面；b 球质量为3m,用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b 后，a 可
能达到的最大高度为 ( ) A.h B.1.5h C.2h D.2.5h
答案:B
解:释放b 后，b 下落到地面，a 上升高度h 瞬间，a、b 两者的速度相等，设为v，
由机械能守恒得3mgh=mgh+
mv2+
×3mv2,则v=
，之后a 竖直上抛，继续上升的高度为h′,
由h′=
得h′=
h,所以a 上升的最大高度为h+h′=
h,则B 正确.
2、如图所示，固定在竖直平面内的光滑3/4 圆弧轨道AB-CD，其A 点与圆心等高，D 点为轨道最高点，
AC 为圆弧的一条水平直径，AE 为水平面.现使小球自A 点正上方O 点处静止释放，小球从A 点进入
圆轨道后能通过轨道最高点D.则( )
A.小球通过D 点时速度可能为零 B.小球通过D 点后，一定会落到水平面AE 上
C.小球通过D 点后，一定会再次落到圆轨道上 D.O 点可能与D 点等高
答案:B
解: 由竖直面内圆周运动规律可知：小球既然能通过最高点则过最高点时速度不可能为零，其临界
速度为v=
,其中R 为光滑圆弧轨道的半径.由机械能守恒可得mgH=mg2R+
mv2，小球要通过
最高点D，至少应从H=
R 处开始下落，因此AD 错误；若小球刚好可以通过D 点，则离开D 点后
做平抛运动，当下落R 高度时，需要时间为t=
，其水平位移为s=vt=
,大于圆轨道的
半径，故小球一定不会落到圆轨道上，只能落在水平面AE 上，C 错误；B 正确.
3、如图所示，A、B 质量均为m，轻质小滑轮距光滑水平杆高度为H，开始时轻质细绳与杆夹角
α=45°.释放B 后，A、B 同时开始运动，小滑轮绕轴无摩擦转动.则在A、B 开始运动以后，说法正
确的是( )
A.A、B 速度同时达到最大值 B.轻质细绳一直对B 做负功
C.A 能获得的最大动能为（
-1）mgH D.B 将在竖直方向做简谐运动
答案:C
解: A 的速度最大，动能最大，此时B 的速度为零.由机械能守恒定律，
得：EK=mg(
-H)=(
-1)mgH.A 错C 对.当与A 连接的细绳运动越过竖直方向后，
轻质细绳对B 做正功，B 将在竖直方向做机械振动.但由于细绳拉力大小不与B 对其平衡位置位
移大小成正比，所以BD 均错.
4、 如图所示，物体沿30°的固定斜面以
g(g 为本地的重力加速度大小）的加速度匀减速上升，
则在此过程中，物体的机械能是( )
A.不变的 B.减小的 C.增加的 D.不能判断
答案:A
解: 由物体上升的加速度为
g，可知物体只受重力和支持力，支持力不做功，只有重力做功，所以
物体的机械能守恒，A 选项正确.
5、光滑水平地面上叠放着两个物体A 和B，如图所示，水平拉力F 作用在物体B 上，使A、B 两物体
从静止出发一起运动，经过时间t，撤去拉力F，再经过时间t，物体A、B 的动能分别设为EA和
EB，在运动过程中A、B 始终保持相对静止.以下有几个说法：
①EA+EB等于拉力F 做的功
②EA+EB小于拉力F 做的功
③EA等于撤去拉力F 前摩擦力对物体A 做的功
④EA大于撤去拉力F 前摩擦力对物体A 做的功其中正确的是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
答案:A
解: 由于A、B 之间始终相对静止，故A、B 之间没有相对运动，没有摩擦生热，所以拉力F 做的功全
部转化为A、B 的动能.物体A 获得的能量是在A、B 加速过程中静摩擦力对A 所做的功，故选项A
是正确的.
6、（多选）一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m 和2m 的小球A 和B.支架的两直角边长
度分别为2l 和l，支架可绕固定轴O 在竖直平面内无摩擦转动，如图所示.开始时OA 边处于水平位
置.由静止释放，则( )
A.A 球的最大速度为2
B.A 球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C.A 球的速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°
D.A、B 两球的最大速度之比vA:vB=2:1
答案:BCD
解:由机械能守恒可知，两球总重力势能最小时，动能最大，根据题意知两球的角速度相同，线速度
之比为vAvB=(ω·2l)(ω·l)=2:1，故选项B、D 是正确的.当OA 与竖直方向的夹角为θ 时，
由机械能守恒定律得：mg2lcosθ-2mgl （1-sinθ)=
×2mv +
mv 可得：v =
gl(sinθ+cosθ)-
gl 由数学知识知，当θ=45°时，sinθ+cosθ 有最大值，故选项C 是正确
的，选项A 错误的.
7、如图所示，在竖直平面内的直角坐标系中，一个质量为m 的质点在外力F 的作用下，从坐标原点
O 由静止开始沿直线O N 斜向下运动，直线O N 与y 轴负方向成θ 角（θ＜π/4).则F 大小至少为
_______；若F=mgtanθ，则质点机械能大小的变化情况是_____________.
答案:mgsinθ 机械能逐渐增加
8、如图所示，倾角为θ 的光滑斜面上放有两质量均为m 的小球A 和B，两球之间用一根长为L 的轻
杆相连，下面的小球B 离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械
能损失，且地面光滑，
求：（1）两球在光滑水平面上运动时的速度大小；（2）整个运动过程中杆对A 球所做的功.
答案:(1)v=
(2)W=-
mgLsinθ
解:（1）由于不计摩擦及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒.两球在光滑水平面
上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有2mg(h+
sinθ)=2×
mv2
解得v=
（2）因两球在光滑水平面上运动时的速度v 比B 球从高h 处自由滑下的速度
大，
增加的动能就是杆对B 做正功的结果.B 增加的动能为ΔEKB=
mv2-mgh=
mgLsinθ.
因为系统机械能守恒，所以杆对B 球做的功与杆对A 球做的功数值应该相等，
杆对B 球做正功，对A 球做负功，即杆对A 球做的功为W=-
mgLsinθ
9、如图所示，将A、B 两个砝码用细线相连，挂在定滑轮上，已知mA=0.2 kg,mB=0.05 kg.托起砝码
A 使其比砝码B 的位置高0.2 m，然后由静止释放，不计滑轮的质量和摩擦，当两砝码运动到同一
高度时，它们的速度大小为多少？
答案:1.1 m/s
解:AB 组成的系统只有重力做功，所以机械能守恒.选B 开始处的位置为重力势能参照面，
A 向下运动，B 向上运动，在同一高度时速度也相同，mgh=(mA+mB)g
+
(mB+mB)v2,
解得v=1.1 m/s
10、如图所示为荡秋千的示意图，最初人直立站在踏板上，两绳与竖直方向的夹角均为θ,人的重心
到悬点O 的距离为l1；从A 点向最低点B 运动的过程中，人由直立状态变为自然下蹲，在B 点人
的重心到悬点O 的距离为l2;在最低点处，人突然由下蹲状态变成直立状态（人的重心到悬点O
的距离恢复为l1），且保持该状态到最高点C.设人的质量为m，不计踏板和绳的质量，不计一切
摩擦和空气阻力.
求：（1）人第一次到达最低点B 还处于下蹲状态时，从身上掉下一件物品，问物品落地点到最低点
的距离为多少？假设人在最低点时离地面高度为h.
（2）人第一次到达最高点C 时，绳与竖直方向的夹角α 为多大？（可用反三角函数表示；解答
本问时不考虑超重和失重）
答案：（1）
（2）α=arccos(c osθ-
)
解:（1）人从A 点到B 点（还处于下蹲状态）的过程中，设B 点此时的速度为v
根据机械能守恒得mg(l2-l1cosθ)=
mv2物品落地的时间为t，有h=
gt2
物品落地点的水平位移x=vt 解得x=2
则该点离最低点B 的距离s=
=
（2）人从B 点保持直立状态到达C 点的过程中，
根据机械能守恒定律
mv2=mgl1(1-cosα)
解得α=arccos(cosθ-
)
提 高 练 习
1、如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个质量为m1=2m 的滑块（可看成质点），轻绳的一端系着
滑块绕过光滑的轻小定滑轮，另一端吊一个质量为m2=3m 的物块，小滑轮到竖直杆的距离为3d，
d=0.2m。开始时用T 形卡使滑块停在与定滑轮等高的位置上，现去掉T 形卡，求：当滑块m1下落
到绳子与竖直方向的夹角为
时，物块m2的速度大小。（g=10m/s2）。
答案：1.14m/s
解：设m1下落到绳子与竖直方向夹角为
时下落的高度为h1，速度为v1，此时m2上升高度为h2，
速度为v2，由系统机械能守恒得：m1gh1=m2gh2+
m1
+
m2
由几何关系得：h1=4d，h2=2d 速度关系为：v1cos
=v2
代入数据得：
2、如图所示，质量分别为3kg、5kg 的物体A 和B 用轻线连接跨在一定滑轮两侧，轻线正好拉直，且
A 物体靠近地面，B 距地面0.8m，问：
(1)放开B，当B 物体着地时，A 物体的速度是多少？ (2)B 着地后A 还能上升多高？
答案：（1）2m/s（2）0 2m
解：（1）据机械能守恒，B 减少的重力势能等于A 增加的重力势能与AB 的动能之和
即
，带入数据可得
（2）B 落地后，A 做竖直上抛运动，由
，可得
．
3、某人站在离地面h=10m 高处的平台上以速度v0=5m/s 水平抛出一个质量m=1kg 的小球，不计空气
阻力，g 取10m/s2．问： （1）人对小球做了多少功？ （2）小球落地时的速度为多大？
答案：（1）12.5J （2）15 m/s
解：（1）人对小球做的功等于小球获得的动能，所以：W=
mv0
2=12.5 J
（2）根据机械能守恒定律可知： mgh+
mv0
2=
mv2 所以：v=
m/s=15
m/s
4、如图所示，光滑斜面的倾角为
，顶端离地面高度为0.2m，质量相等的两个小球A、B，用恰好
等于斜面长的细绳子相连，使A 在斜面底端，现把B 稍许移出斜面，使它由静止开始沿斜面的竖直
边下落，求：
(1)当B 球刚落地时，A 球的速度；
(2)B 球落地时后，A 球还可沿斜面运动的距离（g=10m/s2）。
答案：(1)1m/s； (2)0.1m
解：(1)A、B 系统机械能守恒，设B 落地时的速度为v，小球A、B 的质量为m，
由机械能守恒定律得：mBgh-mAghsin30°=
(mA+mB)v2 代入数据解得
(2)B 落地后，A 以v 为初速度沿斜面匀减速上升，设A 还能沿斜面上升的距离为s，
由动能定理得：-mAgs∙sin30°=0-
mAv2 代入数据解得
5、如图8-3-28 所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m 的木块相连，放在光滑的
水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力F 缓慢拉木块，使木块前进l，求
这一过程中拉力对木块做了多少功。
解：缓慢拉动木块，可认为木块处于平衡状态，故拉力大小等于弹力大小，即
，因该力与位
移成正比，故可用平均力求功。
解：拉力对木块做功为：
m
F
8
3
28
图
