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第26 讲 卫星变轨问题 双星模型
核心考点
考点一 卫星的变轨和对接问题....................................................................................................1
考点二 双星或多星模型................................................................................................................8
考点三 星球“瓦解”问题 黑洞问题......................................................................................15
考点一 卫星的变轨和对接问题
1.卫星发射模型
人造卫星的发射过程一般要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做
匀速圆周运动，有G
Mm
r1
2 ＝mv
2
r1
。
(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G
Mm
r1
2 <mv A
2
r1
，卫星做离心运
动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在椭圆轨道B 点(远地点)，G
Mm
r2
2 >mvB
2
r2
，将做近心运动，再次点火加速，使G
Mm
r2
2 ＝mvB
'2
r2
，进入圆轨道Ⅲ。
2.变轨过程中几个物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别v1、v3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点速率
分别为vA、vB，在A 点加速，则vA>v1，在B 点加速，则v3>vB，又因为v1>v3，故有
vA>v1>v3>vB。
基础过关
(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，
卫星的加速度都相同。同理，经过B 点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径为r1、r2(半长轴)、
r3。由开普勒第三定律r
3
T
2＝k，可知有T1<T2<T3。
(4)机械能：卫星在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能守恒。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机
械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ、从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则
E1<E2<E3。
(5)引力势能：物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引
力势能为零，一个质量为m 的质点距质量为M 的引力源中心为r 时，其引力势能为Ep＝－
GMm
r
(G 为引力常量)。设卫星在A 点、B 点的引力势能分别为EpA、EpB，则EpA<EpB。
【例1】（2025·辽宁沈阳·二模）2024 年8 月22 日，中星4A 卫星顺利进入预定轨道，如图所
示为质量为
的中星4A 卫星发射变轨过程的简化示意图，其中轨道Ⅰ为近地圆形轨道，轨
道Ⅲ为距离地面高度为6R 的圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅱ与轨道Ⅰ和轨道Ⅲ分别相
切于P 点和Q 点。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响。
若取无穷远处引力势能为零，质量为m 的物体在距离地球球心为r 时的引力势能
（M 为地球的质量），下列说法正确的是（ ）
A．中星4A 卫星在轨道Ⅱ上经过P 点的速度大于经过Q 点的速度
B．中星4A 卫星在轨道Ⅲ上的动能为
C．中星4A 卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了
D．中星4A 卫星在轨道Ⅱ上运行的周期是在轨道Ⅲ上运行的周期的
【答案】ABC
【详解】A．根据开普勒第二定律可知，卫星在近地点（P 点）的速度大于在远地点（Q 点）
的速度，故A 正确；
B．在地球表面放一质量为m 的物体，有
卫星在轨道Ⅲ上，有
故动能
故B 正确；
C．卫星在轨道Ⅲ上的机械能
同理，在轨道Ⅰ上，有
动能
机械能
卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了
故C 正确；
D．轨道Ⅱ的半长轴
由开普勒第三定律有
解得
故D 错误。
故选ABC。
【例2】（2025·山东·二模）我国近地小行星防御系统能够监测、预警和应对近地天体的撞击，
展现了从被动预警到主动防御的科技跨越。如图所示，近地圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ相切于
点，椭圆轨道Ⅱ和同步轨道Ⅲ相切于
点。现有防御卫星在轨道Ⅰ处做匀速圆周运动，经变
轨后运行到同步轨道Ⅲ的
点拦截小行星进行干预，已知地球自转的角速度为
，防御卫星
在轨道Ⅰ和Ⅲ上运行的角速度为
和
，卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ和轨道Ⅱ上的
点、
点运行
的线速度分别为
、
、
、
。下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．卫星在轨道Ⅱ上从
点运动到
点过程中，机械能增大
D．卫星在轨道Ⅲ上从
点到
点的运动时间大于在轨道Ⅱ上从
点运动到
点运动时
间
【答案】D
【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动，由
解得
可知同步轨道的角速度
小于近地轨道的角速度
，而地球自转的角速度
和同步轨道的
角速度
相同，综合可知
故A 错误；
B．卫星绕地球做匀速圆周运动，由
解得
可知
，由于卫星在轨道I 的P 点需要点火加速到轨道II，则有
，同理在Q 点有
，综合可知
故B 错误；
C．卫星在轨道Ⅱ上从
点运动到
点过程中，机械能不变，故C 错误；
D．题图可知卫星在轨道III 的轨道半径大于在轨道II 的半长轴，根据开普勒第三定律易得卫
星在轨道III 的运行周期大于在轨道II 的运行周期，故卫星在轨道Ⅲ上从
点到
点的运动
时间大于在轨道Ⅱ上从
点运动到
点运动时间，故D 正确。
故选 D。
【例3】（2025·辽宁·三模）北京时间2025 年3 月26 日23 时55 分，西昌卫星发射中心长征
三号乙运载火箭点火起飞，天链二号04 星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。发射
可简化为如图所示过程，先将卫星发射到半径为r 的圆轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，卫星运动
到A 点时变轨进入椭圆轨道Ⅱ，运动到椭圆轨道Ⅱ的远地点B 时，再次变轨进入半径为2r 的
圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动。下列判断正确的是（ ）
A．卫星在轨道Ⅰ与轨道Ⅲ上运行的周期之比为
B．要实现从椭圆轨道B 处进入圆轨道Ⅲ，发动机需要向前喷气
C．卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于轨道Ⅲ上的机械能
D．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上与地心连线单位时间扫过的面积一定相等
【答案】A
【详解】A．卫星在轨道Ⅰ与轨道Ⅲ上运行过程，根据开普勒第三定律有
解得
故A 正确；
B．轨道Ⅱ相对于轨道Ⅲ是低轨道，由低轨道变轨到高轨道，需要在切点位置加速，即要实
现从椭圆轨道B 处进入圆轨道Ⅲ，发动机需要向后喷气，故B 错误；
C．结合上述可知，卫星由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ，需要先后在A 与B 位置加速，即卫星在轨
道Ⅰ上的机械能小于轨道Ⅲ上的机械能，故C 错误；
D．根据开普勒第二定律可知，在同一轨道上，卫星与地心连线在相等时间扫过的面积相等，
但在不同轨道上卫星与地心连线在相等时间扫过的面积不相等，即卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上
与地心连线单位时间扫过的面积不相等，故D 错误。
故选A。
【例4】（2025·浙江·二模）如图所示为嫦娥六号探测器登月的简化过程，探测器从地球表面
a 点发射至地月转移轨道，在b 点被月球捕获后沿椭圆轨道运动，进而在b 点变轨后沿近月圆
形轨道运动，则探测器（ ）
A．探测器被月球捕获后在椭圆轨道上经过b 点时应该加速才能进入圆形轨道
B．探测器在椭圆轨道上b 点的速度大于月球的第一宇宙速度
C．探测器在地月转移轨道上远离地球时的速度均大于7.9km/s
D．探测器在椭圆轨道上的周期小于圆形轨道上的周期
【答案】B
【详解】AB．探测器被月球捕获后在椭圆轨道上经过b 点时应该减速做向心运动才能进入近
月圆形轨道，而在近月圆轨道上的速度等于月球的第一宇宙速度，则探测器在椭圆轨道上b
点的速度大于月球的第一宇宙速度，选项A 错误，B 正确；
C．第一宇宙速度（7.9km/s）是发射飞行器的最小速度，故嫦娥三号发射后开始进入地月转
移轨道的速度大于7.9km/s；嫦娥三号在地月转移轨道上逐渐远离地球的过程中，开始阶段地
球引力大于月球的引力，则引力的合力做负功，故速度变小；接近月球时，月球引力大于地
球引力，引力的合力做正功，则速度增加，则探测器在地月转移轨道上远离地球时的速度不
一定均大于7.9km/s；故C 错误；
D．根据开普勒第三定律可知，探测器在椭圆轨道上的长半轴大于圆形轨道上的运动半径，
可知探测器在椭圆轨道上的周期大于圆形轨道上的周期，选项D 错误。
故选B。
【例5】（2025·江西·模拟预测）天问一号探测器绕火星从椭圆轨道变轨到圆轨道的示意图如
图所示，两轨道相切于P 点，Q 为圆轨道上的另一点，M 点是椭圆轨道上的远火点，下列说
法正确的是（ ）
A．探测器在经过Q 点时的加速度大于经过M 点时的加速度
B．探测器在经过Q 点时的机械能大于经过M 点时的机械能
C．探测器在经过Q 点时的速度大于经过M 点时的速度
D．探测器在椭圆轨道与圆轨道上单位时间内扫过的面积相等
【答案】AC
【详解】A．
点距火星较近，探测器在
点受到的引力大于在
点受到的引力，故A 正确；
B．轨道越高发动机对探测器做功越多，故探测器在椭圆轨道上的机械能大于在圆轨道上的
机械能，故B 错误；
C．假设探测器在经过
点时的圆轨道上运动的线速度大小为
，根据变轨原理可知
根据
解得
又因为M 点的圆周轨道半径Q 点圆轨道半径，可知有
综合可知
故C 正确；
D．根据开普勒第二定律可知，探测器在不同轨道上单位时间内扫过的面积不相等，故D 错
误。
故选AC。
1．卫星的两类变轨问题
两类变轨
离心运动
近心运动
示意图
精讲考点
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
万有引力与向心
力的大小关系
G<m
G>m
变轨结果
转变为椭圆轨道运动或在较大
半径圆轨道上运动
转变为椭圆轨道运动或在较
小半径圆轨道上运动
新圆轨道上运动的速率比原轨
道的小，周期比原轨道的大
新圆轨道上运动的速率比原
轨道的大，周期比原轨道的
小
动能减小、势能增大、机械能
增大
动能增大，势能减小、机械
能减小
2．卫星的对接问题
在低轨道运行的卫星，加速后可以与高轨道的卫星对接。同一轨道的卫星，不论加速或
减速都不能对接。
3．变轨过程各物理量比较
速度关系
在A 点加速：v ⅡA>v Ⅰ，在B 点加速：
v Ⅲ>v ⅡB，即v ⅡA>v Ⅰ>v Ⅲ>v ⅡB
(向心)加速
度关系
由a＝＝判断加速度
a Ⅲ＝a ⅡB a ⅡA＝a Ⅰ
周期关系
由开普勒第三定律判断周期关系
T Ⅰ<T Ⅱ<T Ⅲ
机械能
由机械能的变化量等于除重力之外的其他力
做的功判断机械能的关系为E Ⅰ<E Ⅱ<E Ⅲ
考点二 双星或多星模型
1.双星模型
(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
基础过关
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
G m1m2
L
2
＝m1ω1
2r1，
G m1m2
L
2
＝m2ω2
2r2。
②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1＋r2＝L。
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度
或周期相同。常见的多星模型及其规律：
常
见
的
三
星
模
型
①G m
2
(2 R)
2 ＋GMm
R
2 ＝ma 向
②Gm
2
L
2 ×cos 30°×2＝ma 向
常
见
的
四
星
模
型
①Gm
2
L
2 ×cos 45°×2＋G m
2
(❑√2 L)
2＝ma 向
②Gm
2
L
2 ×cos 30°×2＋
GMm
( L
❑√3 )
2＝ma 向
【例6】（2025·天津·一模）近似计算地月系统时可以认为月球绕着地球做匀速圆周运动，如
图甲所示，月球绕地球运动的周期为
。为了更精准测量地月系统，认为地月系统是一个双
星系统，如图乙所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做匀速圆周运动，月
球绕O 点运动的周期为
。若地球、月球质量分别为m 地、m 月，两球心相距为r，地球半径
为R，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．图甲中，地球的密度可表示为
B．图甲中月球绕地球运动的周期
等于图乙中月球绕O 点运动的周期
C．图乙中地月双星轨道中O 点到地心距离为
D．图乙中地月双星转动的角速度与地月质量之和成正比
【答案】C
【详解】A．图甲中，根据万有引力提供向心力
设地球的半径为R，地球的体积为
图甲中，地球密度为
故A 错误；
BCD．根据万有引力提供向心力
解得图甲中月球绕地球运动的周期为
地月系统是一个双星系统，设地月双星轨道中O 点到地心距离为
，地月双星轨道中O 点到
月球圆心距离为
，则
可得
且
解得
、
、
则
可知图甲月球绕地球运动的周期
大于图（b）中月球绕O 点运动的周期
，故BD 错误，C
正确。
故选C。
【例7】（2025·湖南娄底·二模）2025 年3 月12 日，澳大利亚悉尼大学的伊里斯·德·鲁伊特带
领团队终于解开了一个自去年被发现以来一直困扰着他们的神秘重复无线电信号之谜。经过
深入研究，研究团队将这一信号追踪至一个奇特的双星系统，该系统包含一颗白矮星和一颗
红矮星伴星，设白矮星质量为m1，，红矮星质量为m2 ，两个星体质量分布均匀且二者之间
的距离为L，万有引力常量为G，不计其他星球的影响，下列说法正确的是（ ）
A．白矮星与红矮星的向心力相同
B．白矮星与红矮星的线速度大小之比为
C．白矮星的角速度大小为
D．白矮星与红矮星的动量大小之比为
【答案】C
【详解】A．白矮星和红矮星的向心力由万有引力提供，大小相等，方向相反，故A 错误；
B．白矮星与红矮星可以看做角速度相等，由于
则
根据
可以得到
因此
故B 错误；
C．根据
整理可得
两式相加，则解出
故C 正确；
D．根据动量的公式
则
则动量大小之比为
故D 错误。
故选C。
【例8】（2025·广东茂名·模拟预测）2024 年9 月10 日，中国科学院国家天文台等团队发现
了双星系统G3425 中一颗是质量为太阳质量的3.6 倍的小质量黑洞，同时观测到该双星系统
中的另一颗是质量为太阳质量的2.7 倍的红巨星。关于双星系统G3425，下列说法正确的是（
）
A．小质量黑洞所受的合外力大于红巨星所受的合外力
B．小质量黑洞与红巨星的向心加速度大小之比为
C．小质量黑洞与红巨星的轨道半径之比为
D．小质量黑洞与红巨星的线速度大小之比为
【答案】BD
【详解】设小质量黑洞和红巨星的质量分别为m1和m2，双星系统的角速度相等，则根据
可得小质量黑洞所受的合外力等于红巨星所受的合外力，且
根据
可得
根据
可得
故选BD。
【例9】（2025·甘肃·模拟预测）如图所示的“三星”系统，三星A、B、C 质量均为
，位
置连线构成等边三角形，三角形边长为
，三星绕共同圆心
做匀速圆周运动，不考虑其他
星体影响，万有引力常量为
，则（ ）
A．A、B、C 向心加速度相同
B．A 受B 的引力大小等于A 的向心力大小
C．A 受C 引力大小等于A 向心力大小的
D．A 所需向心力大小为
【答案】D
【详解】A．A、B、C 的向心加速度大小相等，但方向不同，故A 错误；
BCD．A 受B 的引力大小为
A 受C 的引力大小为
A 受到B 的引力和C 的引力合力提供A 所需的向心力，则有
，故BC 错误，D 正确。
故选D。
【例10】（2025·河南·模拟预测）随着人类对太空的不断探索，发现大空中存在如图所示的
三星系统，三颗质量均为m 的星体位于正三角形的三个顶点，三颗星体环绕正三角形的中心
做匀速圆周运动，理论上其环绕周期为T，通过测量实际上环绕周期为
，造成这一现象的
原因可能是中心O 处存在一未知天体，忽略其他星系的影响，引力常量为G。下列说法正确
的是（ ）
A．理论上，正三角形的边长为
B．理论上，三颗星体的线速度大小为
C．理论上，三颗星体的加速度大小为
D．中心O 处未知天体的质量为
【答案】A
【详解】A．理论上，以其中一颗星体为对象，根据牛顿第二定律可得
根据几何关系可知，星体的轨道半径为
联立解得正三角形的边长为
故A 正确；
B．理论上，三颗星体的线速度大小为
故B 错误；
C．理论上，三颗星体的加速度大小为
故C 错误；
D．设中心O 处未知天体的质量为
，以其中一颗星体为对象，根据牛顿第二定律可得
联立解得
故D 错误。
故选A。
1.解决双星、多星问题，要抓住四点
(1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计
算万有引力和向心力。
考点三 星球“瓦解”问题 黑洞问题
1.星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会
“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰
好提供向心力，即GMm
R
2 ＝mω2R，得ω＝❑√
GM
R
3 。当ω>❑√
GM
R
3 时，星球瓦解，当ω<❑√
GM
R
3 时，
星球稳定运行。
2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞
运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的❑√2
倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
【例11】（24-25 高三下·甘肃·期中）任何具有质量的物质压缩到一定的体积后都会形成一个
黑洞，此时它的第二宇宙速度等于光速。已知引力常量
，光速
，第二宇宙速度为第一宇宙速度的
倍。如果把一个成年人“压缩”成为球
精讲考点
基础过关
形黑洞，该黑洞半径的数量级约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】“被压缩”后的成年人成为球形黑洞，根据万有引力定律
此黑洞的第一宇宙速度有
第一宇宙速度与光速关系为
成年人的质量约
，代入数据解得
ABD 错误，C 正确。
故选C。
【例12】（24-25 高三下·重庆·开学考试）史瓦西半径是任何有质量的物质都存在的一个临界
半径，该半径的含义是：该物质被压缩到此半径时，就成为一个黑洞，即它的逃逸速度等于
光速c、已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的
倍，该星球半径R=6400km，表面重
力加速度g 取10m/s²，光速
，不考虑星球的自转，则该星球的史瓦西半径约
为（ ）
A．6 毫米
B．9 毫米
C．6 米
D．9 米
【答案】B
【详解】对该星球，有
且由黄金代换公式，有
联立得史瓦西半径
，即9 毫米。
故选B
【例13】（2025·安徽芜湖·二模）2025 年2 月28 日，国际顶级学术期刊《自然天文学》发
表了安徽师范大学物理与电子信息学院舒新文教授研究团队的一项重大科研成果。该团队发
现了中等质量黑洞吞噬恒星发出的X 射线准周期振荡信号，这是天体物理学家在世界上首次
发现该类现象，提供了宇宙中存在中等质量黑洞的关键证据。黑洞是一个非常致密的天体，
会形成强大的引力场，连光也无法逃脱。某黑洞中心天体的质量是太阳的50 亿倍，太阳质量
为
，光在真空中的传播速度
，引力常量
，
第二宇宙速度是第一宇宙速度的
倍，请估算该黑洞最大半径的数量级为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设“黑洞”的可能半径为R，质量为M，根据逃逸速度（第二宇宙速度）的定义，
结合第一宇宙速度可知，须满足
即有
所以“黑洞”的可能最大半径
故选D。
【例14】（2025·陕西安康·模拟预测）近期，天文学家发现距离地球最近的黑洞“盖亚黑洞
1”，其附近有一颗质量与太阳相当的恒星，该恒星距离黑洞约1.5AU（1AU 为太阳到地球的
平均距离）。两者组成“双星”系统，绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，绕
转周期约为半年。据此可估算出该黑洞质量约为太阳质量的（ ）
A．1.2 倍
B．12 倍
C．120 倍
D．1200 倍
【答案】B
【详解】设恒星和黑洞的质量分别为m1和m2，对恒星于黑洞组成“双星”系统，
解得
对地球绕太阳运转
解得太阳的质量
恒星质量与太阳质量相当，即M=m1，则该黑洞质量与太阳质量之比
故选B。
【例15】（2025·江西鹰潭·二模）依托我国自主研制的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜，
我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞LB-1。这个黑洞与一颗恒星形成了一
个双星系统，黑洞和恒星都绕二者的质量中心做圆周运动，恒星的质量约为
，恒星距黑
洞的距离约为
，恒星做圆周运动的周期约为0.25T，
为太阳的质量、
为日地距离，
为地球绕太阳的运动周期，由此估算该黑洞的质量约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设该黑洞的质量为
，其轨道半径
，恒星的质量为
，其轨道半径
，两者相
距为L，运动周期为
，黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，根据万有引力提供向心力有
因为
联立解得
地球绕太阳做匀速圆周运动，设地球质量为m，根据万有引力提供向心力
解得
由题意知
，
，
联立解得该黑洞的质量为
故选 A。
