文档文本内容
第 03 讲 组合与组合数
目 录
思维导图........................................................................................................................................................................1
高考分析........................................................................................................................................................................2
学习目标........................................................................................................................................................................2
知识要点........................................................................................................................................................................2
解题策略........................................................................................................................................................................7
题型归纳........................................................................................................................................................................8
题型01：组合的概念.............................................................................................................................................8
题型02：排列与组合的区别................................................................................................................................10
题型03：组合数.................................................................................................................................................12
（一）组合数的简单计算.............................................................................................................................12
（二)利用组合数公式证明............................................................................................................................14
(三）组合数方程和不等式........................................................................................................................15
题型04：组合数的性质.......................................................................................................................................16
题型05：组合的简单应用...................................................................................................................................17
题型06：有限制条件的组合问题.........................................................................................................................20
题型07：代数中的组合问题................................................................................................................................21
题型08：几何中的组合问题................................................................................................................................22
题型09：分组分配问题.......................................................................................................................................25
题型10: 相同对象的分配问题（x+y+z=n）（隔板法）....................................................................................25
题型11: 其他组合问题........................................................................................................................................28
题型12：排列与组合的综合问题.........................................................................................................................30
巩固提升.....................................................................................................................................................................32一、高考考情分析
1.分值与题型：多为选择/填空（4-5分），全国卷与新高考卷稳定出现；偶与概率、二项式定理等结合进入
解答题，难度中低，是基础必得分点。
2.核心考点：①组合数公式与性质（②有限制条件组合（含特殊元素、分组分配、相邻/不相邻）；③与概
率、统计、二项式定理综合应用；④实际情境建模（如分组、选代表、抽取样本）。
3.命题趋势：突出数学运算、逻辑推理素养，强调实际问题转化；新高考更注重与其他模块融合，考查知识
迁移与应用能力。
4.难度分布：基础题（公式与性质直接应用）、中档题（有限制条件组合）、难题（综合概率/统计/二项式
等）。
1. 理解组合定义，明确无序性是与排列的核心区别。
2. 熟练掌握组合数公式（阶乘/连乘形式）与2个核心性质，能快速化简计算。
3. 掌握分类加法、分步乘法计数原理，解决有限制条件的组合问题。
4. 能将实际问题转化为组合模型，与概率、二项式定理等综合解题。
5. 提升逻辑推理、数学运算、数学建模三大核心素养。
知识点一：组合
1.定 义：从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组
合．
2.组合数：从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意
取出m个元素的组合数，用符号Cm
表示．
n
n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1) n!
组合数公式：Cm= = ，m,n∈N ，并且m≤n．
n m! m!(n−m)! +组合数的两个性质：
①Cm=Cn−m ；②Cm =Cm+Cm−1 ．（规定C0=1）
n n n+1 n n n
3.组合数公式推导
求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ；
第二步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ；
根据分步计数原理，得到 ；
因此 ．
这里 ， ，且 ，这个公式叫做组合数公式．因为 ，所以组合数公式还可表示为：
．特例： ．
对于组合数的第一个公式C＝＝，它体现了组合数与相应排列数的关系，当n确定而m变化时，组合数与
m是一种函数关系，一般在计算具体的组合数时，常用此公式。
第二个公式C＝的主要作用有：当m，n较大时，利用此公式计算组合数较为简便；对含有字母的组合数的式子
进行变形和证明时，常用此公式。
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取
后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式 常用于具体数字计算，
常用于含字母算式的化简或证明．
4.组合应用题的常见题型：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
知识点二:排列和组合的区别
组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是
否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基
础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．
排列数公式
n！
=
n(n−1)⋯(n−m+1)
=
(n−m)！
.( ， ∈N*，且 )．注:规定
0!=1
.
组合数公式
n(n−1)⋯(n−m+1) n！
C
n
m
= =
1×2×⋯×m
=
m！⋅(n−m)！
( ∈N*， ，且 ).
排列数与组合数的关系
.
知识点三：单条件排列
以下各条的大前提是从 个元素中取 个元素的排列.
1.“在位”与“不在位”
Am−1
①某（特）元必在某位有 n−1种；
Am −Am−1 =A1 Am−1 =Am +A1 Am−1
②某（特）元不在某位有 n n−1（补集思想） n−1 n−1（着眼位置） n−1 m−1 n−1（着眼元
素）种.
2.紧贴与插空（即相邻与不相邻）
k(k≤m≤n)
AkAm−k
①定位紧贴： 个元在固定位的排列有 k n−k 种.
An−k+1Ak
②浮动紧贴： 个元素的全排列把k个元排在一起的排法有 n−k+1 k种.注：此类问题常用捆绑法；
k≤h+1
③插空：两组元素分别有k、h个（ ），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所
AhAk
有排列数有 h h+1种.
3.两组元素各相同的插空
个大球 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
An
m+1 =Cn
n>m+1 n≤m+1
An m+1
当 时，无解；当 时，有 n 种排法.
Cn
4.两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为 m+n.
知识点四：分配问题
1.(平均分组有归属问题)将相异的 、 个物件等分给 个人，各得 件，其分配方法数共有
(mn)!
N=Cn ⋅Cn ⋅Cn ⋅⋯⋅Cn ⋅Cn
=
mn mn−n mn−2n 2n n (n!) m
.
2.(平均分组无归属问题)将相异的 · 个物体等分为无记号或无顺序的 堆，其分配方法数共有
N=
C
m
n
n
⋅C
m
n
n−n
⋅C
m
n
n−2n
...⋅C
2
n
n
⋅C
n
n
=
(mn)!
m! m!(n!) m
.
知识点五：排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组
合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法。知识点六：排列与组合解题的常用方法
1.特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2.分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，
不重不漏．
3.排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4.捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再
给那“一捆元素”内部排列．
5.插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6.插板法：n个相同元素，分成m(m≤n)组，每组至少一个的分组问题——把n个元素排成一排，从n−1
个空中选m−1个空，各插一个隔板，有Cm−1
．
n−1
7.分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆
（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m！
8.错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子
的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n=2，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、
7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．
知识点七：常考问题以及解题途径与策略
1.排列与组合应用题解题三种途径：
元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先
把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析
题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．
2.具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；
⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．3.分组问题的求解策略
(1)非均匀不编号分组：将n个不同对象分成m(m≤n)组，每组对象数目均不相等，依次记为m1，m2，…，
mm，不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数N= · · ·…·
.
(2)均匀不编号分组：将n个不同对象分成不编号的m(m≤n)组，假定其中r组对象个数相等，不管是否分尽，
其分法种数为 (其中N为非均匀不编号分组中的分法种
数). 若再有k组均匀分组，则应再除以 .
(3)非均匀编号分组：将n个不同对象分成m(m≤n)组，各组对象数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分
法种数为N· (其中 为非均匀不编号分组中的分法种数).
(4)均匀编号分组：将n个不同对象分成m(m≤n)组，其中r组对象个数相等且考虑各组间的顺序，其分法种
数为 · (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).
4.相同对象分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，那么可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔
板，相邻两块隔板形成一个“盒”. 每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称为隔
板法. 隔板法专门用于解决相同对象的分配问题.
(2)将n个相同的物品分给m个不同的对象(n≥m)，有 种方法. 可理解为(n-1)个
空中插入(m-1)块隔板.
知识点八：解决排列组合综合问题的一般过程
1、认真审题，确定要做什么事；
2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；
3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；
4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．
例：如图，在圆中，将圆分 等份得到 个区域 ， ， ， ， ，现取 种颜色对这
个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有 种．M M
... 3 2
M
1
...
M
... n
M
n-1
错位排列公式
数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
1.解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某
元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排
特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．
2.定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制
的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
3、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置
上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一
起排列，共有 种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有 种排法．根据分步乘
法计数原理可知，符合条件的排法共有 种．
4、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将 个不同元素排成一排，其中某 个元素互不相邻（
），求不同排法种数的方法是：先将（ ）个元素排成一排，共有 种排法；然后把 个元素插入 个空隙中，共有 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有 · 种．
1.
基础公式与性质：优先用Cm=Cn−m ；简化计算；Cm =Cm+Cm−1 ．转化复杂组合数；注意C0=1与定
n n n+1 n n n
义域n≥m≥0，n,m∈N*。
2. 有限制条件组合：①特殊元素/位置优先法；②相邻/不相邻用捆绑/插空；③分组分配先分堆再排序（平
均分组需除序）；④正难则反，用总组合数减不符合条件组合数。
3.综合问题：与概率结合先算组合数再求古典概型；与二项式定理结合用组合数求特定项系数、系数和；与
统计结合用于样本抽取、数据分类计数。
4. 易错点规避：区分有序/无序（判断组合还是排列）；平均分组必须除序；分类不重不漏、分步层次清晰；
实际问题先明确“取出元素是否与顺序有关”。
备考建议
1. 夯实基础：背熟公式与性质，每日10道基础计算小题练速度与准确率。
2. 题型专项：分类突破“特殊元素、分组分配、正难则反”等典型题型，总结通法。
3. 综合训练：做近5年高考真题，重点练组合与概率、二项式的综合题。
4. 错题复盘：标注“概念混淆（排列/组合）、计算失误、分类遗漏”等错误类型，针对性补漏。
题型01：组合的概念
【典型例题1】下列问题是组合问题的是（ ）
A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本
B．从7本不同的书中取出5本给某个同学
C．10个人相互发一微信，共发几次微信
D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话【答案】BD
【解析】利用组合的定义判断.
A.因为书不同，每个同学拿到的也不同，与顺序有关，故不是组合问题；
B.从7本不同的书中取出5本给某个同学，每种取法中取出的书不考虑顺序，故是组合问题；
C. 10个人相互发一微信，与顺序有关，故不是组合问题；
D. 因为互相通一次电话与顺序无关，故是组合问题；
故选：BD
【典型例题2】给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）
A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数
B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1，2，3组成两位数的不同方法数
D．由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数
【答案】AB
【解析】要判断是不是组合问题，关键是注意区分组合问题与排列问题，只选不排为组合，既选又排为排列，即
看问题中需不需要考虑顺序，而对于一些没有明显的表明排序的字词时，我们可以改变所选元素的顺序，如果得
到的新组合与旧组合在问题中是两个不同的组合，则是排列问题，反之，如果新组合与旧组合在问题中是一样的
组合，则为组合问题.
A选项中集合的元素可以是无序的，即：集合 与集合 是相同的集合，故A选项为组合问题；
B选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，
例如：1队2队，1队3队，1队4队，1队5队，2队3队，2队4队，2队5队，3队4队，3队5队，4队
5队，故B选项为组合问题；
C选项中如选1，2两个数字，则有两位数12，或者两位数21，很明显21和12是满足要求的两个不同的组合，
为排列问题；
如选重复数字组成的两位数，11、22、33，则不需要考虑顺序，为组合问题，故C选项中既有排列也有组合；
D选项与C选项类似，故D选项为排列问题.故选：AB.
【典型例题3】平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线.
(1)试写出以其中任意两个点为端点的有向线段；
(2)试写出以其中任意两个点为端点的线段；
(3)试写出以其中任意三点为顶点的三角形.
【答案】见解析
【解析】(1)以其中任意两个点为端点的有向线段为一个排列问题，共有有向线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.
(2)以其中任意两个点为端点的线段为一个组合问题，
共有线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD.
(3)以其中任意三点为顶点的三角形是一个组合问题，共有△ABC，△ABD，△BCD.
【典型例题4】给出三个事件：①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种不同的分法？
②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？③10
人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？其中是组合问题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，与顺序无关，
所以为组合问题.
②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数
只需选出3个数字，选出后顺序固定，不需要排序，所以为组合问题.
③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，因为两人之间只握手一次即可，
所以该问题与顺序无关，是组合问题.
所以①②③均与顺序无关，所以都是组合问题.故选：D
【变式训练1-1】(多选)下列问题属于组合问题的是（ ）
A．从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作
B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长､副班长和学习委员
【变式训练1-2】在下列问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？
(1)从a，b，c，d这4名学生中选出2名学生，有多少种不同的选法？
(2)从a，b，c，d这4名学生中选出2名学生完成2件不同的工作，有多少种不同的选法？
(3)a，b，c，d这4支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
(4)a，b，c，d这4支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
【变式训练1-3】给出下列问题：
①从甲､乙､丙 名同学中选出 名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
②有 张电影票，要在 人中确定 人去观看，有多少种不同的选法？
③某人射击 枪，击中 枪，且命中的 枪均为 枪连中，则不同的结果有多少种？
其中属于组合问题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】(多选题)某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天
只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有（ ）
A．共有90种安排方法B．甲连续两天值班的安排方法有30种
C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种
D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种
题型02：排列与组合的区别
【典型例题1】判断正误（正确的写正确，错误的写错误）
（1）两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．( )
（2）从a，a，a三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为 .( )
1 2 3
（3）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，求有多少种不同的选法是组合问题．(
)
（4）把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且必须分完，求有多少种分法是排列问题.(
)
【答案】 正确 正确 错误 错误
【解析】根据组合的含义和组合数的公式进行判断.
（1）因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
（2）由组合数的定义可知正确．
（3）因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．
（4）由于4张票是相同的，故相当于从5人中选4人的组合问题．
故答案为：正确；正确；错误；错误.
【典型例题2】判断下列问题是排列问题还是组合问题．
(1)设集合 ，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？
(2)某高铁线上有5个车站，则这条高铁线上共需准备多少种二等座车票？有多少种不同的二等座火车票价？
（往返票价一致）
(3)从2，3，5，7，9中任取两个不同的数做乘法，其结果有多少种？若任取两个不同的数做除法，其结果有多
少种？
【答案】(1)组合问题
(2)车牌属于排列问题，票价属于组合问题
(3)做乘法属于组合问题，做除法属于排列问题
【解析】（1）从集合中元素的性质得到答案；（2）分析有无顺序问题，从而作出判断；
（3）乘法满足交换律，除法不满足交换律，从而作出判断.
（1）子集中元素具有无序性，故属于组合问题；
（2）二等座车票上出发地和目的地有顺序，故属于排列问题，
二等座火车票价（往返票价一致），无顺序问题，为组合问题
（3）因为 互质，所以两两之间的积与商都不一致，
而乘法满足交换律，故做乘法属于组合问题，
除法不满足交换律，故做除法属于排列问题.
【变式训练2-1】（1）写出从 ， ， ， ， 五个元素中任取两个不同元素的所有组合；
（2）写出从 ， ， ， ， 五个元素中任取两个不同元素的所有排列．
【变式训练2-2】（判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：
(1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；
(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；
(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．
从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；
(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．
【变式训练2-3】（判断下列问题是组合问题还是排列问题，并用组合数或排列数表示出来．
(1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？
(2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？
(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票
价？
【变式训练2-4】（判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？题型03：组合数
（一）组合数的简单计算
【典型例题1】 （ ）
A．56 B．32 C．50 D．48
【答案】A
【解析】根据排列数和组合数的公式计算即可.
.故选：A.
【典型例题2】 （ ）
A．35 B．56 C．70 D．84
【答案】A
【解析】根据组合数性质化简，再应用组合数公式计算即可.
,
,
.故选：A.
【典型例题3】（多选） （ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】 .故选：CD．
有以下两种思路：
思考一：可以由组合数公式 结合 直接计算.
或思路二：由公式 递推下去最后由组合数公式计算也可以.
我们用以下两种方法来解决此题：
方法一：一方面：由公式 可知， ；
另一方面：有 .
结合以上两方面可知 .
方法二：
一方面：由公式 可知 ；
另一方面：由 结合 有 .
结合以上两方面可知 .
【变式训练3-1-1】计算：(1) ；(2) ；(3) .
【变式训练3-1-2】设n为正整数，求值：
(1) ；
(2) ．
【变式训练3-1-3】若A＝120C，则n＝________.
【变式训练3-1-4】求值：
(1)3C－2C；
(2)已知－＝，求C.
【变式训练3-1-5】设 ，则 ______．
【变式训练3-1-6】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
（二)利用组合数公式证明
【典型例题1】下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 ，故A错误；
，C正确；
，B正确；
，D正确.故选：A.
【典型例题2】利用组合数公式证明 ．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为 ，
，
所以 ．
【典型例题3】求证： .
【答案】证明见解析
【解析】 ，
所以等式成立.
【变式训练3-2-1】（多选）下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2-2】（多选）对于 关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2-3】求证：C＝C＋2C＋C.
【变式训练3-2-4】已知m是自然数，n是正整数，且 ．求证：(1) ；
(2) ．
【变式训练3-2-5】m是自然数，n为正整数，且 ，求证： ．
【变式训练3-2-6】规定 ，其中 ， 是正整数，且 ，这是组合数 （ 、
是正整数，且 ）的一种推广．
(1)求 的值．
(2)组合数的两个性质：① ；② 是否都能推广到 （ ， 是正整数）的情形？
若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数 是正整数，证明：当 ， 是正整数时， ．
【变式训练3-2-7】证明下列各等式．
(1) ＝ ；
(2) .
(三）组合数方程和不等式
【典型例题1】已知 ，则 可能取值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】利用组合数的性质可得出关于实数 的等式，解之即可.
因为 ，则 或 ，解得 或 .故选：D.
【典型例题2】不等式 的解为 ．【答案】
【解析】根据组合数的计算公式化简已知不等式，从而求得不等式的解.
依题意 ，所以 且 ，
由 得 ，
，
所以不等式的解为 .故答案为：
【变式训练3-3-1】若 ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练3-3-2】若整数 满足 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或3
【变式训练3-3-3】若 ，则实数x的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．2或6
【变式训练3-3-4】已知 ，则 ___________.
【变式训练3-3-5】若 ，则x的值为_______
【变式训练3-3-6】关于n的不等式 的解集为______．
【变式训练3-3-7】解关于正整数x的方程：
(1) ；
(2) ．
【变式训练3-3-8】若 ，求m.
题型04：组合数的性质
【典型例题】若 ,则 的值是 .（用数字作答）【答案】
【解析】先根据 求出 的值,再利用 和 逐个相加求解即可.
因为 ,且 ,根据 ,
得 ,解得 ,
又 , ,
则
.
故答案为: .
【变式训练4-1】若 ，则正整数 ．
【变式训练4-2】 （ ）
C3
A． B． C． D． 11
题型05：组合的简单应用
【典型例题1】2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五
个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部
门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【答案】B
【解析】分成恰有2个部门所选的旅游地相同、4个部门所选的旅游地全不相同两类，再应用分步计数及排列、
组合数求至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数.
①恰有2个部门所选的旅游地相同，
第一步，先将选相同的2个部门取出，有 种；第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有 种，
根据分步计数原理可得，方法有 种；
②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有 种，
根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有
种．故选：B
【典型例题2】某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，
会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A．15 B．30 C．35 D．42
【答案】B
【解析】由甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法、不含有甲的选法，根据分类计数原理得到结果．
由于甲有两个人参加会议需要分两类：含有甲的选法有 种，不含有甲的选法有 种，共有
种.
故选：B
【典型例题3】现有红色、黄色、蓝色的小球各4个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球，若这3
个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有（ ）
A．160种 B．220种 C．256种 D．472种
【答案】A
【解析】分取出的球中有1个红球、取出的球中有2个红球两种情况计算即可.
若取出的球中有1个红球，不同的取法有 种；
若取出的球中有2个红球，不同的取法有 种.
故不同取法有 种.故选：A.
【典型例题4】某学校为了解学生参加体育活动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中
部和高中部两层共抽取80名学生，已知该校初中部和高中部分别有250名和150名学生，则不同的抽样结果
共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】A【解析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案．
根据分层抽样的定义知初中部共抽取 人，高中部共抽取 人，
根据组合公式和分布计数原理则不同的抽样结果共有 种故选：A．
【变式训练5-1】某医院住院部现有5个空床位，有3名儿童，4名老人需要住院治疗，如果安排2名儿童，3
名老人入住，则不同的安排方式有（ ）
A．1260种 B．1440种 C．2400种 D．2520种
【变式训练5-2】（多选）将12支完全相同的圆珠笔分给4位小朋友.（ ）
A．若每位小朋友至少分得1支，则有 种分法
B．若每位小朋友至少分得1支，则有C3
种分法
11
C．若每位小朋友至少分得2支，则有 种分法
D．若每位小朋友至少分得2支，则有 种分法
【变式训练5-3】没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到
A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有
（ ）
A．1176 B．2352 C．1722 D．1302
【变式训练5-4】某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须
在内，那么不同的选法共有( )
A．21种 B．35种 C．26种 D．84种
【变式训练5-5】（多选）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选
考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若政治必须选，选法总数为
【变式训练5-6】（多选）一个口袋内装有7个白球和1个黑球，下列说法正确的有（ ）
A. 从口袋内取出3个球，共有56种取法
B. 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有21种取法
C. 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有35种取法
D.ABC有且只有2个说法正确。
【变式训练5-7】（多选）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）
A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
D．如果4人中至少有一名女生，那么有195种不同的选法
【变式训练5-8】某校举办校运动会，需从某班级3名男同学4名女同学中选出3名志愿者，选出的3人中男女
同学都有的概率为 .
【变式训练5-9】某旅行社有导游 人，其中有 人会英语，有 人会日语。现在需要选 名英语导游和 名日语
导游，完成一项导游任务，则不同的选择方法为 .
【变式训练5-10】已知关于 的三元一次方程 ，且 ，则该方程有__________组正
整数解.
【变式训练5-11】（1）以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个？
（2）以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个？
（3）以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个？
【变式训练5-12】一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规
则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
【变式训练5-13】一个口袋内装有7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
【变式训练5-14】课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5
人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选。
【变式训练5-15】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?
(3)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种?
(4)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?
题型06：有限制条件的组合问题
【典型例题1】某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天午餐不同的搭配方法共有(
)
A．210种 B．420种 C．56种 D．22种
【答案】A
【解析】由分类加法计数原理知，两类午餐的搭配方法之和即为所求，所以每天午餐的不同搭配方法共有CC＋
CC＝210(种)．
【典型例题2】课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人
主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
【答案】见解析
【解析】(1)C－C＝825(种)．
(2)至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，
所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法．
(3)分两类：
第一类：女队长当选，有C＝495(种)选法；
第二类：女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法，
所以共有495＋295＝790(种)选法．
【变式训练6-1】 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列
条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
【变式训练6-2】 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：
(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？
(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？
题型07：代数中的组合问题
【典型例题1】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个
数为( )A.300 B.216 C.180 D.162
【答案】C
【解析】依题意知，可以分两类：
第一类，不取0，从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为CA＝
72.
第二类：取数字0，取2和4中一个数字，再取2个奇数，组成无重复数字的四位数有CCCA＝108(个).
由分类加法计数原理，组成没有重复数字的四位数共有72＋108＝180(个).
【典型例题2】如果一个整数的各位数码从左至右是逐渐增大或逐渐减小的，那么这个数称为“严格单调数”.
不大于5000的四位“严格单调数”共有 个.
【答案】126
【解析】分成逐渐增大和逐渐减小两种情况，注意先选后排（ “严格单调数”选出来不需要排，自动排列）.
先考虑从左往右逐渐增大的情况，因为不超过5000，所以分成千位数取值为1，2，3，4四种情况考虑：
若千位数为1，则从剩下8个数字中选3个不重复的从左到右依次增大，共有 种选法；
若千位数为2，则从剩下7个数字中选3个不重复的从左到右依次增大，共有 种选法；
若千位数为3，则从剩下6个数字中选3个不重复的从左到右依次增大，共有 种选法；
若千位数为4，则从剩下5个数字中选3个不重复的从左到右依次增大，共有 种选法；
再考虑从左往右逐渐减小的情况，因为不超过5000，所以分成千位数取值为4和3两种情况：
若千位数为4，则从剩下4个数字中选3个不重复的从左到右依次减小，共有 种选法；
若千位数为3，则从剩下3个数字中选3个不重复的从左到右依次减小，共有 种选法；
所以一共有 种情况，故答案为：
【变式训练7-1】从正整数1，2，……10中任意取出两个不同的数，则取出的两个数的和等于某个正整数的平
方的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】下列正确的是（ ）
A．由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数
B．由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数
C．由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码D．由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数
【变式训练7-3】用1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，从中随机地取一个，求取到的数为奇数的概
率．
【变式训练7-4】已知集合 .
(1)从 中取出 个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？
(2)从集合 中取出 个元素，从集合 中取出 个元素，可以组成多少个无重复数字且比 大的正整数？
【变式训练7-5】已知三个条件：①偶数；②能被5整除的数；③比7630大的数．从这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：用0～9这10个数字组成无重复数字的四位数，求其中____________的个数．
题型08：几何中的组合问题
【典型例题1】如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C，C…，C，线段AB上有异于A，
1 2 6
B的四个点D，D，D，D。
1 2 3 4
①以这10个点中的3个点为顶点可作出多少个三角形？其中含C点的有多少个？
1
②以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
【答案】见解析
【解析】①解法一：可作出三角形C＋C×C＋C×C＝116(个)。
解法二：可作出三角形C－C＝116(个)。
其中以C为顶点的三角形有C＋C×C＋C＝36(个)。
1
②可作出四边形C＋C×C＋C×C＝360(个)。
【典型例题2】四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多
少种不同的取法？
(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？
【答案】见解析
【解析】(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3个点必与点A共
面，共有3C种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法。根据分类
加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有3C＋3＝33(种)。(2)(间接法)从10个点中取4个点的取法有C种，除去4点共面的取法种数可以得到结果。从四面体同一个面上
的6个点取出的4点必定共面，共有4C＝60(种)取法；四面体的每一棱上的3个点与相对棱中点共面，共有6
种取法；从6条棱的中点中取4个点时有3种取法(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法有
C－(60＋6＋3)＝141(种)。
【典型例题3】已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形个
数为( )
A.CC＋CC B.(C＋C)(C＋C) C.C－9 D.C－C
【答案】见解析
【解析】可以分为两类：
a上取两点，b上取一点，则可构成三角形个数为CC；
a上取一点，b上取两点，则可构成三角形个数为CC.
由分类加法计数原理，共构成三角形个数为CC＋CC.
【变式训练8-1】用4种不同颜色给一个正四面体涂色，每个面涂一种颜色，4个颜色都要用到，共有
种涂色的方法．
【变式训练8-2】如图，已知圆 ，以圆内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点构造三角形，
这样的三角形一共有多少个？
【变式训练8-3】圆上有12个不同的点.
(1)过每两点画一条弦，一共可以画多少条不同的弦？
(2)过每三点画一个圆内接三角形，一共可以画多少个圆内接三角形？
【变式训练8-4】如图，平行直线a，b上分别有4个和5个不同的点，
(1)任取这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连多少条不同的直线？
(2)任取这9个点中的三个首尾相连，则一共可以组成多少个不同的三角形？
【变式训练8-5】如图，在六边形ABCDEF的6个顶点和其对角线AD，BE，CF的交点P，Q，R中，如果过
其中的每3个点作一个圆，共可作多少个圆？【变式训练8-6】（1）平面内有两组平行线，一组有 条，另一组有 条，不同组的平行线都相交，这些平行
线一共构成了多少个平行四边形？（ ）
（2）空间中有三组平行平面，第一组有 个，第二组有 个，第三组有 个，不同组的平面都互相垂直．这些
平行平面一共构成了多少个长方体？（ ）
【变式训练8-7】如图，在 的两边 、 上分别有5个点和6个点（都不同于点O），这连同点O
在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？
题型09：分组分配问题
【典型例题】为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设 三门劳动教育校本课程，现有甲、
乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，
则不同的报名方法有（ ）
A．60种 B．150种 C．180种 D．300种
【答案】B
【解析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可．
根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选 三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有 种；②三组人数为2、2、1，此时有 种.
所以不同的报名方法共有60＋90＝150种．故选：B．
【变式训练9-1】2023年暑假，5位老师去某风景区游玩，现有“垂云通天河”、“严子陵钓台”这两处风景
供选择，若每位老师只能选取其中的一处风景且每处风景最多被3位老师选择，则不同的选择方案共有
种（用数字作答）．
【变式训练9-2】现有4名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，若每个小组至少要有
1人参加，则共有 种不同的安排方法.
【变式训练9-3】四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识．每名志
愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 （用数字作答）
【变式训练9-4】(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？
(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？
题型10:相同对象的分配问题（x+y+z=n）（隔板法）
【典型例题1】20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号
数，则不同的放法种数共有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．720种
【答案】A
【解析】应用“隔板法”即可求解.
先在编2号,3号的盒内分别放入1个球和2个球，还剩17个小球，
三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，
插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有 （种）方法．故选:A.
【典型例题2】方程 的正整数解的个数为（ ）
A．56 B．35 C．70 D．66
【答案】B
【解析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求
解即可．
原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，
采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可，故共有 种．故选：B.
【典型例题3】有方程 ，试讨论有序数对 解的个数．下列分析正确的是（ ）
A．若 ， ， 均为正整数，则 解的个数为
B．若 ， ， 均为非负整数，则 解的个数为
C．若 ， ， 均为正整数，且 ， ， 两两不等，则 解的个数为341044
D．若 ， ， 均为正整数且满足 ，则 解的个数为341044
【答案】ABD
【解析】AB可转化为排列组合问题用档板法可得；C选项可先求 ， ， 相等时 的解个数，再用排除
法可得；D选项分为由相等和不相等并且 的不同的类，利用分类加法可得.
选项A：因 ， ， 均为正整数，
则 解的个数相当于把 个 用两个档板分成3份，分别对应 ， ， ，
所以 解的个数为 ，故A正确；
选项B： 由 得 ，
因 ， ， 均为非负整数，所以 ， ， 均为正整数，
与 一一对应，
相当于把 个 用两个档板分成3份，分别对应 ， ， ，
所以 解的个数为 ，故B正确；
C选项：因 ， ， 均为正整数， ，
若 ，则 ，不满足 为正整数，故 ， ， 至多有两个相等，
若 ，则 ,故 的取值为从 到 的整数，共 个，
所以 ， ， 有两个相等时 的个数为 个，
故 ， ， 两两不等时， 解的个数为 个，故C错误；
选项D：若 ， ， 均为正整数且满足 ，
当 时，因 ，
所以 ，得 ，即 ，
所以 的取值为从1到 的整数，共674个，
此时 的个数为674个.
当 时，因 ，
所以 ，得 ，即 ，
因 取正整数，所以 的取值为从1到 的奇数，共337个，
此时 的个数为337个.
当 时，
个 用两个隔板分成3份，将其从小到大，分别对应 ， ， ，
有
共有 ，故D正确.故选：ABD
【变式训练10-1】现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为
.
【变式训练10-2】 个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学，不同分法的总数为 ．
【变式训练10-3】方程 的非负整数解的组数为 ．【变式训练10-4】方程 的非负整数解的个数为 .
【变式训练10-5】某校社团召开学生会议，要将 个学生代表名额，分配到高二年级的 个班级中，若高二
（一）班至少 个名额，其余 个班每班至少 个名额，共有 种不同分法.（用数字作答）
【变式训练10-6】中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、
乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、
乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．8种 B．14种 C．20种 D．16种
题型11:其他组合问题
【典型例题1】上古时代神话传说中，伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出了“八卦”，
而龙马身上的图案就叫作“河图”（如图1），河图把一到十这十个数字分成五组，其口诀为：一六共宗，为水
居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中，现从这十个数
中随机抽取六个数，则能成为三组的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据古典概型结合组合数运算求解.
从一到十这十个数中随机抽取六个数，基本事件总数 ，能成为三组的基本事件个数 ，
则能成为三组的概率 ．故选：C．
【典型例题2】如图，一圆形信号灯分成 四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每
块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．42
【答案】A
【解析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数.
若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么 ，要么 相同，有2种方案，则不同的信号数
为 ；
若只用2种不同的颜色灯带，则 颜色相同， 颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为 ；
则不同的信号总数为 .故选：A．
【变式训练11-1】9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又
会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法.
【变式训练11-2】现有五张卡片，分别写有数字0，1，2，3，6（数字6倒放也可当做数字9），则用这些卡
片摆成的不同五位数的个数为 ．（用数字作答）
【变式训练11-3】男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派 5人外出参加比赛.
(1)队长中至少有1人参加，有多少种选派方法?
(2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式?
【变式训练11-4】（1）将 个不同的小球放入 个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（2）将 个不同的小球放入 个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（3）将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（4）将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【变式训练11-5】证明不定方程 的正整数解的个数为 ．
【变式训练11-6】将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多一球，有多少种放法？
(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
【变式训练11-7】某学校的高一年级总共有8个班级，现学校要求高一年级组织一个篮球队，篮球队队员共12
人， 每个班级中至少有一个人参加，问篮球队队员的名额分配有几种方法？
【变式训练11-8】三进制数 对应的十进制数记为 ，即
，其中 或 ，则 对应的十进制
数为 ，满足 中有2个0，4个2的所有三进制数 的个数为 .
【变式训练11-9】已知非空集合 ， 满足以下四个条件：
① ；
② ；
③ 中的元素个数不是 中的元素；
④ 中的元素个数不是 中的元素．
（ⅰ）如果集合 中只有1个元素，那么集合 的元素是 ；
（ⅱ）有序集合对 的个数是 ．
题型12：排列与组合的综合问题
【典型例题】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个
数为( )
A.300 B.216 C.180 D.162【答案】 C
【解析】依题意知，可以分两类：
第一类，不取0，从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为CA＝
72.
第二类：取数字0，取2和4中一个数字，再取2个奇数，组成无重复数字的四位数有CCCA＝108(个).
由分类加法计数原理，组成没有重复数字的四位数共有72＋108＝180(个).
【变式训练12-1】(多选)某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导
游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是( )
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的安排方法种数为AC
C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同
安排方案的种数是CCA＋CA
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(CC＋CC)A
【变式训练12-2】大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的10个专业中，选择
3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时填报，则该考生有________种不同的填报
专业志愿的方法(用数字作答).
【变式训练12-3】（多选）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1
名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则关于不同的安排方法说法错误的有( )
A．30种 B．60种 C．90种 D．120种
【变式训练12-4】设集合A＝{(x，x，x，x，x)|x∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，则集合A中满足
1 2 3 4 5 i
条件“1≤|x|＋|x|＋|x|＋|x|＋|x|≤3”的元素个数为( )
1 2 3 4 5
A.60 B.90 C.120 D.130
【变式训练12-5】《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了
五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，
小灯共1 200个。若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率
为( )
A. B. C. D.
【变式训练12-6】大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的10个专业中，选择
3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时填报，则该考生有________种不同的填报
专业志愿的方法(用数字作答).
【变式训练12-7】某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选择4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，
且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为________.
【变式训练12-8】设S为一个非空有限集合，记为集合S中元素的个数，若集合S的两个子集A，B满足：|A∩B|＝k并且A∪B＝S，则称子集，为集合S的一个“k－覆盖”(其中0≤k≤|S|)，若|S|＝n，则S的“k
－覆盖”个数为____________.
【变式训练12-9】某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名．
(1)若从中任选2人参加A， 两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人
员甲不参加 项救护活动的选法种数；
(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去
往同一个地方，求不同的分配方案种数．
【变式训练12-10】某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，
“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，
若抽中“福”“龙”“迎”“春” 张卡片，则额外获得2分．
(1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；
(2)求学生乙最终获得 分的不同的抽法种数．
一、单选题
1．下列问题中是组合问题的个数是 ( )
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；
④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商．
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 方程C＝C的解集为( )
A．4 B．14 C．4或6 D．14或2
3. C＋C＋C＋C＋C＋C等于( )
A．C B．C C．C D．A
4. 对于m，n∈N*，下列排列组合数结论错误的是( )
A．mC＝nCB C＝C＋C C．A＝CA D．A＝(m＋1)A
5. 从2,3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这
样的三位数的个数为( )
A．35 B．42 C．105 D．210
6. 第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、
乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都要有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为( )
A．18 B．16 C．14 D．12
7. 某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不
同的选法共有( )
A.34种 B.35种 C.120种 D.140种
8. 从编号为1，2，3，4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其
中1号种子必须试种，则不同的试种方法有( )
A.A B.CA C.A D.CA
9. 已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形个数为( )
A. C－C B.(C＋C)(C＋C) C.C－9 D. CC＋CC
10．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，
则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20 B．55 C．30 D．25
11．旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲､乙､丙､丁这四个景区进行体验式旅游已知他不能最先去甲景区旅
游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线的条数为（ ）
A．24 B．18 C．16 D．10
12．马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的
两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（ ）
A．12 B．18 C．21 D．24
13．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提
高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四
门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选 门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学
的不同选修方式有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
14．将编号为 、 、 、 、 的 个小球全部放入 、 、 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个
盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）
A． B． C． D．
15．公元2020年年初， 肆虐着中国武汉，为了抗击 ，中国上下众志成城，纷纷驰援武
汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
16．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在
3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51个 B．54个 C．12个 D．45个
17．设集合 ，那么集合 中满足条件
“ ”的元素个数为
A． B． C． D．
二、多选题
1. 下列等式正确的有( )
A．C＝ B．C＝C
C．C＝C D．C＝C
2. 某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法
种数为( )
A．CCC
B．C－C－C
C．CC＋CC
D．C－CC－CC－CC－CC
3.下列选项正确的是( )
A.C＝C B.A＝mA
C.C÷C＝ D.C＝C
5.若C＝C(n∈N*)，则n等于( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6．已知 ，则x=（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
7．现有 个男生 个女生，若从中选取 个学生，则（ ）
A．选取的 个学生都是女生的不同选法共有 种
B．选取的 个学生恰有 个女生的不同选法共有 种
C．选取的 个学生至少有 个女生的不同选法共有 种
D．选取的 个学生至多有 个男生的不同选法共有 种8．新高考按照“ ”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”
为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、
政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
9．某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正
确的有（ ）
A．分给甲､乙､丙三地每地各2辆，有120种分配方式
B．分给甲､乙两地每地各2辆，分给丙､丁两地每地各1辆，有180种分配方式
C．分给甲､乙､丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式
D．分给甲､乙､丙､丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1080种分配方式
三、填空题
1. 党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、
友善。这12个词语分别从国家、社会、公民个人三个层面概括了社会主义核心价值观。现从这12个词语中任
选3个，且这3个词语不都选自同一层面，则不同的选法种数为________。
2．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有________种。
3. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不
同的站法种数是________。(用数字作答)
4．从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有
______种不同的安排方法．
5．在报名的 8 名男生和 5 名女生中，选取 6 人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种
数为_____（结果用数值表示）
6．近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型
剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名
男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名
女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．7．我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为 的 个球的口
袋中取出 个球 ，共有 种取法.在 种取法中，不取 号球有 种取法；取 号球有
种取法.所以 .试运用此方法，写出如下等式的结果：
___________.
四、解答题
1．计算(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
2. 解方程：3C＝5A
3. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
4. 有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起
组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
5．一个口袋内装有7只不同的白球和1只黑球．
(1)从口袋内取出3只球，共有多少种不同的取法？
(2)从口袋内取出3只球，其中必有1只黑球，有多少种不同的取法？
(3)从口袋内取出3只球，其中没有黑球，有多少种不同的取法？
6．现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．
(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；
(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；
(3)平均分成三个组每组两本．
7．某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．
(1)若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？
(2)若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？
(3)若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？
8．用组合数公式证明：
(1) ；(2) ．
9．某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，若不同的组合调查不
同的项目算作不同的调查方式，求按下列要求进行组合时，有多少种不同的调查方式？
(1)将9人分成人数分别为2人、3人、4人的三个组去进行社会实践；
(2)将9人平均分成3个组去进行社会实践；
(3)将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.
10．蓝天救援队有男救援员8名，女救援员4名，现选派5名救援员参加一项救援.
(1)若男救援员甲与女救援员乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)若救援员甲、乙均不能参加，共有多少种不同的选法？
(3)若至少有一名男救援员和一名女救援员参加，共有多少种不同的选法？
11．（1）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
12．规定 ，其中 ，m是正整数，且 ，这是组合数 （n，m是正整数，
且 ）的一种推广．
(1)求 的值．
(2)组合数的两个性质：① ；② 是否都能推广到 （ ，m是正整数）的情形？
若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数 是正整数，证明：当 ，m是正整数时， ．
