第03 讲 曲线的切线方程
目录
思维导图.......................................................................................................................................................................2
高考分析.......................................................................................................................................................................2
学习目标.......................................................................................................................................................................2
知识要点.......................................................................................................................................................................3
解题策略.......................................................................................................................................................................4
题型归纳.......................................................................................................................................................................5
题型01：导数与切线斜率的关系..................................................................................................................................5
题型02：曲线在某点处的切线问题.............................................................................................................................10
（一）已知曲线和切线斜率，求切点坐标............................................................................................................10
（二） 已知切点和切线斜率，求曲线.................................................................................................................11
（三）已知曲线和切点，求切线方程...................................................................................................................13
题型03：过点P 的切线（此类题目点P 不一定为切点，需要设切点为
）.....................................................22
题型04：已知切线求参数问题....................................................................................................................................32
题型05：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）...........................................................................38
题型06：公切线问题..................................................................................................................................................59
题型07：切线平行、垂直、重合问题.........................................................................................................................79
题型08： 切线倾斜角取值范围..................................................................................................................................90
题型09： 满足条件的切线是否存在...........................................................................................................................92
题型10：与切线相关的最值问题................................................................................................................................98
1. 考查频率与题型
属于高考数学高频考点，在全国卷及各省市自主命题卷中均有涉及，可出现在选择题、填空题（基
础或中档难度，分值5 分），也常与函数单调性、极值最值、不等式证明结合出现在解答题（多为第1 问，
分值4-6 分）。
2. 考查内容范围
① 核心是导数的几何意义：函数y=f(x)在点x_0 处的导数f'(x_0)就是曲线在点P(x_0,f(x_0))处的切线
斜率。
②常考曲线类型：基本初等函数（幂、指、对、三角）的曲线、含参函数曲线、隐函数曲线（如圆、
椭圆、双曲线等圆锥曲线的切线问题，可结合导数或几何性质求解）。
③拓展考点：过点切线问题（点不在曲线上的情况）、切线方程的应用（如求切线与坐标轴围成的
图形面积、切线的条数问题）。
3. 命题趋势
近年高考更注重综合性与应用性，切线方程常与函数的极值、最值、零点问题，以及不等式、解析
几何知识交汇命题；同时增加对含参问题的考查，侧重分类讨论思想和数形结合思想的运用。
1. 知识目标
①深刻理解导数的几何意义，明确“切线斜率”与“导数”的等价关系。
②熟练掌握曲线在某点处切线方程和过某点的曲线切线方程的求解步骤。
③掌握隐函数求切线的方法，能结合圆锥曲线的几何性质解决切线问题。
2. 能力目标
① 能快速识别切线问题的类型（在点处/过点），选择对应的解题方法。
②具备处理含参切线问题的能力，能通过分类讨论、数形结合分析参数的取值范围。
③能够将切线方程与函数、不等式等知识结合，解决综合性问题。
3. 素养目标
①培养数学抽象素养，理解导数几何意义的本质；提升数学运算素养，熟练完成求导、解方程等运算。
②强化数形结合与分类讨论的数学思想，提升分析和解决综合问题的能力。
用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查同学们对导数的
几何意义的正确理解。主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的
切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。
知识点一：导数的几何意义：
函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(即
（
为切线的倾斜角）)．相应地，切线方程为
y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
注：曲线
在点
处的切线是指P 为切点，斜率为
的切线，是唯一的一条切线。
但曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点。
知识点二：求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法
（1）已知切点P(x0，f (x0))，求y＝f (x)过点P 的切线方程
求曲线
在
处切线的步骤：
◆先求
，即曲线
在
P(x0，f (x0))
处切线的斜率．
◆再求
，则切线过点
；
◆最后由点斜式写出直线方程：
．
特别的，如果
在点
处的切线平行于
轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：
切线方程为：
x=x0 ．
（2）已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点
斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′
(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜
率，再由k＝f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．
（5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P，P 不一
定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．
(6)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．
解题策略
1. 核心题型1：曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程
◦ 步骤1：求导函数f'(x)；
◦ 步骤2：计算切线斜率k=f'(x0)；
◦ 步骤3：代入点斜式y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)，整理为一般式或斜截式。
◦ 注意：此情况中点P 一定在曲线上，切线唯一。
2. 核心题型2：过点Q(x1,y1)作曲线y=f(x)的切线方程（点Q 不一定在曲线上）
◦ 步骤1：设切点为P(x0,f(x0))，求导得切线斜率k=f'(x0)；
◦ 步骤2：根据点斜式写出切线方程y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)；
◦ 步骤3：将点Q(x1,y1)代入切线方程，得到关于x0的方程，解方程求出x0；
◦ 步骤4：将xx0_0 的值代回切线方程，得到所有满足条件的切线方程。
◦ 注意：方程解的个数对应切线的条数，需检验解的合理性。
3. 核心题型3：隐函数（如F(x,y)=0）的切线方程
◦ 方法：利用隐函数求导法则，两边对x 求导（把y 看作x 的函数），解出y'，再按照“在点处切线”的步骤求
解；对于圆、椭圆等圆锥曲线，也可利用其几何性质（如圆心到切线的距离等于半径）求解。
题型01：导数与切线斜率的关系
【典型例题1】函数
的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
如图所示，根据导数的几何意义，可得
表示切线斜率
，
表示切线
斜率
，
又由平均变化率的定义，可得
，表示割线
的斜率
，
结合图象，可得
，即
.
故选：C.
【典型例题2】函数
的图象如图所示，
是函数
的导函数，则下列大小关系正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由导数的几何意义判断
由图象可知
在
上单调递增，
，
故
，即
故选：B
【变式训练1-1】（多选题）已知函数
的图象如图所示，
是
的导函数，则下列数值的排序正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】根据导数的几何意义可得
，记
，
，作直线AB，根据两点坐标求
出直线AB 的斜率，结合图形即可得出
.由函数的图象可知函数
是单调递增的，所以函
数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在
处的切线斜率
大于在
处的
切线斜率
，所以
；
记
，
，作直线AB，则直线AB 的斜率
，由函数图象，可
知
，
即
.
故选：AB
【变式训练1-2】函数
的图象如图所示，
是函数
的导函数，则下列数值排序正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
图象的变化趋势，结合导函数的定义有
，即可得答案.
由图知：
，即
.
故选：A
【变式训练1-3】曲线
在
处切线的斜率为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】根据导数的几何意义求解即可.
，故曲线
在
处切线的斜率为
.
故选：D
【变式训练1-4】函数
在
处切线的斜率为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据导数的几何意义，求出导函数在该点处的值即可求解.
因为函数
，
则
，
所以
，也即函数
在
处切线的斜率
，
故选：
.
【变式训练1-5】曲线
在点
处的切线的斜率为____________．
【答案】2
【解析】由导数几何意义即可求.
，∴所求切线斜率为2.
故答案为：2
【变式训练1-6】如图，直线是曲线
在点
处的切线，则
的值等于______ ．
【答案】
【解析】由函数的图像可得
，以及直线过点
和
，由直线的斜率公式可得直线的斜率
，
进而由导数的几何意义可得
的值，将求得的
与
的值相加即可.
由函数的图像可得
，直线过点
和
，则直线的斜率
，
又由直线是曲线
在点
处的切线，则
，
所以
．
故答案为：
题型02：曲线在某点处的切线问题
（一）已知曲线和切线斜率，求切点坐标
【典型例题】已知曲线
上过切点
的一条切线的斜率为1，则
___________.
【答案】
【解析】根据导数的几何意义，由
即可解出．
因为
，所以
，由题意可知，
，解得
或
（舍去）．
故答案为：
．
【变式训练2-1-1】已知函数
的图像在点
处的切线与y 轴交于点
，则切点的
纵坐标为（ ）
A．7
B．
C．
D．4
【答案】C
【解析】求出导函数代入-1 可得切线的斜率，计算出
可得切点，从而得到切线方程，利用切线与y 轴的交
点可得
可得答案.
因为
，所以
，
，所以切点为
，
切线方程为
，令
，则
，
所以
，解得
，所以切点的纵坐标为
.
故选：C.
【变式训练2-1-2】直线
与曲线
相切，则切点的横坐标为_________．
【答案】
【解析】设切点为
，利用导数的几何意义求解即可.
设切点为
，
，
又
，
，解得：
故答案为：
（二）已知切点和切线或切线斜率，求曲线
【典型例题】设曲线
在点
处的切线方程为
，则
___________.
【答案】
【解析】求导，根据导数几何意义求出函数
在
处的导函数值为切线的斜率.
所以函数
在
处的导函数值为
，根据导数几何意义可得
故答案为：
【变式训练2-2-1】已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
，则
______.
【答案】3
【解析】求出
，根据
即可求解.
由已知得
，
因为
，所以
.
故答案为：3.
【变式训练2-2-2】若函数
的图象在点
处的切线方程为
，则
（ ）
A．1
B．0
C．－1
D．e
【答案】B
【解析】求导得到
，再利用
，求出
的值.
因为
，所以
，故
又
，所以
．
故选：B
【变式训练2-2-3】已知函数
的图象在点
处的切线方程是
，则
等于（
）
A．2
B．1
C．0
D．﹣2
【答案】C
【检查】求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线的方程求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，即可得
到所求结论.
解：函数
的导数为
，
可得在点
处的切线斜率为
，
因为在点
处的切线方程是
，
所以
，
，
解得
，
，
所以
故选：C.
【变式训练2-2-4】曲线
的一条切线的斜率为
（为自然对数的底数），该切线的方程为 ____．
【答案】
【解析】求导计算得切点坐标为
，根据点斜式解决即可.
由题知，
，
所以
，
当
时，
，此时
，
所以切点为
，
所以切线方程为
，即
，
故答案为：
（三）已知曲线和切点，求切线方程
【典型例题1】设函数
，则曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用导数的几何意义求在
处切线的斜率，进而即可得切线方程.
因为
，所以
，所以
，
即
在
处切线方程的斜率为
，
又因为
，所以切线方程为
，整理得
，
故选：B
【典型例题2】设函数
，若
为奇函数，则曲线
在点（0，0）处的切
线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据该函数为奇函数，求出a 的值，然后求出
得所求切线斜率，最后利用点斜式求出切线的方程
，函数为奇函数，有
，即
，
故
，即
，
所以
，所以
，
，
，
所以曲线
在点（0，0）处的切线斜率为
，切线方程为：
.
故选：A.
【典型例题3】已知函数
，其中为自然对数的底数，则曲线
在
处的切线方
程为__________.
【答案】
.
【解析】求解导函数，计算
与
的值，再利用直线点斜式写出切线方程即可.
求导可得
，则
，又
，
则曲线
在
处的切线方程为
，
整理得
.
故答案为：
.
【典型例题4】已知函数
为偶函数，当
时，
，则曲线
在
处的切线方
程为___．
【答案】
【解析】由偶函数求
时
的解析式，并写出导函数，进而求
、
，写出切线方程即可.
若
，则
，由
是偶函数，得
，
∴
时，
，而此时的
，即
，
∴曲线
在
处的切线方程为
，即
.
故答案为：
.
【变式训练2-3-1】函数
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】利用导数的几何意义即可求解.
由
，得
，
在点
处的切线斜率为
，
所以切线方程为
，即
.
故选：A.
【变式训练2-3-3】已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得
，将点的坐标代入直线方程，求得
．
，
将
代入
得
，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
【变式训练2-3-2】直线
与曲线
相切于点
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【解析】直线
与曲线
相切于点
,
可得
求得
的导数,可得
,即可求得答案.
直线
与曲线
相切于点
将
代入
可得:
解得:
由
,解得:
.
可得
,
根据
在
上
,解得:
故选:
.
【变式训练2-3-4】已知
，则曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将
换成
，与原式联立得到
，利用换元法求出函
数
的解析式，进而写出
的解析式，从而求得切线方程.
因为
①，
将
换成
，得
②，
，得
，
令
，
，
则
，故
，
故
，
则
，
所以
，
，
故切点为
，切线斜率为
，故切线方程为
.
故选：C.
【变式训练2-3-5】已知函数
是定义在R 上的奇函数，且
，则函数
的图象
在点
处的切线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】求导数得出
，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算
即可．
是奇函数，
恒成立，所以
，
，
，
所以
，
，即
，
．
故选：A．
【变式训练2-3-6】曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．4x－y+8＝0
B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0
D．3x+y+6＝0
【答案】B
【解析】将
代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即
可.解：因为
，所以
，所以
．
又当
时，
，故切点坐标为
，所以切线方程为
．
故选：B.
【变式训练2-3-7】过函数
图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求得
，根据指数函数的性质，得到
，即切线的斜率
，进而得到
，即可求解.由题意，函数
，可得
，
因为
，所以
，即切线的斜率
，
设切线的倾斜角为
，则
又因为
，所以
或
，
即切线的倾斜角的范围为
.故选：B.
【变式训练2-3-8】曲线
在点
处的切线方程为kx −y +6=0，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】依据题意列出关于
的方程组，即可求得
的值
由切点
在曲线上，得
①；
由切点
在切线上，得
②；
对曲线求导得
，∴
，即
③，
联立①②③
，解之得
故选：A.
【变式训练2-3-9】已知函数
图像关于原点对称，则
在
处的切线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
先求出
的值，再利用函数关于原点对称可求出
,再利用导函数的几何意义即可求出
在
处的切线方程.
由题意知：
.
所以
;
令
，则
.
所以
.
又函数
图像关于原点对称，即
.
所以当
时，
.
所以当
时，
.
,
;
所以
在
处的切线方程为：
.
故选：A.
【变式训练2-3-10】已知
，求曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角
形的面积S．
【答案】
.
【解析】根据导数的定义可求出
，根据导数的几何意义，可得
，进而求出切
线方程以及切线与两坐标轴的交点坐标，即可求出结果.
，
根据导数的概念可得，
，
所以
，则
，
根据导数的几何意义可得，曲线
在点
处的切线的斜率
，
所以曲线
在点
处的切线的方程为
，即
．
令
，得
；令
，得
．
由此知该切线与两条坐标轴的交点分别为
与
，所以所求三角形的面积
．
【变式训练2-3-11】曲线
在点
处的切线方程是 ．
【答案】
【解析】根据导数的几何意义，结合直线点斜式方程进行求解即可.
，
所以曲线
在点
处的切线的斜率为
，
所以方程为
，
故答案为：
【变式训练2-3-12】函数
在点
处的切线方程为 .
【答案】
【解析】先求出
的导数，再求出切点处的函数值和导数值，最后结合直线的点斜式方程求得切线方程.
由已知得
，
所以
，
，
故切线方程为
，
即
，
故答案为：
.
【变式训练2-3-13】若函数
的图象在点
处的切线恰好经过点（2，3），则a＝
．
【答案】-1
【解析】先求导，然后分别求出
，表示出切线方程，最后将点（2，3）代入切线方程即可求出答案.
由题可知
，则
．
又
，所以
的图象在点
处的切线方程为
，即
．因为点
（2，3）在切线上，所以
，解得
．
故答案为：-1.
【变式训练2-3-14】曲线
在点
处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
由题，当
时，
，故点在曲线上．
求导得：
，所以
．
故切线方程为
．
故答案为：
．
【变式训练2-3-15】曲线
在点
处的切线方程为___________．
【答案】
.
【解析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
详解：
所以，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要
“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
题型03：过点P 的切线（此类题目点P 不一定为切点，需要设切点为
）
【典型例题1】函数
过点
的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【解析】设切点
，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过
代入求参数m，即
可得切线方程.
由题设
，若切点为
，则
，
所以切线方程为
，又切线过
，
则
，可得
或
，
当
时，切线为
；当
时，切线为
，整理得
.
故选：C
【典型例题2】若过点
的直线与函数
的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点
代入方程，解出切点坐标即可完成求解.
因为函数
，所以
，
设切点为
，则切线方程为：
，
将点
代入得
，
即
，解得
或
，
所以切点横坐标之和为
故选：D.
【典型例题3】过原点作曲线
的切线，则切点的横坐标为_________．
【答案】
【解析】可设切点的坐标为
, 求出函数的导数, 由导数的几何意义可得切线的斜率，又由切线经过原点，
从而可得切线方程，将切点代入即可解可得的值，从而得出答案.
由题意得，设切点的坐标为
，
的导数
，
则有
，即切线的斜率
，
又因为切线经过原点，设切线方程为
，
将切点代入得
，化简得
，所以
.
故答案为：
.
【典型例题4】过点
作曲线
的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
【答案】
【解析】考虑
与
时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将
代入，得到相应的斜率，相加得
到答案.
时，
，设切点
，
则
，
切线
过
，
，
，
时，
，切点
，
，
切线
过
，
，
，
故
.
故答案为：
.
【变式训练3-1】过坐标原点且与曲线
相切的直线斜率为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求导，由切点坐标可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程，代入坐标原点即可求解
，进而可
求斜率.因为
，所以
，设切点为
，所以
，
所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，
所以切线方程的斜率为
.
故选：B
【变式训练3-2】过原点可以作曲线
的两条切线，则这两条切线方程为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】A
【解析】由解析式得
为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y 轴对称，再由导数几何意义求
上的
切线，结合偶函数对称性写出另一条切线.
由
，得
为偶函数，
故过原点作的两条切线一定关于y 轴对称．
当
时，
，则
，
设切点为
，故
，解得
或
（舍），
所以切线斜率为1，从而切线方程为
．
由对称性知：另一条切线方程为
．
故选：A
【变式训练3-3】直线
与曲线
相切，则
的值为（ ）
A．2
B．-2
C．-1
D．1
【答案】D
【解析】求出
，设切点
，由
求出
，代入
可得答案.
，设切点
，由
，
所以
，代入
，得
．
故选：D.
【变式训练3-4】曲线
过点
的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.
由题意可得点
不在曲线
上，
设切点为
，因为
，
所以所求切线的斜率
，
所以
.
因为点
是切点，所以
，
所以
，即
.
设
，明显
在
上单调递增，且
，
所以
有唯一解
，则所求切线的斜率
，
故所求切线方程为
.
故选：B.
【变式训练3-5】过点(0，-1)作曲线
的切线，则切线方程为
A．x+y+1=0
B．x-y-1=0
C．x+2y+2=0
D．2x-y-1=0
【答案】B
【解析】设切点为
，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.
=ln x+1，
设切点为
，∴
,
∴
=ln x0+1，
∴x0ln x0+1=x0ln x0+x0，∴x0=1，∴y0=0，
所以
=
=1，
∴切线方程为y=x-1，即x-y-1=0，
故选：B.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
平.
【变式训练3-6】已知
，则过点P(-1，0)且与曲线
相切的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【解析】设切点为
则切线方程为
，将点
代入解
，即可求切线方程.
设切点为
，则
，切线斜率为
所以切线方程为
，因为过点
则
解得
或
，所以切线方程为
或
故选：C
【变式训练3-7】曲线y = ln| x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】 y = 1
e x y =−1
e x
【解析】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(x0,ln x0)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，
从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
解： 因为y = ln|x|，
当x>0时y =lnx，设切点为(x0,ln x0)，由y
' = 1
x ，所以y
'|x = x0= 1
x0
，所以切线方程为y −ln x0= 1
x0
(x−x0)，
又切线过坐标原点，所以−ln x0= 1
x0
(−x0)，解得x0=e，所以切线方程为y −1= 1
e (x−e)，即y = 1
e x；
当x<0时y = ln (−x)，设切点为(x1,ln(−x1))，由y
' = 1
x ，所以y
'|x = x1= 1
x1
，所以切线方程为
y −ln(−x1)= 1
x1
(x−x1)，
又切线过坐标原点，所以−ln(−x1)= 1
x1
(−x1)，解得x1=−e，所以切线方程为y −1= 1
−e
(x +e)，即
y =−1
e x；
故答案为：y = 1
e x；y =−1
e x
【变式训练3-8】已知函数
，则曲线
经过点
的切线方程是______．
【答案】
或
.
【解析】设切点，然后求导函数，进而得到该点处的切线方程，再代入点
即可.
设切点为
对
求导得：
，
切线方程为：
，
切线过
，
解之：
或1，所以斜率
或，
又过
，
代入点斜式得切线方程为：
或
，
故答案为：
或
.
【变式训练3-9】函数
，
（其中
），
的图象在点
处的切线与
的
图象相切，则
______.
【答案】－1 或3
【解析】先求出
的图象在点
处的切线方程为
，再分当
在
上与当
不在
上时两种情况，进行求解.
，故
在
的图象上，
，则
，
故
的图象在点
处的切线方程为
，
当
在
上时，
，解得：
，
故
，
则
，则
，
则
在
处的切线方程为
，满足要求，
当
不在
上时，设切点为
，
，则
，
由于在
处的切线方程为
，
所以
，
解得：
，
，经检验符合要求，
故答案为：-1 或3
【变式训练3-10】过原点与曲线
相切的一条切线的方程为 .
【答案】
或
或
(写出其中一条即可)
【解析】根据曲线
表示抛物线的一部分，设其切线方程为
，利用判别式法求解；设
的切线的切点为
，利用导数法求解.
解：设曲线
表示抛物线的一部分，
设其切线方程为
，代入
，
得
.由
，得
.
当
时，
，符合题意，
当
时，
，均符合题意，
所以切线方程
.
设
的切线的切点为
.
由
，得
，
，
得切线方程为
.
将
的坐标代入切线方程，得
，
所以
，所以切线方程为
.
故答案为：
或
或
(写出其中一条即可)
【变式训练3-11】过原点且与
相切的直线方程是 .
【答案】
【解析】设切点为
，利用导数的几何意义列方程组求出
，即可取出切线方程.
设切点为
，且
，
由题意可得：
，解得：
过原点且与
相切的直线方程是
.
故答案为：
【变式训练3-12】已知函数
，则曲线
过点
的切线方程为 ．
【答案】
或
【解析】设切点为
，利用导数写出切线方程，将点
的坐标代入切线方程，求出的值，
代入切线方程即可得出所求切线的方程.
设切点为
，
，则切线斜率为
，
故曲线
在
处的切线方程为
，
将点
的坐标代入切线方程可得
，解
或
，
故所求切线方程为
或
，即
或
.
故答案为：
或
.
【变式训练3-13】写出过点
，并且和曲线
相切的直线方程．
【答案】
和
【解析】曲线
化为
，求出导函数，设过点
的直线与曲线
相切于点
，根据导
数的几何意义求出切线的斜率，写出切线方程，将点
代入切线方程，求出切点坐标，从而得出答案.
当
时，上式化为
，这样的曲线不存在，故
，
所以曲线
化为
，其导函数为
设过点
的直线与曲线
相切于点
，则切线的斜率为
所以切线方程为
由切线过点
，所以
，解得
或
当
时，切线方程为：
当
时，切线方程为：
因此，过点A 有两条切线，方程分别为
和
，
如图所示．
题型04：已知切线求参数问题
【典型例题1】．已知P 是曲线
上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为
，
若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a 的范围即可.
因为
，所以
，
因为曲线在M 处的切线的倾斜角
，
所以
对于任意的
恒成立，
即
对任意
恒成立，
即
，又
，当且仅当
，
即
时，等号成立，故
，
所以a 的取值范围是
．
故选：D．
【典型例题2】若函数
的图象在
处的切线方程为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】利用导数的几何意义可求出结果.
的定义域为
，
，
由题意可得
，即
，解得
，
故选：A
【典型例题3】若直线
是曲线
的切线，则
________．
【答案】2
【解析】设切点
，根据导数的几何意义列式求解即可.
对函数
求导得
，设直线
与曲线
相切于点
，则
，
由点
在切线上得
，即
，所以
，解得
，
．
故答案为：2
【典型例题4】已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
_____
【答案】
【解析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出
，再由切点坐
标，即可求出结果.
因为
的导数为
，
又函数
在点
处的切线方程为
，
可得
，解得
，
又切点为
，可得
，即
.
故答案为：
.
【变式训练4-1】直线
与曲线
相切于点
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【解析】直线
与曲线
相切于点
,
可得
求得
的导数,可得
,即可求得答案.
直线
与曲线
相切于点
将
代入
可得:
解得:
由
,解得:
.
可得
,
根据
在
上
,解得:
故选:
.
【变式训练4-2】若直线
是曲线
的一条切线，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得
.
因为
，所以
，令
，即
，
得
或
（舍去），所以切点是
，代入
，
得
，
.
故选：D
【变式训练4-3】已知直线l 的斜率为2，l 与曲线
：
和圆
：
均相切，则
（ ）
A．－4
B．－1
C．1
D．4
【答案】D
【解析】设曲线
的切点，利用曲线的几何意义可得切点坐标，进而求得切线方程，再利用圆心到直线的距离
等于半径即可求得
值.
设直线l：
与曲线
相切，切点为
，因为
的导数为
，由
，解得
，所以切点为
，代入
得
，所以切线方程为
.将
化为标准方程为
，因为l 与圆
相切，所以
，解
得
.
故选：D
【变式训练4-4】已知奇函数
在点
处的切线方程为
，则
（ ）
A．
或1
B．
或
C．
或2
D．
或
【答案】D
【解析】由函数为奇函数可得
，根据切线的斜率为0 建立方程求出
即可得解.
由
可得
，
因为
，所以
，解得
.
所以
，故切线斜率
，
又
，所以
，解得
或
，
所以
或
.
故选：D
【变式训练4-5】已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数
的值为
_________．
【答案】
【解析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可．
因为
，所以切线的斜率为
，
而切线与直线
垂直，所以
，解得
，
故答案为：
．
【变式训练4-6】已知直线
与曲线
相切，则
_________.
【答案】
【解析】已知曲线的切线过某定点，根据导数的几何意义求直线的斜率.
设切点为
，∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，解得
，∴
.
故答案为：.
【变式训练4-7】已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
_____
【答案】
【解析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出
，再由切点坐
标，即可求出结果.
因为
的导数为
，
又函数
在点
处的切线方程为
，
可得
，解得
，
又切点为
，可得
，即
.
故答案为：
.
【变式训练4-8】已知直线
与曲线
相切，则
的最小值为________.
【答案】2
【解析】设切点为
，曲线求导得到切线斜率
，利用斜率相等求得切点坐标，代入直线方程后得
，利用基本不等式即可求得
的最小值.
设切点为
，由
求导得
，
因直线
与曲线
相切, 则
，
解得
，则
，
而切点在直线
上，即
，于是得
，
因此，
，当且仅当
时取“
”，
所以当
时，
取最小值2 .
故答案为：2.
题型05：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）
【典型例题1】若过点
作曲线
的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】C
【解析】设切点为
，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点
在切线上，即可代入切线方程，
解得
，即可得解；
解：设切点为
，由
，所以
，所以
，
所以切线方程为
，即
，因为切线过点
，
所以
，
解得
或
，
所以过点
作曲线
的切线可以作2 条，
故选：C
【典型例题2】若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设切点坐标为
，由切点坐标求出切线方程，代入坐标
，关于
的方程有两个不同的实数解，
变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.
设切点坐标为
，由于
，因此切线方程为
，又切线过点
，则
，
，
设
，函数定义域是
，则直线
与曲线
有两个不同的交点，
，
当
时，
恒成立，
在定义域内单调递增，不合题意；当
时，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，所以
，结合图像知
，即
.
故选：D.
【典型例题3】若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线
的图象，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条切线.
在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
由题意可知，直线
与曲线
的图象有两个交点，则
，
当
时，
，当
时，
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与曲线
的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线
的图象如图所示，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出
两条切线.由此可知
.
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行
估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
【典型例题4】若过点
可作出曲线
的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P 带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两
个函数，
与
，借助导数研究函数
的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点
情况即可完成求解.
由已知，曲线
，即令
，则
，
设切点为
，切线方程的斜率为
，
所以切线方程为：
，将点
代入方程得：
，整理得
，
设函数
，过点
可作出曲线
的三条切线，
可知两个函数图像
与
有三个不同的交点，
又因为
，由
，可得
或
，
所以函数
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的极大值为
，函数
的极小值为
，
如图所示，
当
时，两个函数图像有三个不同的交点.
故选：C.
【变式训练5-1】若过点
可以作三条直线与曲线
相切，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】本题为过点
的切线，切点为
，可得切线方程
，
代入点P 坐标整理为
，即
与
有三个交点．
由
，则
，设切点为
，则切线斜率
则在点
的切线方程为
，
代入点P 坐标得
整理为
，即这个方程有三个不等式实根，
令
，则
，
令
则
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
故得
，即
，
故选：D．
【变式训练5-2】过直线
上一点
可以作曲线
的两条切线，则点
横坐标的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程
的根的个数问题转化为函数
与函数
的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.
解：由题意得
，设切点为
，
，
，
，
则过点
的切线方程为
，整理得
，
由点
在切线上，则
，即
，
因为过直线
上一点
可以作曲线
两条切线，
所以关于
的方程
有两个不等的实数根，
即函数
与函数
的图象有两个交点，
，
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
时，
；
时，
，
则函数
与函数
的图象如下图所示：
由图可知，
，
【变式训练5-3】若过点
可以作三条直线与曲线C：
相切，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】求出导函数,利用导数的几何意义列出方程，即可求解.
设切点为
,过点P 的切线方程为
,代入点P 坐标，化简为
，
即这个方程有三个不等根即可.
令
,求导得：
.
令
，解得：
，所以
在
上递增；令
，解得：
或
，所以
在
和
上递增.
要使方程
有三个不等根即可.
只需
,即
.
故选：D
【变式训练5-4】已知
，若过点
可以作曲线
的三条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设切点为
，切线方程为
，求出函数的导函数，即可得到
，
整理得
，令
，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题
意
有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；
解：设切点为
，切线方程为
，由
，所以
，所以
，
则
，所以
，
令
，则
，
因为
，所以当
或
时
，当
时
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时
取得极大值，当
时
取得极小值，即
，
，
依题意
有三个零点，所以
且
，即
；
故选：B
【变式训练5-5】若过点
可以作曲线
的三条切线，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设切点为
，利用导数的几何意义及条件可得关于
的方程
有三个不同
的解，构造函数
，利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.
由题可得
，
设切点
，则
，整理得
，
由题意知关于
的方程
有三个不同的解，
设
，
，
由
，得
或
，又
，
所以当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，当
时
，
单调递增，
当
时
，
当
时，
，且
，
，
函数
的大致图像如图所示，
因为
的图像与直线
有三个交点，
所以
，即
.
故选：D.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值
点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造
函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；
③构造辅助函数研究.
【变式训练5-6】已知函数
，过点M（1，t）可作3 条与曲线
相切的直线，则实数t 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设切点为
，利用导数的几何意义求出切线的斜率
，利用点斜式写出切线方程，将
点M 的坐标代入切线方程，可得关于
的方程有三个不同的解，利用参变分离可得
，令
，利用导数求出
的单调性和极值，则根据
与
有三个不同的交点，即可求出实
数t 的取值范围设切点为
，
由
，得
，
所以切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
因为点M（1，t）在切线上，
所以
，
化简整理得
，
令
，则
，
所以当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
和
上递减，在
上递增，
所以
的极小值为
，极大值为
，
当
时，
，
所以
的图象如图所示，
因为过点M（1，t）可作3 条与曲线
相切的直线，
所以
的图象与直线
有三个不同的交点，
所以由图象可得
，
故选：D
【变式训练5-7】过点
有
条直线与函数
的图像相切，当
取最大值时，
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求导分析
的图象可得
，再设切点坐标为
，由题可得
有三
根，再构造函数
求导分析图象单调性与最值即可
由
，
，故当
时，
，
单调递减，且
；当
时，
，
单调递增，结合图象易得，过点
至多有3 条直线与函数
的图像相切，
故
.
此时，设切点坐标为
，则切线斜率
，所以切线方程为
，将
代入得
，存在三条切线即函数
有三个不同的根，又
，易得在
上，
，
单调递增；在
和
上，
，
单调递减，画出图象可得当
，即
时符合题意
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的
个数与参数取值范围的问题，属于难题
【变式训练5-8】已知函数
，若过点
能作三条直线与
的图像相切，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据已知条件有三条直线相切，得两函数图像有三个交点，利用函数的单调性求得函数的极值，即可
得到
的取值范围.
由已知：
，故
，设切点为
根据导数的几何意义，知切线斜率为
，切线方程为
,
将
点坐标代入切线方程可得
化简可得
即函数
与函数
有三个不同的交点.
故
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减.
则当
时，
有极小值
，
当
时，
有极大值
.
所以
的取值范围为
.
故选：D.
【变式训练5-9】若过点
与曲线
相切的直线只有2 条，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】求得
，求得切线
方程,结合题意，转化为方程
有2 个不等实根，根据
二次函数的性质，即可求解.
设过点
的直线与曲线
相切于点
，
由
，可得
，所以切线
的斜率
，
整理得
，
因为切线有2 条，所以切点有2 个，即方程
有2 个不等实根，
则
，解得
或
，
所以
的取值范围是
．
故选：D．
【变式训练5-10】函数
为
上的奇函数，过点
作曲线
的切线，可
作切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．不确定
【答案】A
【解析】根据奇函数确定
，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算
，计算切
线得到答案.
，故
，
，
，
，
设切点为
，则
，且
，
整理得到
，解得
，
，
故切线方程为
，
故选：A
【变式训练5-11】若曲线
有两条过点
的切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.
设切点为
，由已知得
，则切线斜率
，
切线方程为
．
∵直线过点
，∴
，
化简得
．∵切线有2 条，
∴
，则
的取值范围是
，
故选：D
【变式训练5-12】【多选】若曲线
（e 为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a 的取
值可以是（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】AD
【解析】设切点为
，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得
到
，有两条切线转化为
有两个不等的实根，即可求出a
的取值范围，进而得到正确选项.
设切点为
，
，
所以切线的斜率
，
则此曲线在P 处的切线方程为
，
又此切线过坐标原点，所以
，
由此推出
有两个不等的实根，所以
，解得
或
，
故选：AD．
【变式训练5-13】已知函数
，过点
作曲线
的切线，下列说法正确的是（ ）
A．当
时，可作两条切线，则b 的值为
B．当
，
时，可作两条切线
C．当
，
时，有且仅有一条切线
D．当
时，可作三条切线，则
【答案】D
【解析】根据导数的几何意义，结合函数单调性的判断方法，对参数值进行分类讨论，即可判断和选择.
设过点
的切线与曲线的切点为
，又
，故过点
的切线方程为：
，则
，整理得：
；
令
，则
，且当
时，
，当
时，
；
对A：当
时，显然
在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减，又
，
若过点
可作两条切线，则
或
，故
错误；
对
：当
，
恒成立且不恒为零，故
在
上单调递减，
则当
时，有且仅有一条切线，故错误；
对
：
时，
，
在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减，且
，
故当
时，
有两个根，可做两条切线，故
错误；
对
：当
时，由
可知，若要做三条切线，则
有三个根，则
，
即
，故D 正确.
【变式训练5-14】（多选）已知过点
作曲线
的切线有且仅有1 条，则
的可能取值为
（ ）
A．－5
B．－3
C．－1
D．1
【答案】AC
【解析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点
代入，并将切线有且
仅有条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可．
由已知得
，则切线斜率
，切线方程为
，
直线过点
，则
，化简得
，
切线有且仅有条，即
，化简得
，即
，解得
或
.
故选：AC.
【变式训练5-15】（多选）过
轴上一点作函数
的图象的切线，则切线的条数可能为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】BCD
【解析】对函数求导，设切点坐标为
，写出切线方程，设
轴上一点
，代入切线方程后由方
程零点个数可得到结论.
由题意知，
，
设切点为
，
则切线方程为
，
设
轴上一点
，代入切线方程，
得
，即
，
该方程有可能有一个，两个或三个零点，所以可作切线的条数为1,2 或3 条，
故选：BCD.
【变式训练5-16】已知函数
，不论
为何值，曲线
均存在一条固定的切线，
则这条切线的方程是_________．
【答案】
【解析】求出导函数，求出与
无关的导数值，可得切点与斜率，从而可得切线方程.
由
，得
，
则
，
这两个值均与
无关，
所以不论
取何值，曲线
均存在一条固定的切线，
此时切点为
，
所以切线方程为
，
故答案为：
【变式训练5-17】若曲线
只有一条过坐标原点的切线，则
=______.
【答案】
或
【解析】设切点为
，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得
方程
有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可.
解：∵
，∴
，
设切点为
,则
,切线斜率
,
∴切线方程为：
,
∵切线过原点，
∴
,整理得：
,
∵曲线
只有一条过坐标原点的切线切，
∴
,解得
或
,
∴
或
,
故答案为：
或
【变式训练5-18】过点
可以作两条直线与曲线
相切，则实数a 的取值范围是______．
【答案】
【解析】设出切点的坐标，利用导数研究切点和斜率，根据切线有
条，通过构造函数法，结合导数求得
的取
值范围.
设切点坐标为
，
，故斜率为
，
切线方程为
，代入
得
，
【变式训练5-19】过点
作曲线
的切线有且只有两条，切点分别为
，
，则
.
【答案】
【解析】设切点坐标为
，根据导数的几何意义列式可得
，再根据韦达定理即可得答案.
由题意得
，
过点
作曲线
的切线，设切点坐标为
，
则
，即
，
由于
，故
，
因为过点
作曲线
的切线有且只有两条，
所以
有两个解
，且
，即
或
，
所以
，
，
所以
.
故答案为：
【变式训练5-20】过点
有条直线与函数
的图象相切，则
的取值范围为______．
【答案】
【解析】设切点为
，利用导数求出切线方程，将点
的坐标代入切线方程，可得出
，
则直线
与函数
的图象有三个交点，利用导数分析函数
的单调性与极值，数形结
合可得出实数
的取值范围.
设切点为
，对函数
求导得
，切线斜率为
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，
将点
的坐标代入切线方程可得
，
所以，
，令
，其中
，
所以，
，列表如下：
减
极小值
增
极大值
减
由
可得
，解得
或
，如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与函数
的图象有三个交点，
因此，
.
故答案为：
.
题型06：公切线问题
【典型例题1】若直线
是曲线
的切线，也是
的切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设直线
与
和
的切点分别为
，
，
分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到
的值.
设直线
与
和
的切点分别为
，
，
则切线方程分别为，
，
，
化简得，
依题意上述两直线与
是同一条直线，
所以，
，解得
，
所以
．
故选：C．
【典型例题2】若曲线
与曲线：
有公切线，则实数
的最大值为（ ）
A．
+
B．
-
C．
+
D．
+
【答案】C
【解析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得
，整理得
，利用导数研究函数的单调性求出
即可得出结果.
设在曲线
上的切点为
，则切线斜率为
，
在曲线
上的切点为
，切线斜率为
，
所以切线方程分别为
、
，
即
、
，
有
，整理得
，
设
，则
，
令
，令
，
故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以在
上
，如图，
由图可知
，即k 的最大值为
.
故选：C.
【典型例题3】若两曲线
与
存在公切线，则正实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设公切线与曲线的切点为
，
，利用导数的几何意义分别求
和
上
的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数
范围.设公切线与曲线
和
的交点分别为
，
，其中
，
对于
有
，则
上的切线方程为
，即
，
对于
有
，则
上的切线方程为
，即
，
所以
，有
，即
，
令
，
，
令
，得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，故
，即
.
故选：B.
【点睛】应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造
函数研究单调性求参数范围.
【典型例题4】已知曲线
与曲线
相交，且在交点处有共同的切线，则
，
切线方程为 ．
【答案】
【解析】解析：设两曲线的交点为
，∵
，
，∴由题意可
得
解得
，
，故
，∴切线方程为
．
【典型例题5】若直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
．
【答案】5
【解析】由直线
是曲线
的切线求解
，可得切线方程，再设直线
与曲线
的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求．
由
，得
，由
，解得
，
则直线
与曲线
相切于点
，
∴
，得
，
∴直线
是曲线
的切线，
由
，得
，设切点为
，
则
，且
，联立可得
，
解得
，所以
．
∴
．
故答案为：5．
【变式训练6-1】若函数
与函数
有公切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成
关于一个变量
的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.
设公切线与函数
切于点
，
，切线的斜率为
，
则切线方程为
，即
设公切线与函数
切于点
，
，切线的斜率为
，
则切线方程为
，即
所以有
因为
，所以
，可得
，
，即
，
由
可得：
，
所以
，
令
，则
，
，
设
，则
，
所以
在
上为减函数，
则
，所以
，
所以实数
的取值范围是
，
故选：B．
【点睛】求曲线过点
的切线的方程的一般步骤是：
（1）设切点
（2）求出
在
处的导数
，即
在点
处的切线斜率；
（3）构建关系
解得
；
（4）由点斜式求得切线方程
.
【变式训练6-2】（多选）若两曲线
与
存在公切线，则正实数a 的取值可能是（ ）
A．1.2
B．4
C．5.6
D．
【答案】ABD
【解析】分别设切点分别为
，
，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，
从而可得出
，设
由导数求出其值域即可.
由
，则
，由
，则
设切线与曲线
相切于点
，则斜率为
，
所以切线方程为
，即
①
设切线与曲线
相切于点
，则斜率为：
，
则切线方程为
，即
，②
根据题意方程①，②表示同一条直线，则
所以
，令
（
），
则
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，由
题意
.
故答案为：ABD
【变式训练6-3】已知曲线
和曲线
，若存在斜率为1 的直线
与
，
同时相切，则b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1 即导数值为1 分别求
出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得
与
的关系式，再根据二次函数性质可求出b 的取
值范围．
，
，设斜率为的切线在
，
上的切点横坐标分别为
，
，
由题知
，∴
，
，
两点处的切线方程分别为
和
，
故
，即
.
故选：D.
【变式训练6-4】若两曲线y=x2-1 与y=alnx-1 存在公切线，则正实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数
求的单调区间、极值、最值即可得出a 的取值范围.
设
切线：
，即
切线：
，即
，
令
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
故选：A．
【变式训练6-5】若直线
（
）为曲线
与曲线
的公切线，则l 的纵截距
（ ）
A．0
B．1
C．e
D．
【答案】D
【解析】设切点分别为
，
，分别求出切线方程，再令切线方程相等；
设l 与
的切点为
，则由
，有
.
同理，设l 与
的切点为
，由
，有
.
故
解得
或
则
或
.
因
，所以l 为
时不成立.故
，
故选：D.
【变式训练6-6】若直线
与曲线
相切，直线
与曲线
相切，则
的
值为（ ）
A．
B．1
C．e
D．
【答案】B
【解析】设出切点，求出
，
，根据斜率列出方程，得到
，
，构造
，
利用函数单调性和图象特征，求出
，从而求出答案.
设直线
与曲线
相切于点
，
直线
与曲线
相切于点
，
则
，且
，所以
，
，且
，所以
，
令
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
且
，
，所以当
时，
，
因为
，
，即
，
所以
，
所以
，故
故选：B
【点睛】对于不知道切点的切线方程问题，要设出切点，再根据斜率列出方程，进行求解.
【变式训练6-7】.已知函数
，
．若经过点
存在一条直线l 与曲线
和
都相切，则
（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】先求得
在
处的切线方程，然后与
联立，由
求解
解析：∵
，∴
，∴
，∴
，∴曲线
在
处的切线方程
为
，由
得
，由
，解得
．
故选：B
【变式训练6-8】已知
，
，直线与函数
，
的图象都相切，且与
图象的切点为
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果.
，
直线是函数
的图象在点
处的切线，
其斜率为
（1）
，
直线的方程为
．
又因为直线与
的图象相切，
，消去
，可得
，
得△
不合题意，舍去），
故选A
【变式训练6-9】若函数
与
的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标
表示，并据此建立关系，将a
由切点坐标
表示，进而将a 转化为关于
的函数，通过求导求其最大值.
由题意得，
，
．
设公切线与
的图象切于点
，
与
的图象切于点
，
∴
，
∴
，∴
，
∴
，∴
．
设
，则
，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴
，
∴实数a 的最大值为
，
故选：A．
【变式训练6-10】已知函数
，其反函数为
，若直线
为
与
的图象的公切线，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．这样的
不存在
【答案】C
【解析】易得
，分别设出切点为
，
，根据导数的几何意义求出切线方程，结合
为公切线可得关于
的方程组，解出即可.
因为
反函数为
，所以
，
设
是曲线
的切点，
设
是曲线
的切点，
因为
，
，
所以
的切线方程为：
，
即
，
所以
的切线方程为：
，
即
，
又因为直线
为
与
的图象的公切线，
所以
，解得
，
故选：C.
【变式训练6-11】若直线l 与曲线y=
和x2+y2=
都相切，则l 的方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x+
C．y=
x+1
D．y=
x+
【答案】D
【解析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
设直线在曲线
上的切点为
，则
，
函数
的导数为
，则直线的斜率
，
设直线的方程为
，即
，
由于直线与圆
相切，则
，
两边平方并整理得
，解得
，
（舍），
则直线的方程为
，即
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
【变式训练6-12】3.已知函数
，
，若直线
与函数
，
的图象都相
切，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用导数的几何意义分别得到
、
，再运用基本不等式即可求解.
设直线
与函数
，
的图象相切的切点分别为
，
.
由
，有
，解得
，
.
又由
，有
，解得
，
，可得
，当且仅当
，
时取“=”.
故选：B
【变式训练6-13】若仅存在一条直线与函数
（
）和
的图象均相切，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分别求出函数
上切点
处的切线方程和
上切点
处的切线方程，消去
，得
，该问题转化为
有唯一的值时，求
值，即可通过导数研究函数
的
单调性即可得到答案.
设直线与
的切点为
，
由
可知，该直线的斜率为
，即该直线的方程为
，
即为
，
设直线与
的切点为
，
由
可知，该直线的斜率为
，即该直线的方程为
，
即为
，
∵仅存在一条直线与函数
（
）和
的图象均相切，
∴
，∴即
，
令
，则
，
当
时，即
，当
时，即
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，则
在
处取得最大值，
，图像为
∵切线只有一条，即
的值唯一，∴只有
，
故选：
.
【变式训练6-14】若直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
（ ）
A．
B．
C．26
D．28
【答案】C
【解析】设直线
与曲线
切于点
，与曲线
切于点
，
再由切点处的导数值等于斜线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解，即可得出答案.
设直线
与曲线
切于点
，
与曲线
切于点
．
对于函数
，则
，
解得
或
（舍去）．
所以
，即
．
对于函数
，
则
，
整理得
，所以
，故
．
故选：C.
【变式训练6-15】若直线
与曲线
和
均相切，则直线的方程为
_______.
【答案】
【解析】利用导数的几何意义及点在曲线上，结合直线的点斜式方程即可求解.
设
，
上的切点分别为
，
，
由
，
，可得
，
故
在
处的切线方程为
，
在
处的切线方程为
，
由已知
,
所以
，
故
或
，而
，不合题意舍去，故
，此时直线
的方程为
.
故答案为：
.
【变式训练6-16】已知曲线
与曲线
有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.
【答案】
【解析】由题可设两曲线的切点，然后根据导数的几何意义可得切线方程，进而即得.
设曲线
与曲线
的切点分别为
，
，
又
，
，
所以
，
，
所以切线为
，即
，
，即
，
所以
，
所以
，
，即这条切线的斜率为
.
故答案为：
.
【变式训练6-17】若存在直线与曲线
，
都相切，则
的范围是__________.
【答案】
【解析】设直线与
相切于点
，
，结合导数的几何意义可求得切线方程；根据
该方程的唯一性可得方程组，整理得到
；令
，利用导数可求
得
的值域，由此可得
的范围.
设该直线与
相切于点
，
，
，
该切线方程为：
，即
；
设该直线与
相切于点
，
，
，
该切线方程为：
，即
，
，则
；
令
，
；
当
时，
；当
时，
；
在
，
上单调递减；在
，
上单调递增；
又
，
，
，
的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式训练6-18】已知直线分别与曲线
，
相切于点
，
，则
的
值为 .
【答案】1
【解析】利用导数求切点处的切线方程，可得
，通过指数式对数式的运算，求出
的值.
由
，
，有
，
，
在点
处的切线方程为
，
在点
处的切线方程为
，
则有
，得
，
所以
，可得
.
故答案为：1.
【变式训练6-19】已知直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
的
值为 .
【答案】2
【解析】由
求得切线方程，结合该切线也是
的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线
，从而求得正确答案.
设
是
图像上的一点，
，
所以
在点
处的切线方程为
，
①，
令
，解得
，
，所以
，
，所以
或
（此时①为
，
，不符合题意，舍去），
所以
，此时①可化为
，
所以
.
故答案为：
【变式训练6-20】已知函数
，
．
(1)若
的图像在点（1，f（1））处的切线过（3，3），求函数y=xf（x）的单调区间；
(2)当a>0 时，曲线f（x）与曲线g（x）存在唯一的公切线，求实数a 的值．
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
(2)
【解析】（1）先由切线方程求出
，利用导数求出函数的单调区间；（2）设公切线与两曲线的切点为
，
，利用分离参数法求出
，
，
构造函数
，利用导数判断出F（x）的单调性和最大值，即可求得.
（1）
由
得
，又
，
所以在x=1 处切线方程为
，代入（3，3）得
所以
，
，
由
得
，由
得
，
所以单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）
设公切线与两曲线的切点为
，
，易知
，
由
，
，
所以
，
由
，故
，所以
，故
，
所以
，
，
构造函数
，
问题等价于直线y=a 与曲线y=F（x）在x>1 时有且只有一个交点，
，当
时，F（x）单调递增；当
时，F（x）单调递减；
的最大值为
，
，当x→+∞时，F（x）→0，
．
题型07：切线平行、垂直、重合问题
【典型例题1】函数
存在与直线
平行的切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先求导数，利用导数的几何意义可求答案.
函数
存在与直线
平行的切线，即
在
上有解，
而
，所以
，因为
，所以
，所以
．
所以
的取值范围是
．
当直线
就是
的切线时，设切点坐标
，
可得
，解得
．
所以实数
的取值范围是：
．
故选：B．
【典型例题2】对于三次函数
，若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处点的切线
重合，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，然后求得
，由
求得
，设
，由
得
及
，再由
得
，解得
后可得
．
设
，
，
设
，则
，即
……①
又
，即
……②
由①②可得
，
.
故选：B.
【典型例题3】若直线
与两曲线
分别交于
两点，且曲线
在点
处的切线为
，曲
线
在点
处的切线为
，则下列结论：
①
，使得
；②当
时，
取得最小值；
③
的最小值为2；④
最小值小于
．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】先利用导数求得
两条切线方程，令
,可知
，故存在零点，①正确；
，通过求导讨论单调性可知
有最小值，进而可以判断最小值范围，可以判断②正确，③错误，
④正确.
解：由直线
与两曲线
分别交于
两点可知：
曲线
上
点坐标
，可求导数
，则切线
斜率
，可知切线
：
.
曲线
上
点坐标
，可求导数
，则切线
斜率
.
令
，则
，令
，
，
由零点存在定理，
使
，即
，使
，即
，故①正确.
，令
，由
同理可知有
，使
，令
，
在
处取最小值，即当
时，
取得最小值，故②正确.
是对勾函数，在
上是减函数，
，故③错误，④正确.
故选：C
【变式训练7-1】已知函数
图象上存在两条互相垂直的切线，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据已知条件用换元法令
，利用导数及三角函数的差的正弦公式即可得出导函数的
范围，根据已知条件得出，再利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解.
由
，令
，
由
，
得
，所以
由题意可知，存在
，使得
，
只需要
，即
，所以
，
，
所以
的最大值为
.
故选: D.
【点睛】解决此题的关键是用换元思想，再利用存在两条互想垂直的直线进而得出，再利用三角函数的性质即
可求解.
【变式训练7-2】已知函数f(x)＝x2＋2x 的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则
x2－x1的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【解析】求出导函数
，由切线垂直斜率乘积为
得
的关系，计算
，用基本不等式求最小值得结
论．
因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，
所以f′(x)＝2x＋2，
所以函数f(x)在点A，B 处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，
因为函数f(x)的图象在点A，B 处的切线互相垂直，
所以f′(x1)f′(x2)＝－1．
所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，
所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，
所以x2－x1＝
[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥
＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，
即x1＝－
，x2＝－
时等号成立．
所以x2－x1 的最小值为1．
故选：B．
【变式训练7-3】函数特性
：“函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直”，则下
列函数中满足特性
的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若满足特性
，即在两点处切线斜率乘积为
，利用导数的几何意义即可判断选项.
设函数
的图像上存在两点
，
，若
，则图像在这两点处的切
线互相垂直，
对A，
，则
，故A 不正确；
对B，
，则
，因为
，所以存在
，
满足
，故B 正
确；
对C，
，则
，故C 不正确；
对D，
，则
，故D 不正确，
故选：B
【变式训练7-4】若函数
的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】求导，由导数的几何意义和直线垂直的性质，以及余弦函数进行求解.
因为
，所以
，
因为函数
的图象上存在两条相互垂直的切线，
不妨设函数
在
和
的切线互相垂直，
则
，即
①，
因为a 一定存在，即方程①一定有解，所以
，
即
，解得
或
，
又
，所以
或
，
，
所以方程①变为
，所以
，故A，B，D 错误.
故选：C.
【变式训练7-5】若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数a 的值为（ ）
A．－4
B．－3
C．4
D．3
【答案】D
【解析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.
因为
，所以
，
当
时，
，
所以曲线
在点
处的切线的斜率等于3，
所以直线
的斜率等于
，
即
，解得
，
故选:D.
【变式训练7-6】设曲线
在点
处的切线与直线
平行，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据导数求解
，由两直线平行斜率相等即可求解.
由
得
，故
，
由于点
处的切线与直线
平行，且直线
的斜率为
，所以
，故选：C
【变式训练7-7】已知函数
的图象上存在不同的两点
，使得曲线
在这两
点处的切线重合，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先根据导数的几何意义写出函数
在点
、
处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率
相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出
，判断单调性，可得出
的取值范围．
解：当
时，
的导数为
；
当
时，
的导数为
，
设
，
，
，
为该函数图象上的两点，且
，
当
，或
时，
，故
，
当
时，函数
在点
，
处的切线方程为：
；
当
时，函数
在点
，
处的切线方程为
．
两直线重合的充要条件是
①，
②，
由①及
得
，由①②令
，则
，
且
，记
导数为
，且
在
恒成立，
则函数
在
为减函数，
，
∴实数
的取值范围是
．故选：B
【变式训练7-8】若曲线
存在垂直于
轴的切线，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求出导数，由两直线垂直的条件，可得
有实数解，运用判别式大于等于0，解不等式即
可得到所求范围．
的导数为
，
由于存在垂直于
轴的切线，
可得
有实数解，
即有
，即有
，
解得
或
．
故选：B
【变式训练7-9】（多选）若曲线
在
处的切线与直线
互相垂直，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由已知，选项A、选项B，可根据给出的曲线解析式直接求导做出判断，选项C，可将
带入求解
出的
中进行求解判断，选项D，根据求解出的
结合直线方程的斜率，利用在
处的切线与直线
互相垂直即可列出等量关系，求解出
的值.
选项A，已知曲线
，所以
，故该选项错误；
选项B，已知曲线
，所以
，故该选项正确；
选项C，因为
，所以
，故该选项正确；
选项D，直线
的斜率为
，而
，由已知，曲线
在
处的切线与
直线
互相垂直，所以
，所以
，该选项正确；
故选：BCD.
【变式训练7-10】若曲线
在
处的切线平行于x 轴，则实数
_____________．
【答案】1
【解析】先求出函数的导数，再由题意知在
处的导数值为0，列出方程求出a 的值．
由题意得
的导数为
，
∵在点
处的切线平行于x 轴，即切线斜率为，
∴
，得
，
故答案为：1．
【变式训练7-11】若函数
的图像在点
处的切线与直线
平行，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对函数
求导，进而求出
，由导数的几何意义，构造方程解
.
由函数
得，
，所以
，
直线
的斜率
，
因为函数
的图像在点
处的切线与直线
平行，
由导数的几何意义得
，即
，所以
.
故选：A.
【变式训练7-12】若曲线
在
处的切线与直线
相互垂直，则
______．
【答案】
【解析】先求出函数的导函数，再求出函数在
处的导数值，再利用切线与直线
垂直即可得到
答案.
已知
，则
,
因为曲线
在
处的切线与直线
相互垂直，
所以
，解得
.
故答案为：.
【变式训练7-13】已知函数
图像在点
和点
处的两条切线互相垂直，若
，则实数a 的范围是 ．
【答案】
【解析】假设两切点坐标，得出对应的切线的斜率
，分析题意可得
，即可解得a 的范
围.
解：由题意，
则
不妨设
，点
和点
，两切线的斜率分别为
，
∴
，∴
，
∴
等价于
，
等价于
或
解得
，或
．故a 的范围是
．
故答案为：
.
【变式训练7-14】二次函数
与
在它们的一个交点处切线互相垂直，
则
的最小值为 .
【答案】
【解析】根据交点处切线垂直得到
，再利用基本不等式中的乘1 法即可得到最值.
解：设该交点为
，
因为
，则
，
因为
，则
，
因为两函数在交点处切线互相垂直，
所以
，
，
分别化简得
，
，
上述两式相加得
，又
，
其中
，
当且仅当
，且
即
时取等号.
故所求最小值为
，
故答案为：
.
【点睛】切线问题是导数中常遇到的问题，本题设交点坐标，根据交点处切线垂直得到等式，再转化为基本不
等式中的最值问题.
【变式训练7-15】已知曲线y＝
存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数： .
【答案】
（答案不唯一）
【解析】直接根据导数的几何意义即可得结果.
两条切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等，
例如
，
，
，
，
此时
，
，
函数在
处的切线方程为：
；
函数在
处的切线方程为：
；合乎题意，
故答案为：
（答案不唯一）
题型08： 切线倾斜角取值范围
【典型例题1】曲线
，在点
处的切线的倾斜角为____________.
【答案】
【解析】对所给曲线求导代入
，得到在
处的导数值，进而得到斜率，得倾斜角的正切值，得答案.
对
求导得，
，
当
时，
，
由导数的几何意义，在点
处的切线的斜率为
，
即
，所以
.
故答案为：
.
【典型例题2】函数
的图象在
处的切线对应的倾斜角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
.
【答案】D
【解析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在
处的切线斜率，再利用二倍角公式和平方关系式得到
的值．
因为
，
所以
，
当
时，
，此时
，
∴
．
故选：D.
【变式训练8-1】设P 是曲线
上任意一点，则曲线在点P 处的切线的倾斜角α 的取值范围是 __．
【答案】
【解析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．
由已知得
，
由
得
．
故答案为：
．
【变式训练8-2】已知点P 在曲线
上，
为曲线在点P 处的切线的倾斜角，求
的取值范围．
【答案】
【解析】由题，
，求出
，结合均值不等式讨论
的值域，即可求得
的范围，即可进一步求得
的取值范围
函数
的导数为
．
因为
，所以
，
所以
，即
；因为
，所以
，即
．
【变式训练8-3】设点
是曲线
上任意一点，直线过点
与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范
围为______.
【答案】
【解析】先求出函数的导数，根据函数导数的几何意义，可求得斜率，进而求得倾斜角的范围.
设直线的倾斜角为
故答案为：
【变式训练8-4】设点
是函数
图象上的任意一点，点
处切线的倾斜角为
，则
角
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求出
，令
后可求
，再根据导数的取值范围可得
的范围，从而可得
的取值范围.
∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
或
.
故选：B.
题型09： 满足条件的切线是否存在
【典型例题1】若曲线
存在垂直于
轴的切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
在
有解求解.
解：由题意，
在
有解，
则
在
有解，
因为
在
上单调增，
所以
，
则
，
故选：C．
【典型例题2】若曲线
存在与直线
平行的切线，则实数
的最大值为 .
【答案】3
【解析】首先求导，根据题意得到
在
有解，再设
，
，根据
求解即可.
，
因为曲线
存在与直线
平行的切线，
所以
在
有解.即
在
有解.
设
，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，即
.
所以
，即
的最大值为.
故答案为：3
【典型例题3】已知函数
．
(1)若m＝－4，求
的极值．
(2)是否存在非零实数m，使得直线
与曲线
相切？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)极小值为－27，
无极大值；
(2)存在；
.
【解析】（1）若m＝－4，则
．
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增．
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
故
在
处取得极小值，且极小值为－27，
无极大值．
（2）假设存在非零实数m，使得直线
与曲线
相切，且切点的横坐标为t，
因为
，所以
将（*）代入（**），得
，整理得t＝0 或
．
依题意可得t≠0，所以
，代入（*），得
或m＝0（舍去），
故存在非零实数m，使得直线
与曲线
相切，且
．
【变式训练9-1】函数
在区间
的图象上存在两条相互垂直的切线，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由导数的几何意义求解即可.
设切点横坐标为
，所作切线斜率为
，则
，
当
时，
，故不存在
；
当
时，满足：
.
所以：
.
故选：C.
【变式训练9-2】已知曲线
上一点
处的切线为，曲线
上至多存在一
条与垂直的切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据切点求出a 值，再求导求出
在点
处的切线斜率，由此得到与之切线垂直的直线斜率，最后
对曲线
求导，根据题意列式计算即可.
将点
代入曲线
，解得
，
对曲线
求导得
，点
处的切线斜率为
，故与垂直的切线斜率
为
，
对曲线
求导得
，若曲线
上至多存在一条与垂直的切线，即
至多一个解，由此可得
，解得
.
故选：A
【变式训练9-3】已知曲线
和
（
且
）存在一条过公共点的切线，则
的值为 ．
【答案】
【解析】第一步：设函数
，分别求出
的导函数；第二步：根据导数的几何意义
列方程组
；第三步：解方程组即可得解.
第一步：设函数
，分别求出
的导函数
设函数
，则
．
第二步：根据导数的几何意义列方程组
设两曲线的公共点坐标为
，由题意得
即
第三步：解方程组即可得解
由
得
，则
，得
，解得
，故
的值为
．
故答案为：
【变式训练9-4】已知函数
．
(1)讨论
的单调性．
(2)试问曲线
是否存在经过坐标原点且斜率不为0 的切线？若存在，求切点的横坐标；若不存在，说明
你的理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）求导得到导函数，讨论
，
，
，
四种情况，根据导函数的正负确定单
调性.
（2）假设存在，根据切线性质得到
，解得答案.
（1）
，
，所以
的根为
，
．
①当
时，
当
时，
，函数单调递减；
当
和
时，
，函数单调递增．
②当
时，
，
在
上单调递减．
③当
时，
，
当
时，
，函数单调递增；
当
和
时，
，函数单调递减．
④当
时，
，
当
时，
，函数单调递增；
当
和
时，
，函数单调递减．
综上所述：
①当
时，
在
上单调递减；在
和
上单调递增.
②当
时，
在
上单调递减．
③当
时，
在
上数单调递增；在
和
上单调递减．
④当
时，
在
上单调递增；在
和
上单调递减．
（2）假设
存在经过坐标原点且斜率不为0 的切线，设切点的横坐标为m，斜率为k，
则
，消去k，得
，解得
或
．
当
时，
，不成立；
当
，即
时，
．
综上所述：
当
时，曲线
不存在经过坐标原点且斜率不为0 的切线，
当
且
时，曲线
存在经过坐标原点且斜率不为0 的切线，且切点的横坐标为
．
题型10：与切线相关的最值问题
【典型例题1】若点P 是曲线
上任意一点，则点P 到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】求出平行于直线
且与曲线
相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即
可求解.
设平行于直线
且与曲线
相切的切线对应切点为
，
由
，则
，
令
，
解得
或
（舍去），
故点P 的坐标为
，
故点P 到直线
的最小值为：
.
故选：A.
【典型例题2】动直线分别与直线
，曲线
相交于
两点，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当点
处的切线和直线
平行时，
的值最小，结合导数和解析式求得点
，再由点到直线
距离公式即可求解.
设点
是直线
上任意一点﹐点
是曲线
上任意一点，当点
处的切线和直线
平
行时，这两条平行线间的距离
的值最小﹐
因为直线
的斜率等于
，
曲线
的导数
，令
，
可得
或
(舍去)，故此时点
的坐标为
，
，
故选：A.
【典型例题3】已知点P 是曲线
上一点，若点P 到直线
的距离最小，则点P 的坐标
为___________.
【答案】
【解析】求出平行于直线
且与曲线
相切的切点坐标，此时曲线上的点P 到直线的距
离最小.
解：由题意知，曲线
，
，令
，得
（舍），所以
函数在
上单调递减，在
上单调递增，如下图所示，为曲线
与直线
在坐标系中的位置.
在点P 的切线与直线
平行时，此时曲线上的点P 到直线
的距离最小.设
，则
，则
，解得
（
舍去），所以
.
故答案为：
【典型例题4】已知函数
，直线的方程为
，则函数
上的任意一点
到直线的距离的
最小值为_________
【答案】
【解析】根据导数的几何意义，结合平行线间距离公式进行求解即可.
函数
上任意一点
的坐标为
，过该点的切线为，
当直线与直线
平行时，点
到直线的距离的最小，
由
，
所以直线的方程为
，
因此函数
上的任意一点
到直线的距离的最小值为
，
故答案为：
【变式训练10-1】已知
，
为正实数，直线
与曲线
相切，则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
，
【答案】C
【解析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得
，结合目标式有
，构造
并研究单调性，进而求值域即可.
函数
的导数为
，则
，
∴切点为
，代入
，得
，
、
为正实数，即
，
∴
，令
且
，则
，即
为增函数，
．
故选：C．
【变式训练10-2】曲线
上的点到直线
的最短距离是（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】由题意可知曲线上的点到直线
的最短距离即与
平行的切线的切点到直线
的距离，因此根据导数的几何意义先求出切点即可求出结果.
，所以
，设曲线在
处的切线与直线
平行，则
，所以
，切点
，曲线
上的点到直线
的最短距离即为切点P 到直线
的距离
，
故选：A．
【变式训练10-3】已知函数
在
处的切线为l，第一象限内的点
在切线l 上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】求出x=1 处的导数值，根据点斜式直线方程写出l 的方程，从而得出a，b 之间的关系，运用基本不等
式即可求解.
函数
，
，
，
，
由点斜式直线方程得：切线l 的方程为
，
，
由于点P 在直线l 上，则
且
，即
，
则
，当且仅当
，即
时取等号；
故选：C.
【变式训练10-4】已知直线
是曲线
的切线，则
的最小值为（ ）
A．
B．0
C．
D．3
【答案】A
【解析】对曲线求导，求出其在
处的切线方程，从而得到了切线中
的关系
，
然后将所求
进行构造，与已知条件建立联系，再用均值不等式求解最小值即可.
设直线
与曲线
相切于点
，
当
时，直线
不是曲线
的切线，故
，
由
得
，所以切线方程为
，即
，
所以
，所以
，所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.故选：A
【变式训练10-5】若点
为曲线
上的动点，点
为直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】根据
、
图象分析
最小时P 的位置，利用导数几何意义求
上斜率为1 的切线，应用
平行线距离公式求
的最小值.
由题意，要使
的最小，
为平行于
的直线与
的切点，
令
，可得
，故切点为
，
以
为切点平行于
的切线为
，此时有
.
故选：A
【变式训练10-6】已知函数
的图象与函数
的图象关于某一条直线l 对称，若P，Q 分别
为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于
为函数
图象上任意一点，关于直线
的对称点为
在
的图象上，所以函数
的图象与
的图象关于直线
对称，从而将问
题转化为这两点之间距离的最小值等于P 到直线
距离最小值的2 倍，然后利用导求出与直线
平行，
且与曲线
相切的直线，从而可求得答案
设
为函数
图象上任意一点，则
，
关于直线
的对称点为
，
设
，
，则
，
，所以
，
所以
，即函数
的图象与
的图象关于直线
对称，
所以这两点之间距离的最小值等于P 到直线
距离最小值的2 倍.
函数
在点
处的切线斜率为
，令
得,
，
，
所以点P 到直线
距离的最小值为
，
所以这两点之间距离的最小值为
.
故选：A
【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，考查函数图象的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，解题的
关键是得到函数
的图象与
的图象关于直线
对称，从而将问题转化为这两点之间
距离的最小值等于P 到直线
距离最小值的2 倍，属于较难题
【变式训练10-7】实数
，
，
，
满足：
，
，则
的最
小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．8
【答案】D
【解析】由题设，将问题转化为求
上的点与
上的点的距离的平方的最小值，利用导数的
几何意义求
上与
平行的切线方程，应用点线距离公式求目标式的最值即可.
由
，则
，又
，
的最小值转化为：
上的点与
上的点的距离的平方的最小值，
由
，得：
，
与
平行的直线的斜率为1，
∴
，解得
或
（舍，可得切点为
，
切点到直线
之间的距离的平方，即为
的最小值，
的最小值为：
.
故选：D.
【变式训练10-8】在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线
上，则点P 到直线
的
距离的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】将问题转化为计算曲线上的点到直线的最短距离，由导数的几何意义求得即可.
设直线
与曲线
相切于点
，
所以
，则
，因为
解得
，即则
，
故曲线
与直线
的最短距离为点
到直线
的距离，
所以
故选：C
【变式训练10-9】已知直线
与曲线
，
分别交于点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
【答案】B
【解析】设与直线
垂直，且与
相切的直线为，切点为
，设与直线
垂
直，且与
相切的直线为
，切点为
，进而根据导数的几何意义求得
坐标得
，即
可得直线
与直线
重合时
最小，再求距离即可.
解：设与直线
垂直，且与
相切的直线为，
设与直线
垂直，且与
相切的直线为
，
所以，
，
设直线与
的切点为
，
因为
，所以
，解得
，
，即
，
设直线
与
的切点为
，
因为
，所以
，解得
，
，即
，
此时
，
所以，当直线
与直线
重合时，
最小，最小值为
.
故选：B
【变式训练10-10】已知函数
的图像在
处的切线与在
处的切线相互
垂直，那么
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求出
，根据导数的几何意义得到
，根据余弦函数的最值可得
且
，或
且
，分两种情况求出
，然后求
出其最小值即可.
因为
，所以
，
依题意可得
，
所以
,
所以
且
，或
且
，
当
且
时，
，
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，
，
，
所以当
或
时，
取得最小值
.
当
且
时，
，
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，
，
，
所以当
或
时，
取得最小值
.
综上所述：
的最小值是
.
故选：B
【变式训练10-11】点
分别是函数
图象上的动点，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当函数
在点
处的切线与
平行时，
最小，根据导数的几何意义求
出切点
即可.
当函数
在点
处的切线与
平行时，
最小.
，令
得
或
（舍），所以切点为
，
所以
的最小值为切点
到直线
的距离
，
所以
的最小值为
.
故选：D.
【变式训练10-12】设
，
，则
的最小值为__________．
【答案】
【解析】利用两点距离公式的几何意义将问题转化为求
图像上的动点与
图像上的动点最小距离，
利用
与
关于
的对称性，分别求出切点
，则
即为所求最小值.
由两点距离公式的几何意义可知
表示点
到
的距离，
表示点
到
的距离，
而
是
上的点，
是
上的点，
是
上的点，且
与
关于直
线
对称，
所以
的最小值可转化为
图像上的动点与
图像上的动点最
小距离，
显然，
与平行
的切线的切点
，和
与平行
的切线
的切点
，它们之间的距离
就是所求最小距离，
对于
，设切点为
，有
，则
，故
，则
，故
，
对于
，设切点为
，有
，则
，故
，则
，故
，
所以
，所以题设式子的最小值为
.
故答案为：
.
【变式训练10-13】设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
的最小值为
.
【答案】
/
【解析】根据
与
互为反函数，
的最小值为P 或Q 中一个点到
的最短距离
的两倍，求其最小值即可得出答案.
由
，得：
，
.
所以
与
互为反函数．
则它们的图象关于
对称．
要使
的距离最小，则线段
垂直直线
.
点
在曲线
上，点Q 在曲线
上，
设
，
.
又P，Q 的距离为P 或Q 中一个点到
的最短距离的两倍．
以Q 点为例，Q 点到直线
的最短距离
所以当
，即
时，d 取得最小值
，
则
的最小值等于
.
故答案为：
【变式训练10-14】已知点P 在函数
的图象上，点Q 在函数
的图象上，则
的最小
值为 .
【答案】
【解析】根据函数在某点处的切线斜率，利用两点间距离，两直线位置关系，结合图象，可得答案.
由函数
，求导可得：
，则
，
在
处的切线方程为
，整理可得：
；
由函数
，求导可得：
，则
，
在
处的切线方程为
，整理可得
；
由直线
的斜率
，易知：直线
分别与两条切线垂直..
故答案为：
.
【变式训练10-15】已知函数
，若
且
，则
最小值是 ．
【答案】
/
【解析】根据题意，求导得到与
相切并且与
平行的直线方程，然后代入计算，即可得到结
果.
由
得
，令
得
，得切点坐标
，
则可得切线方程为
，即
，
再令
，得
，于是符合题意的
，因此：
．
故答案为：
.
