文档文本内容
第 02 讲 用样本估计总体
目录
第一部分：知识点必背................................................1
第二部分：高考真题回归..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................4
高频考点一：百分位数的估计.......................................4
高频考点二：总体集中趋势的估计...................................5
角度1：样本的数字特征.........................................5
角度2：频率分布直方图中的数字特征.............................7
高频考点三：总体离散程度的估计..................................11
第一部分：知识点必背
知识点一：总体百分位数的估计
（1）第 百分位数的定义
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这
个值,且至少有 的数据大于或等于这个值.
（2）计算一组 个数据的第 百分位数的步骤：
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算 .
第3步,若 不是整数,而大于 的比邻整数为 ,则第 百分位数为第 项数据;若 是整数,则第 百分位
数为第 项与第 项数据的平均数.
知识点二：样本的数字特征
（1）众数
一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.（2）中位数
一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或
最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.
（3）平均数
一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据 ， ， ， 的平均数为
（4）标准差与方差
如 果 有 个 数 据 ， ， ， 那 么 平 均 数 ， 标 准 差 为 ：
，方差：
知识点三：在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值
(1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数;
(2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的;
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横
坐标之和.
知识点四：平均数，方差的线性关系：
数据 平均数 方差
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
第二部分：高考真题回归
1．（多选）（2023·全国·新高考Ⅰ卷）有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，则
（ ）
A． 的平均数等于 的平均数
B． 的中位数等于 的中位数
C． 的标准差不小于 的标准差
D． 的极差不大于 的极差2．（2022·全国乙卷）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎
叶图：
则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
3．（2022·全国甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取
10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲
座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：百分位数的估计
典型例题
例题1．（2023秋·云南红河·高二校考阶段练习）国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：
环）如：6，5，9，7，4，7，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ）
A．7 B．8 C．8.5 D．9
例题2．（2023秋·甘肃白银·高三甘肃省会宁县第一中学校联考阶段练习）2020年11月1日零时广西14个
地区人口的男、女性别比如下表所示：
梧州
地区 南宁市 柳州市 桂林市 玉林市 防城港市 钦州市
市
男、女性别比/% 106.71 107.74 103.33 106.77 107.81 119.01 110.66
贺州
地区 贵港市 北海市 百色市 河池市 来宾市 崇左市
市
男、女性别比/% 108.29 108.48 104.69 105.66 104.18 107.52 108.90
根据表中数据可知，这14个数据的第60百分位数对应的地区是（ ）
A．柳州市 B．南宁市 C．北海市 D．玉林市
例题3．（2023秋·贵州·高二贵州省兴义市第八中学校联考阶段练习）今年，被称为“村超”的贵州榕江
县“和美乡村足球超级联赛”，使榕江成为网络顶流，刷爆各大网络平台，更吸引了大量游客到赛事举办
地观赛游玩，为更好地发展当地的旅游业，政府随机调查了18个旅游团对榕江县旅游满意度的综合评分情
况，得到如下数据： ．若 恰好是这组数据的上四
分位数，则 的值不可能为（ ）
A．93 B．94 C．95 D．96
例题4．（2023秋·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）如图，是某一数据的频率分布直方图，则由图形中的
数据，可知其75%分位数（上四分位数）的估计值为 （保留2位小数）练透核心考点
1．（2023秋·湖北宜昌·高二宜都市一中校考期中）已知一组数据从小到大为4，5，6，8， ，13，18，
30，若这组数据的 分位数是中位数的两倍，则 （ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
2．（2023秋·湖北·高二湖北省罗田县第一中学校联考阶段练习）一组数据按从小到大的顺序排列如下：
，则该组数据的中位数与 分位数之和等于（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
3．（多选）（2023秋·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考阶段练习）小刘同学连续抛掷质地均匀的一个骰
子10次，向上的点数分别为1，1，2，2，3，3，3，4，5，6，则这10个数的（ ）
A．众数为3 B．平均数为3 C．标准差为 D．第80百分位数为4
4．（2023秋·湖北恩施·高二恩施市第一中学校联考阶段练习）一位射击运动员在一次射击测试中射靶7
次，命中的环数依次如下：7，8，10，9，8，8，6，则该组数据的上四分位数是 ．
高频考点二：总体集中趋势的估计
角度1：样本的数字特征
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·云南红河·高二校考阶段练习）某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品
数分别为 ，关于该组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数为3 B．极差为6
C．第40百分位数为4 D．方差为4.75
例题2．（多选）（2023秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）有一组样本数据 ，
，…， ，其中 是最小值， 是最大值，则（ ）
A． ， ， ， 的平均数等于 ， ，…， 的平均数
B． ， ， ， 的中位数不等于 ， ，…， 的中位数
C． ， ， ， 的标准差不小于 ， ，…， 的标准差
D． ， ， ， 的极差不大于 ， ，…， 的极差
例题3．（多选）（2023秋·河北邯郸·高二校考开学考试）一组数据按从小到大排列为 、 、 、 、
、 ，若这组数据的平均数是中位数的 倍，则下列说法正确的是（ ）A． B．众数为 C． 分位数为 D．方差为
例题4．（2023·全国·高一随堂练习）某产品售后服务中心随机选取了20个工作日，分别记录了每个工作
日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47
45 52 59 48 51 62 48 50 52 38
(1)分别计算以上数据的平均数、中位数和众数；
(2)根据以上结果，你能为该产品的售后服务中心提供什么建议？
例题5．（2023·全国·高一随堂练习）某歌手电视大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出了如下分数．
甲： ；
乙： ．
(1)若评分规则为“根据七位评委的所有评分，计算选手得分的平均数”，求甲、乙两名选手的最终得分；
(2)若评分规则为“去掉一个最高分和一个最低分后，计算选手得分的平均数”，求甲、乙两名选手的最终
得分．
练透核心考点
1．（多选）（2023秋·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考阶段练习）小刘同学连续抛掷质地均匀的一个骰
子10次，向上的点数分别为1，1，2，2，3，3，3，4，5，6，则这10个数的（ ）
A．众数为3 B．平均数为3 C．标准差为 D．第80百分位数为4
2．（多选）（2023秋·湖北·高二荆州中学校考阶段练习）若十个学生参加知识竞赛的得分分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A．极差为11 B．众数为90
C．平均数为88 D．中位数是90
3．（多选）（2023秋·新疆巴音郭楞·高三校考开学考试）一组样本数据11，19，15，16，19，则这组数
据的（ ）
A．众数是19 B．平均数是16 C．中位数是15 D．方差是44
4．（2023秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考开学考试）某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：
次品数
频率
则次品数的众数、平均数依次为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高一随堂练习）为了解 两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取
了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位： ）：
轮胎 ；
轮胎 ．
(1)分别计算 两种轮胎行驶的最远里程的平均数和中位数；
(2)分别计算 两种轮胎行驶的最远里程的极差和标准差；
(3)根据以上数据，你认为哪种轮胎性能更加稳定？
角度2：频率分布直方图中的数字特征
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）某校组织了 名学生参与测
试，随机抽取了 名学生的考试成绩 单位：分 ，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的
是（ ）
A．图中 的值为
B．估计这 名学生考试成绩的众数为C．估计这 名学生考试成绩的中位数为
D．估计这 名学生考试成绩的上四分位数约为
例题2．（2023秋·海南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持
人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网
站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热
点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这
200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组
[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求出 的值；
(2)求出这200人年龄的众数和样本平均数；
(3)现从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取24人，则每组抽到的人数分别是多少？
例题3．（2023春·河南鹤壁·高一校考阶段练习）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，
将其成绩(均为整数)分成六段 后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信
息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图．
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)，众数和中位数．(保留整数)例题4．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务
满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分
布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 ， ， ， ， ，
．
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；
(2)试估计该校学生满意度打分的众数、中位数（中位数保留小数点后2位）；
(3)若采用分层随机抽样的方法，从打分在 的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分 、
中分别抽取的人数.
练透核心考点
1．（2023秋·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行
闭幕式.某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩
分成 六组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中
的值；
(2)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数．2．（2023秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科
考试，其中，600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第
一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 .已知图中第三组频率为
，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a，b的值；
(2)估算高分（大于等于80分）人数；
(3)估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数.（中位数
精确到0.1）
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）新冠肺炎疫情期间，某地为了
解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据
调查数据制成如下频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)根据频率分布直方图估计本次评测分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，并精确
到0.1）.
4．（2023秋·云南昆明·高二云南省昆明市第十六中学校考阶段练习）为了解某中学高一年级语文测试情
况，抽取了该校高一年级的 位学生的语文测试成绩，作出如图所示的频率分布直方图，并知道 分
段的学生有 人．
(1)求参数 和 ；
(2)根据直方图提供的信息，估计高一年级语文成绩的平均数、中位数和众数（假设各分段内的成绩均匀分
布）．
高频考点三：总体离散程度的估计
典型例题
例题1．（2023秋·湖南长沙·高二周南中学校考阶段练习）某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，
共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为
131，乙班学生平均分为658分，方差为208．则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为
（ ）
A．661.5，169.5 B．661，187 C．661，175 D．660，180
例题2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知样本数据 都为正数，其方差
，则样本数据 、 、 、 、 的平均数为
.例题3．（2023·全国·高一随堂练习）下表给出了2016年太原市和呼和浩特市的月降水量（单位：mm）：
月份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
城市
太原市 2.5 4.2 3.6 40.7 23.6 74.0 209.4 71.7 21.3 62.0 4.9 10.5
呼和浩特
0.3 3.0 0.7 3.2 34.6 108.8 140.2 115.0 74.7 48.6 0.5 1.7
市
(1)请用适当的统计图表示上面的数据；
(2)分别计算太原市和呼和浩特市2016年月降水量的平均数和标准差．
例题4．（2023·全国·高一随堂练习）为了解 两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机
抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位： ）：
轮胎 ；
轮胎 ．
(1)分别计算 两种轮胎行驶的最远里程的平均数和中位数；
(2)分别计算 两种轮胎行驶的最远里程的极差和标准差；
(3)根据以上数据，你认为哪种轮胎性能更加稳定？例题5．（2023秋·高一课时练习）某学校高一 名学生参加数学考试，成绩均在 分到 分之间，学
生成绩的频率分布直方图如下图：
(1)估计这 名学生分数的中位数与平均数；(精确到 )
(2)某老师抽取了 名学生的分数： ，已知这 个分数的平均数 ，标准差 ，若剔
除其中的 和 两个分数，求剩余 个分数的平均数与标准差．
(参考公式： )
练透核心考点
1．（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）某学校对高中年级的手机情况进行分层抽样调
查，该校高一､高二､高三年级学生各有700人､600人､700人.其中高一年级平均每人拥有1.1个手机，方差
为0.5；高二年级平均每人拥有1个手机，方差为0.4；高三年级平均每人拥有0.9个手机，方差为0.4，试
估计高中年级带手机状况的方差为（ ）A．0.433 B．0.435 C．0.442 D．0.451
2．（2023·吉林·统考一模）吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全
校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平
均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的平均值
为 分钟，方差为 ．
3．（2023秋·广东汕尾·高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平
的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高
市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样
本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ， ，
得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在 的平均成绩是61，方差是7，落在 的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的
总平均数 和总方差 .
4．（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考开学考试）为了比较两种治疗某病毒的药 (分别称为甲药， 乙
药) 的疗效， 某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究， 并从服用甲药的治
愈.患者和服用乙药的治愈患者中， 分别抽取了10名， 记录他们的治疗时间 (单位：天)， 统计 并绘制
了如下茎叶图，(1)从茎叶图看， 哪一种药的疗效更好， 并说明理由；
(2)标准差 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外， 还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度， 如果
出现了治疗时间在 之外的患者， 就认为病毒有可能发生了变异， 需要对该患者进行进一步
检查， 若某服用甲药的患者已经治疗了 26 天还末痊愈， 请茎叶图中甲药的数据， 判断是否应该对该
患者进行进一步检查?
参考数据： .
5．（2023春·山西吕梁·高一校联考阶段练习）某果园试种了 ， 两个品种的桃树各10棵，并在桃树成
熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记 ， 两个品种各10棵产量的平均数分别为 和 ，方差
分别为 和 .
（单位
55 50 50 60 70 80 80 80 85 90
）
（单位 ） 45 60 60 80 75 55 80 80 70 95
(1)求 ， ， ， ；
(2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适？并说明理由.
