文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2025 年1 月“八省联考”考前猜想卷
数 学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
，可得
，
又因为全集
，所以
，
故选：D
2．若复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题得
，所以
.
故选：B
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．在
中，D 是AB 边上的中点，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
故选：C
4．设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
故选：A.
5．以边长为6 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】D
【解析】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径
，高
，侧面积
，
故选：D.
6．下列说法正确的是（ ）
A．若函数
为奇函数，则
B．函数
在
上是减函数
C．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
D．若函数
为偶函数，且在(0,+∞)上是单调递增，则
在
上是单调递减
【答案】D
【解析】对于选项A：例如
为奇函数，但
无定义，故A 错误；
对于选项B：因为
，所以函数
在定义域上不是减函数，故B 错误；
对于选项C：因为函数
的定义域为
，即
，则
，
所以函数
的定义域为
，故C 错误；
对于选项D：因为函数
为偶函数，且在
上是单调递增，
所以
在
上是单调递减，故D 正确；
故选：D.
7．已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，所以
因为函数
在区间
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，且
，即
.
因为
，
所以，函数
在
上单调递增等价于
或
，
所以，解不等式得
或
，所以，
的取值范围是
.
故选：C
8．已知数列
满足
，
．记数列
的前
项和为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，所以
，
，
，故
，
由累加法可得当
时，
，
又因为当
时，
也成立，所以
，
所以
，
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，故
，
由累乘法可得当
时，
，
所以
，所以
．
故选：A．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生
参加体育测试，其中甲班女生的成绩
与乙班女生的成绩
均服从正态分布，且
，
，则( ).
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】选项A：由
，得
，故A 正确；
选项B：由
，得
，故B 不正确；
选项C：由于随机变量
服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：
，
所以
，故C 正确；
选项D：解法一：由于随机变量
，
均服从正态分布，且对称轴均为直线：
，
，所以在正态曲线中，
的峰值较高，正态曲线较“瘦高”，
随机变量分布比较集中，所以
，故D 正确.
解法二：因为
，
，
所以
，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故D 正确.
故选：ACD.
10．已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
为偶函数
C．函数
的单调递增区间为
D．函数
的图像关于直线
对称
【答案】BD
【解析】
的定义域为：
，
，
=
；
对于A，错误；
对于B，
，
是偶函数，正确；
对于C，
不在定义域内，错误；
对于D，二次函数
的对称轴是x=-1， ∴
是关于x=-1 对称的，正确；
故选：BD.
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为
，则下列说法正确的是（ ）
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．四叶草曲线有四条对称轴
B．设
为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过
作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的
矩形面积的最大值为
C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为
D．四叶草曲线的面积小于
【答案】ABD
【解析】对于A，将
换为
方程不变，所以曲线关于
轴对称；
将
换为
方程不变，所以曲线关于
轴对称；
将
换为
，
换为
方程不变，所以曲线关于
对称；
将
换为
，
换为
方程不变，所以曲线关于
对称.故A 正确；
对于B，设曲线
第一象限任意一点为
，则围成矩形面积为
，
则
，
即
，当且仅当
时取得最大值，故B 正确；
对于C，设距离为
，
，要求
的最大值，即求
的最大值，
显然
，
，又
，
当且仅当
时，等号成立，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以曲线
上的点到原点距离
最大值为
，故C 错误；
对于D，由C 可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，
为半径的圆内，
故四叶草面积小于
，故D 正确.
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若直线
与曲线
相切，则实数
的值为 .
【答案】
【解析】设切点坐标为
，由
得
，
所以切线的斜率为：
，
所以曲线在
处的切线方程为：
，
即
，所以
，所以
，所以
.
故答案为：
.
13．已知双曲线
的左焦点为
，过
的直线交圆
于
，
两点，交
的右支于点
，若
，则
的离心率为 .
【答案】
【解析】设
的半焦距为c (c>0)，如图，设
为坐标原点，
的中点为
的右焦点为
，连接
，
.
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，所以
也是
的中点.设
，
由双曲线的定义得
，所以
，
在
中，由
，得
，所以
，
在
中，由
，得
.
故答案为：
.
14．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研
究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛
的应用.已知对于正整数
，若存在一个整数
，使得
整除
，则称
是
的一个二次剩余，
否则为二次非剩余.从1 到20 这20 个整数中随机抽取一个整数
，记事件
与12 互质”，
是12
的二次非剩余”，则
；
.
【答案】
【解析】在1-20 内与12 互质的数有1，5，7，11，13，17，19，所以
；
根据定义，对于
整数的x 不存在，则a 是12 的二次非剩余数，
显然，当a=1 时，x=11；当a=13 时，x=7；当a=5，7，11，17，19 时，x 不存在；
；
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，点
在边
上，且满足
，
的面积
(1)证明：
(2)求
.
【答案】(1)证明见解析;(2)
或
【解析】（1）点
在边
上，且满足
,
所以
，……………………………………………………3 分
，……………………………………………………………4 分
故
，即
；……………………………………………………………6 分
（2）由图可知
，……………7 分
可得
，解得
或
，……………9 分
1°当
时，
，
；…………………11 分
2°当
时，
，
；……………12 分
综上所述
或
.……………………………………………………………13 分
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
16．新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民
进行评分（满分为100 分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在
的居民有2200
人.
(1)求频率分布直方图中a 的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；
(3)设该市居民为50 万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85 分以上的人数.
【答案】(1)0.025，4000 人;(2)众数为85.0，平均数80.7;(3)212500
【解析】（1）有频率分布直方图知
即
，解得
……………………………………………………2 分
设总共调查了
人，则
，
解得
，即调查的总人数为4000 人；……………………………………………5 分
（2）最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为
，……………7 分
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25，
所以设平均数为
，
则
……………11 分
（3）由频率分布直方图知评分在85 分以上的频率为
……………13 分
所以估计该市居民评分在85 分以上的人数为:
……………15 分
17．椭圆
的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足
．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M，与y 轴相交于N（N 异于M）．记O 为坐标原点，若
，且
的面积为
，求椭圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
离心率为
.…………………………………………………………5 分
（2）由（1）可知椭圆的方程为
，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为
，…………………………………6 分
联立
得
，………………………………8 分
由
，①………………………9 分
，
，…………………………………………………11 分
由
可得
，②…………………………………………………12 分
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由
可得
，③…………………………………………………13 分
联立①②③可得
，
，
，故椭圆的标准方程为
．………15 分
18．（17 分）已知四棱锥
的底面
是直角梯形，
，
，
，
，E 为CD 的中点，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，PC 与平面
所成的角为
，试问在侧面PCD 内是否存在一点N，使得
平面PCD？若存在，求出点N 到直线PD 的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】（1）由四边形
是直角梯形，
，
，
，
可得
，
，从而
是等边三角形，
，
平分
．
为
的中点，
，
，…………………………………3 分
又
，
，
平面
，
平面
………………4 分
平面
，……………………………………………………………………5 分
平面
，所以平面
平面
.…………………………………6 分
（2）在平面
内作
于
，连接
，
平面
，
又
平面
，
平面
平面
．
因为平面
平面
，
平面
，
平面
为
与平面
所成的角，则
，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由题意得
，
，
为
的中点，
．…………………………8 分
以
，
，
所在的直线分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，……………………………9 分
假设在侧面
内存在点
，使得
平面
成立，
设
，
由题意得
，……………………………………………10 分
，
，
，
由
，得
，……………………………………11 分
解得
，满足题意，
，
，……………12 分
取
，
，
，
，
，
，…………………………………………………………15 分
求出点N 到直线PD 的距离为：
.…………………………16 分
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以N 点直线PD 的距离为
.…………………………………………………………17 分
19．（17 分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，
衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若
是
的导函数，f
″ (x)是
的
导函数，则曲线
在点
处的曲率
.
(1)求曲线
在
处的曲率
的平方；
(2)求正弦曲线
曲率的平方
的最大值.
(3)正弦曲线
，若
，判断
在区间
上零点的个数，并写
出证明过程.
【答案】(1)
;(2)1;(3)零点个数为2，证明见解析
【解析】（1）因为
，所以
，
，………………1 分
所以
，………………………………………………3 分
.………………………………………………………………5 分
（2）由
，
，则
，………………………6 分
，令
，则
，故
，…………7 分
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设
，则
，……………8 分
在
时
，
递减，所以
，
最大值为1.……………10 分
（3）因为
，
，则
.
①当
时，因为
，
所以
在
上单调递减.所以
.
所以
在
上无零点.……………………………………………………………12 分
②当
时，因为
单调递增，且
，
，
所以存在
，使
.
当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
.
所以
.设
，
，
，
,……………………………………………14 分
所以φ(x)在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
.
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，所以
.
所以
在
上存在一个零点.
所以
在
有2 个零点.……………………………………………………………16 分
综上所述，在上的零点个数为2…………………………………………17 分
17
