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计算题培优练3 图像法或数学归纳法解决多次碰撞问题
[分值：30 分]
1.(15 分)(2024·湖南卷·15 改编)如图，半径为R 的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A
和B(mA>mB)。初始时小球A 以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B 发生碰撞。不计小球与圆
环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。
(1)(5 分)若小球A 与B 碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大
小。
(2)(10 分)若小球A 与B 之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质
量比
mA
mB
。
答案 (1) mA v0
mA+mB
mA
2v0
2
(mA+mB)R
(2)2 或5
解析 (1)小球A、B 碰撞过程系统动量守恒，设碰撞后两小球的速度大小为v，
根据动量守恒定律mAv0=(mA+mB)v
可得v= mA v0
mA+mB
碰撞后根据牛顿第二定律有
F=(mA+mB)v
2
R
联立可得F=
mA
2v0
2
(mA+mB)R
(2)若两球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为vA、vB，
碰撞过程中由动量守恒、机械能守恒有
mAv0=mAvA+mBvB
1
2mAv0
2=1
2mAv A
2+1
2mBvB
2
联立解得vA=(mA -mB)
mA+mB
v0，vB= 2mA v0
mA+mB
因为所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，如图
①若第二次碰撞发生在图中的b 点，设圆环周长为l，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B 通过的路
程分别为
sA= l
3+k1l
sB=4
3 l+k1l
k1=0，1，2，3，…，
则有
v A
vB
=
sA
sB
=
1+3k1
4+3k1
联立解得
mA
mB
=
4+3k1
2-3k1
由于两质量均为正数，
故k1=0，
即
mA
mB
=2
对第二次碰撞，设A、B 碰撞后的速度大小分别为vA'、vB'，
则同样有mAvA+mBvB=mAvA'+mBvB'
1
2mAv A
2+1
2mBvB
2=1
2mAvA'2+1
2mBvB'2
联立解得vA'=v0，vB'=0，
故第三次碰撞发生在b 点，第四次碰撞发生在c 点，以此类推，满足题意。
②若第二次碰撞发生在图中的c 点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B 通过的路程分别为sA=2
3
l+k2l
sB=5
3l+k2l
k2=0，1，2，3，…；
所以
v A
vB
=
s A
sB
=
2+3k2
5+3k2
联立可得
mA
mB
=
5+3k2
1-3k2
因为两质量均为正数，故k2=0，
即
mA
mB
=5
根据①的分析可证vA'=v0，vB'=0，满足题意。
综上可知
mA
mB
=2 或
mA
mB
=5。
2.(15 分)(2025·山东临沂市一模)如图甲所示，一可看作质点的物块A 位于底面光滑的木板B 的最左端，A
和B 以相同的速度v0=7 m/s 在水平地面上向左运动。t=0 时刻，B 与静止的长木板C 发生弹性碰撞，且碰
撞时间极短，B、C 厚度相同，A 平滑地滑到C 的右端，此后A 的v-t 图像如图乙所示，t=1.9 s 时刻，C 与
左侧的墙壁发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞前后C 的速度大小不变，方向相反；运动过程中，A 始终未离
开C。已知A 与C 的质量mA=mC=0.1 kg，重力加速度大小g 取10 m/s2。求：
(1)(4 分)C 与A 间的动摩擦因数μ1以及C 与地面间的动摩擦因数μ2；
(2)(5 分)B 和C 第一次碰撞后B 的速度大小；
(3)(6 分)t=1.9 s 之后A、C 间因摩擦产生的热量Q 为多少？
答案 (1)0.4 0.1 (2)3 m/s (3)1.056 J
解析 (1)由题图乙知，0~0.5 s 过程中，A 在C 上滑动的加速度大小为a1=|
Δv1
Δt1|=7.0-5.0
0.5
m/s2=4 m/s2
由受力分析和牛顿第二定律有μ1mAg=mAa1
解得C 与A 间的动摩擦因数为μ1=0.4
在0.5~1.9 s 过程中，A 和C 一起运动的加速度大小为a2=|
Δv2
Δt2|=5.0-3.6
1.9-0.5 m/s2=1 m/s2
对A、C 整体由受力分析和牛顿第二定律有μ2(mA+mC)g=(mA+mC)a2
解得C 与地面间的动摩擦因数为μ2=0.1
(2)在0~0.5 s 过程中，设C 的加速度为a3，对C 进行受力分析，由牛顿第二定律有μ1mAg-μ2·(mA+mC)g=mCa3
解得a3=2 m/s2
设t=0 时刻C 的速度为vC，经t1=0.5 s 匀加速到v1=5.0 m/s
由运动学公式v1=vC+a3t1
解得vC=4 m/s
B 和C 发生弹性碰撞，由动量守恒定律有mBv0=mBvB+mCvC
由能量守恒定律有1
2mBv0
2=1
2mBvB
2+1
2mCvC
2
解得mB=0.04 kg，vB=-3 m/s
所以B 和C 第一次碰撞后B 的速度大小为3 m/s
(3)由题图乙有，C 与墙壁碰撞后速度大小为v2C=3.6 m/s
设向右匀减速运动的时间为t2，加速度的大小为a4，则μ1mAg+μ2·(mA+mC)g=mCa4
其中v2C=a4t2
解得t2=0.6 s
即t=2.5 s 时刻，C 速度为零，此时A 的速度v3=v2A-a1t2=(3.6-4×0.6) m/s=1.2 m/s
接着A 继续向左做减速运动，C 向左加速，设共速时间为t3，由运动学公式可知v 共=v3-a1t3=a3t3
可得t3=0.2 s，v 共=0.4 m/s
由图可知t=1.9 s 之后A、C 间的相对位移为阴影部分面积，故因摩擦产生的热量为Q=μ1mAg·Δx
其中Δx=2.64 m
联立可得Q=1.056 J。
