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计算题增分练(一)
(时间：40 分钟)
1.(2024·安徽滁州二模)如图1 所示，内壁光滑、高度均为2h 的两个绝热汽缸底
部由细管连通，左侧汽缸上端封闭，右侧汽缸上端开口与大气相通，两汽缸中面
积均为S 的绝热活塞M、N 密闭两部分理想气体A、B。开始时，气体A、B 温
度均为T，活塞M、N 均静止在距汽缸底部h 处。已知活塞M、N 的质量分别为
2m 和m，大气压强为p0，重力加速度为g，细管内气体体积忽略不计。
图1
(1)求气体A 的压强；
(2)缓慢加热气体B，使其温度升至T 稳定时，求活塞N 距汽缸底部的高度；
(3)上述加热过程中，若B 吸收的热量为Q，求B 的内能增加量。
答案 (1)p0－ (2) (3)Q－(p0S＋mg)h
解析 (1)对活塞M、N 受力分析，根据共点力平衡条件，有pAS＋2mg＝pBS，
p0S＋mg＝pBS
联立解得pA＝p0－，pB＝p0＋。
(2)缓慢加热气体B，使其温度升至T
根据盖－吕萨克定律，有＝，得h′＝
活塞N 距汽缸底部的高度为Δh＝－h＝。
(3)在加热过程中，B 中气体对外做功
W＝－pB·ΔV＝－(p0S＋mg)·
根据热力学第一定律ΔU＝W＋Q
解得ΔU＝Q－(p0S＋mg)h。
2.(2024·河南开封二模)如图2 所示，质量都为m 的物块A、B 静止在光滑的水平
面上，A、B 之间用绝缘轻弹簧连接，A 紧靠墙壁，匀强电场的方向水平向左，
电场强度大小为E，A、B 带电荷量均为q 的正电荷，B 通过轻绳与电动机连接
且轻绳拉直恰好无拉力，电动机的额定电压为U，内阻为R，正常工作时电流为
I，t＝0 时刻启动电动机，使电动机在额定功率下拉动B，t 时刻B 的速度达到最
大，此时A 恰好离开墙壁，不计A、B 间的静电力作用。求：
图2
(1)物块B 的最大速度；
(2)弹簧的劲度系数。
答案 (1) (2)
解析 (1)当B 的加速度a＝0 时速度最大，此时轻绳上的拉力为F＝2qE
电动机的输出功率为P＝UI－I2R
又P＝Fvm
解得vm＝。
(2)对B 受力分析可知初始时刻弹簧弹力F1＝qE
B 速度最大时弹簧弹力F2＝qE
所以从初始时刻到B 速度最大的过程中，弹簧弹力对B 做的总功为零
由动能定理得Pt－2qEx＝mv
由胡克定律得qE＝kx
联立解得k＝。
3.如图3 所示，平面直角坐标系xOy 中第一、二、四象限内存在磁感应强度大小
为B 的匀强磁场。第一、四象限内磁场方向垂直纸面向里，第二象限内磁场方
向垂直纸面向外。第三象限存在沿y 轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为
q(q＞0)的粒子甲从点S(－l，－)以一定初速度释放，初速度方向与x 轴正方向的
夹角θ＝45°，从点K(0，－l)垂直y 轴进入第四象限磁场区域，然后从P(l，0)点
垂直x 轴进入第一象限，同时在P 点释放一质量为、电荷量为q(q＞0)、速度为
的带电粒子乙，且速度方向垂直于x 轴向上。不计粒子重力及甲、乙两粒子间的
相互作用，求：
图3
(1)甲粒子进入第四象限时的速度v0；
(2)匀强电场的大小E；
(3)甲粒子第n 次经过y 轴时，甲、乙粒子间的距离d。
答案 (1) (2) (3)(4n－2)l(n＝1，2，3，…)
解析 (1)甲粒子在第四象限内的磁场中，由洛伦兹力提供向心力qv0B＝m
根据题意有r＝l
解得v0＝。
(2)由题意知甲粒子垂直y 轴进入第四象限，速度大小为v0＝
粒子在第三象限，沿x 轴方向l＝v0t0
沿y 轴方向＝·t
解得E＝。
(3)设甲粒子半径为r1，乙粒子半径为r2
由洛伦兹力提供向心力得
qv0B＝，qv2B＝，其中v2＝
可得r1＝r2＝l
甲、乙粒子的周期分别为T1＝，T2＝
可得T1＝3T2
如图所示，当甲粒子第一次到达y 轴(y1＝l)时，乙粒子第二次到达y 轴(y2＝3l)，
两粒子相距d1＝2l
此后每次甲粒子到达y 轴时，乙比甲沿y 轴多移动Δd＝4l
粒子甲第n 次经过y 轴时甲、乙粒子间的距离
d＝(4n－2)l(n＝1，2，3，…)。
4.(2024·河北唐山二模)如图4 所示，粗糙水平地面上固定一个光滑斜面体，在斜
面体末端紧靠一个足够长的薄木板B，均处于静止状态，薄木板B 与斜面体末端
等高且平滑连接，距离薄木板B 的右端0.5 m 位置处静止放置一个物块C。已知
物块A 的质量为2 kg，薄木板B 和物块C 的质量均为1 kg，物块A 与薄木板B
之间的动摩擦因数为0.2，薄木板B 和物块C 与地面之间的动摩擦因数均为
0.1，薄木板B 和物块C 的高度相同，运动过程中物块A 始终不会滑离薄木板
B，所有碰撞时间极短且均为弹性碰撞。物块A 在距离薄木板B 的上表面1.8 m
高处沿斜面体静止释放，A 由斜面滑上薄木板B 的过程中能量损失不计，重力加
速度g 取10 m/s2。求：
图4
(1)薄木板B 与物块C 碰撞前，物块A 速度大小是多少；
(2)木板B 与物块C 第一次碰撞到第二次碰撞经历的时间；
(3)最终停止时，木板B 与物块C 的距离。
答案 (1)4 m/s (2)1 s (3) m
解析 (1)物块A 到达木板时，设速度为v0，由动能定理可得mAgh＝mAv
解得v0＝6 m/s
在B、C 相碰之前，设物块A 的速度v1，加速度大小为aA，木板B 的速度为
v2，加速度为aB，滑动时间为t1
由牛顿第二定律可得μ1mAg＝mAaA
μ1mAg－μ2(mA＋mB)g＝mBaB
解得aA＝2 m/s2，aB＝1 m/s2
由运动学规律，对B：x1＝aBt
对A：v1＝v0－aAt1
解得v1＝4 m/s，v2＝aBt1＝1 m/s。
(2)木板B 与物块C 相碰，设碰后B、C 的速度分别为v3、v4，由动量守恒定律和
能量守恒定律可得
mBv2＝mBv3＋mCv4
mBv＝mBv＋mCv
解得v3＝0，v4＝1 m/s
碰后C 做匀减速运动，设加速度大小为aC，经历时间为t3，位移为x2，
则μ2mCg＝mCaC
解得aC＝1 m/s2
第二次碰撞前C 静止，则v4＝aCt3
解得时间为t3＝1 s
此时运动距离为x2＝aCt＝0.5 m
由x＝aBt2知B 在1 s 内恰好移动0.5 m，B 追上C，二者加速度大小相同，B 加速，
C 减速，故所需时间为1 s，即从第一次碰撞到第二次碰撞经历时间为1 s。
(3)第二次碰撞后，设A 的速度v5，由运动学规律可得
v5＝v1－aAt3
设木板与物块A 达到共速时，速度为v6，时间为t4，则v6＝v5－aAt4，v6＝aBt4
设木板共速之前的位移为x3，共速之后的位移为x4，
则x3＝aBt，v＝2aBx4，x＝x2－x3－x4
解得x＝ m。
