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计算题增分练(三)
(时间：40 分钟)
1.如图1 所示，两端开口、导热性能良好的容器由两部分圆柱形容器组成，上、
下两侧容器横截面半径之比为∶1，现用长为L＝20 cm 的不可伸长的轻绳拴接两
水平活塞A、B，A、B 与容器间密封良好，活塞C 用销钉固定，A、B 间有一定
质量的理想气体，A、C 间被抽成真空，此时封闭气体的压强刚好等于外界大气
压，且A、B 到两容器连接处的距离相等。已知环境温度和大气压恒定，A、B
的质量分别为mA＝2 kg、mB＝1 kg，重力加速度g＝10 m/s2，忽略一切摩擦。拔
去销钉，撤去活塞C，稳定后A 在连接处，求稳定时轻绳对活塞的作用力大小。
图1
答案 17.5 N
解析 由题意可知，A、B 的横截面半径之比为∶1，则横截面积之比为SA∶SB＝
2∶1
设环境的大气压和热力学温度分别为p0、T0，撤去C 之前，对B 受力分析有
F0＋p0SB－p0SB－mBg＝0
对活塞A 有p0SA－F0－mAg＝0
又mA∶mB＝2∶1
解得p0＝
撤去C，A 上侧空间与大气相通，稳定时A 在连接处，设封闭气体的压强为p1，
该过程封闭气体的温度不变，由玻意耳定律有
p0(SA＋SB)＝p1LSB
解得p1＝p0
对活塞B 有F1＋p0SB－p1SB－mBg＝0
代入数据解得F1＝17.5 N。
2.如图2 为一种能在空中长距离滑行的蜥蜴——飞蜥，某只飞蜥躲避攻击时从树
上水平飞出，飞出瞬间速度为36 km/h，水平方向末速度为28.8 km/h，其在水平
方向做变减速运动，假设其在竖直方向做自由落体运动，已知滑翔结束时，飞蜥
的速度与竖直方向夹角为45°，重力加速度g＝10 m/s2，求滑翔过程飞蜥在水平
方向受到的平均作用力与其体重的比值。
图2
答案 1∶4
解析 水平方向v 初＝10 m/s，v 末＝8 m/s，飞蜥做变减速运动，整个过程水平方
向的速度变化量Δv＝v 末－v 初＝－2 m/s
滑行结束时，竖直方向的速度为v 竖＝＝8 m/s
飞蜥在竖直方向做自由落体运动，则滑行的时间t＝＝0.8 s
整个过程在水平方向，由动量定理有Ft＝m|Δv|
则F＝2.5m N
则滑行过程飞蜥在水平方向所受平均作用力与其重力的比值为＝。
3.(2024·浙江6 月选考，19)某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，
设计了如图3 所示装置。飞轮由三根长a＝0.8 m 的辐条和金属圆环组成，可绕
过其中心的水平固定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环上，系着质量m＝1 kg 的物
块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电路通
过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S 可分别与图示中的电路连接。已知电
源电动势E0＝12 V、内阻r＝0.1 Ω，限流电阻R1＝0.3 Ω，飞轮每根辐条电阻R
＝0.9 Ω，电路中还有可调电阻R2(待求)和电感线圈L，不计其他电阻和阻力损耗，
不计飞轮转轴大小。
图3
(1)开关S 掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数U＝8 V，
①判断磁场方向，并求流过电阻R1的电流I；
②求物块匀速上升的速度v。
(2)开关S 掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与
“电动机”匀速提升物块的速度大小相等，
①求可调电阻R2的阻值；
②求磁感应强度B 的大小。
答案 (1)①垂直纸面向外 10 A ②5 m/s (2)①0.2 Ω ②2.5 T
解析 (1)①根据题意可知，飞轮逆时针转动，根据电路特点可知，三根辐条中
的电流均沿辐条指向圆心，如图所示，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向
外
由于电压表示数U＝8 V，则电源内阻与限流电阻的总分压为U 总＝E－U＝4 V
根据欧姆定律得I＝＝10 A。
②根据能量守恒定律有UIt＝I2·t＋mgvt
代入数据解得v＝5 m/s。
(2)①根据题意可知，物块匀速下降的速度v′＝v＝5 m/s，且稳定时每根辐条中的
电流与(1)中的相同，则根据能量守恒定律有
mgv′t＝I2·t＋I2R2t
代入数据解得R2＝0.2 Ω。
②稳定时，重物重力的功率等于三根辐条克服安培力做功的总功率，则有
mgv′＝3B·a·
代入数据解得B＝2.5 T。
4.(2024·四川绵阳高三期末)如图4 所示，Oxyz 为空间直角坐标系，在x<0 的空间
Ⅰ 内存在沿z 轴正方向的匀强磁场B1。在0<x<d 的空间 Ⅱ 内存在沿y 轴正方
向的匀强电场E，在x＞d 的空间 Ⅲ 内存在磁感应强度大小B2＝、方向沿x 轴
正方向的匀强磁场。现将一带负电的粒子从x 轴上的A(xA＝－d)点以沿Oxy 平面
内某一方向的初速度v0射入空间 Ⅰ 的磁场区域，经磁场偏转后从y 轴上的C(yC
＝d)点垂直y 轴进入空间 Ⅱ ，并从x 轴上的D(xD＝d)点进入空间 Ⅲ 。已知粒
子的电荷量大小为q，质量为m，不计重力。求：
图4
(1)空间 Ⅰ 内磁场的磁感应强度大小B1和空间 Ⅱ 内电场的电场强度大小E；
(2)粒子在空间 Ⅲ 的运动过程中，距离x 轴的最大距离；
(3)粒子进入空间 Ⅲ 后，每次经过x 轴时的横坐标。
答案 (1) (2)4d
(3)(2nπ＋1)d(n＝1，2，3，…)
解析 (1)设粒子在空间 Ⅰ 的磁场中的轨迹半径
为r1，运动轨迹如图所示。
由几何关系可得
(r1－d)2＋(d)2＝r
解得r1＝2d
由洛伦兹力提供向心力可得qv0B1＝m
解得B1＝
粒子在空间 Ⅱ 做类平抛运动，沿y 轴方向的加速度大小a＝
沿x 轴方向有d＝v0t
沿y 轴方向有d＝at2
解得E＝。
(2)粒子经过D 点时，沿y 轴负方向的分速度大小为vy＝at＝2v0
沿x 轴正方向的分速度大小为vx＝v0
粒子在空间 Ⅲ 内垂直于磁场的分速度vy使粒子在yOz 平面内做匀速圆周运动，
由洛伦兹力提供向心力可得qvyB2＝m
解得r2＝2d
粒子做圆周运动距x 轴的最大距离为L＝2r2＝4d。
(3)粒子在空间 Ⅲ 内做圆周运动的周期为T＝＝
粒子在空间 Ⅲ 内沿x 轴方向做匀速直线运动，粒子在一个周期内沿x 轴正方向
运动的距离x＝v0T＝2πd
所以粒子在空间 Ⅲ 中每次经过x 轴时的横坐标为
x＝d＋2nπd＝(2nπ＋1)d(n＝1，2，3，…)。
