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专题02 数列大题综合(新高考浙江专用)
一、解答题
1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列
，
的前n 项和分别为
，
，
且
，
，当
时，满足
．
(1)求
；
(2)求
．
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知等比数列
的前n 项和
，
为常
数.
(1)求
的值与
的通项公式；
(2)设
，数列
的前n 项和为
，求
.
3．（2023·浙江绍兴·统考二模）设数列
的前
项和为
，数列
是首项
为1，公差为1 的等差数列，
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知正项等比数列
和数列
，满足
是
和
的等差中项，
.
(1)证明：数列
是等差数列，
(2)若数列
的前
项积
满足
，记
，求数列
的前
20 项和.
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列
中，
，且
1
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成等比数列，数列
的前
项和
满足
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和
，若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
6．（2023·浙江·统考二模）如图，已知
的面积为1，点D，E，F 分别为线段
，
，
的中点，记
的面积为
；点G，H，I 分别为线段
，
，
的中点，记
的面积为
；…；以此类推，第n 次取中点后，得到的三角形面
积记为
．
(1)求
，
，并求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
7．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知等差数列
的前
项的和为
，且
，
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，集合
且
，求
中所有元
素的和.
8．（2023·浙江·校联考二模）设数列
满足：
是
2
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的等比中项.
(1)求
的值；
(2)求数列
的前20 项的和.
9．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，且
．
(1)求数列
的通项；
(2)设数列
满足
，记
的前n 项和为
，若
对任
意
恒成立，求实数
的取值范围．
10．（2023·浙江·统考一模）已知数列
满足
，
，
．
(1)求
的取值范围；
(2)记
是
在区间
中的项的个数，求数列
的前m 项和
．
11．（2023·浙江宁波·统考二模）已知等比数列
的前n 项和
满足
．
(1)求首项
的值及
的通项公式；
(2)设
，求满足
的最大正整数n 的值．
12．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列
中各取一个数，依次作为等比数列{
}的
，
，
；分别从下表的第一、二、三行
3
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中各取一个数，依次作为等差数列
的
，
，
．
第一列
第二列
第三列
第一行
1
4
7
第二行
3
6
9
第三行
2
5
8
(1)请写出数列{
}，{
}的一个通项公式；
(2)若数列{
}单调递增，设
，数列{
}的前n 项和为
．求证：
．
13．（2023·浙江·校联考三模）记
为数列
的前
项和，已知
，且满足
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
14．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知
是首项为2，公差为3 的等差数列，数列
满足
.
(1)证明
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)若数列
与
中有公共项，即存在
，使得
成立.按照从小到大的
顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作
，求
.
15．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知正项数列
的前
项和为
，且
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
为等比数列，且
，
，求数列
的前
项和
.
4
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16．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列
为等比数列，
是
与
的等差中项，
为
的前
项和．
(1)求
的通项公式及
；
(2)集合A 为正整数集的某一子集，对于正整数
，若存在正整数
，使得
，
则
，否则
．记数列
满足
，求
的前20 项和
．
17．（2023·浙江·模拟预测）已知
是公比为2 的等比数列，
为正项数
列，
，当
时，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
．求数列
的前n 项和
．
18．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知数列
是等差数列，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
19．（2023·浙江·校联考模拟预测）在数列
中
，
，在数列
中
，
.
(1)求证数列
成等差数列并求
；
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(2)求证：
.
20．（2023·浙江·校联考三模）已知数列
是以d 为公差的等差数列，
为
的前n 项和．
(1)若
，求数列
的通项公式；
(2)若
中的部分项组成的数列
是以
为首项，4 为公比的等比数列，且
，求数列
的前n 项和
．
21．（2023·浙江温州·统考二模）已知
是首项为1 的等差数列，公差
是
首项为2 的等比数列，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若数列
的第
项
，满足__________（在①②中任选一个条件），
，则
将其去掉，数列
剩余的各项按原顺序组成一个新的数列
，求
的前20 项和
．
①
②
．
22．（2023·浙江·统考二模）记
为正项数列
的前
项积，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
.
23．（2023·浙江温州·统考三模）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一
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列从上到下成等比数列，且公比均为实数
.
(1)设
，求数列
的通项公式；
(2)设
，是否存在实数
，使
恒成立，若存在，求出
的
所有值，若不存在，请说明理由.
24．（2023·浙江·统考二模）已知数列
满足：
，且对任意的
，
(1)求
，
的值，并证明数列
是等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
25．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
满足
求
的前
项和
.
26．（2023·浙江·二模）记
为正数列
的前
项和，已知
是等差数列.
(1)求
；
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(2)求最小的正整数
，使得存在数列
，
.
27．（2023·浙江金华·统考模拟预测）设正项等比数列
的前
项和为
，若
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在数列
中是否存在不同的三项构成等差数列？请说明理由．
28．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)保持
中各项先后顺序不变，在
与
之间插入
个1，使它们和原数列的项构
成一个新的数列
，记
的前n 项和为
，求
的值（用数字作答）．
29．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列
的前
项和
，
，且
.数列
满足
，
.
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)将数列
中的项按从小到大的顺序依次插入数列
中，在任意的
，
之间
插入
项，从而构成一个新数列
，求数列
的前100 项的和.
30．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）数列
满足
，
，
(1)若数列
是等比数列，求
及
的通项公式；
(2)若数列
满足：
，数列
的前
项和为
，求证：
.
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