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23 带电粒子在磁场中的多解问题
1．(2020·湖北省松滋市言程中学高二月考)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy 平面向外。
某时刻一个质子从点(L0，0)处沿y 轴负方向进入磁场；一个α 粒子同时从点(－L0，0)进入磁场，速度方
向在xOy 平面内。设质子的质量为m、电荷量为e，不计质子与α 粒子的重力和它们之间的相互作用。
如果α 粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇，已知质子和α 粒子都带正电，且α 粒子的质量是质子质
量的4 倍，α 粒子带的电荷量是质子的2 倍，则( )
A．质子的速度大小为
B．质子的速度大小为
C．两粒子相遇时，α 粒子的运动时间可能是
D．两粒子相遇时，α 粒子的运动时间可能是
【答案】BC
【详解】
AB．质子的运动轨迹如图所示。
其圆心在
处，其半径
，质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第
二定律得
解得
故A 错误，B 正确；
CD．质子在磁场中做匀速圆周运动的周期
同理，α 粒子的周期是质子周期的2 倍；由于α 粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇，故相遇时质子
可能运动了半个周期，也有可能运动了一个半周期。如果相遇时质子只运动了半个周期，则质子的运动
时间为
如果质子运动了一个半周期相遇，则质子的运动时间为
两个粒子在原点相遇，则它们运动的时间一定相同，故α 粒子的运动时间可能是
或
故C 正确，D 错误。
故选BC。
2．如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 分开，三角
形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC 的角平分线发射速度不同的质子(质
子重力不计)，所有质子均能通过C 点，质子比荷
＝k，则质子的速度可能为( )
A．2BkL
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】
因质子带正电，且经过c 点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为
，所以质子运行半
径
r＝
(n＝1，2，3．．．．．．)
由洛伦兹力提供向心力得
Bqv＝m
即
v＝
＝Bk
(n＝1，2，3．．．．．．)
故BD 正确。
故选BD。
3．(2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高二月考)长为
的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁
感应强度为
，板间距离也为
，极板不带电。现有质量为
、电荷量为
的带正电粒子(重力不计)，
从左边极板间中点处垂直磁场以速度
水平入射，如图所示。欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是
( )
A．使粒子速度
B．使粒子速度
C．使粒子速度
D．使粒子速度
【答案】AB
【详解】
如图所示
设粒子恰好从右边穿出时圆心在
点，有
解得
，又因为
得
所以
时粒子能从右边穿出；
粒子恰好从左边穿出时圆心在
点，由
得
故
时粒子能从左边穿出。
故选AB。
4．如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB 边长度为d，
。现垂直AB 边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v 的带正电粒子。已知垂直
AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为
(不计重
力)，则下列说法中正确的是( )
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为
D．粒子进入磁场时速度大小为
【答案】ABC
【详解】
A．根据题意垂直
边进入，垂直
边飞出，经过四分之一个周期，即
解得
A 正确；
B．洛伦兹力提供向心力
解得
粒子运动的周期
解得磁感应强度
B 正确；
C．粒子与
边相切，运动时间最长，满足
，在磁场中转过圆心角
，如图
根据几何关系可知
解得
C 正确；
D．根据
可知
D 错误。
故选ABC。
5．如图所示，S 为一离子源，MN 为荧光屏，其长度为
，S 到MN 的距离为SP=L，P 为MN
的中点，MN 的左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子
源S 一次性沿平行纸面的各个方向均匀地喷发大量的正离子(此后不再喷发)，喷发的离子速率均相等、
质量均为m、电荷量均为q。不计粒子重力，不考虑离子之间的相互作用力，下列说法正确的是( )
A．若离子在磁场中做匀速圆周运动的半径为2L，则离子喷发时的速率为
B．速率为
的离子，一定打不到荧光屏上
C．速率为
的离子，能打中荧光屏的最短时间为
D．速率为
的离子，能打到荧光屏MN 上的范围为
【答案】BD
【详解】
A．洛伦兹力提供向心力
解得
A 错误；
B．离子运动的半径为
则离子圆周运动直径
所以离子一定打不到荧光屏上，B 正确；
C．离子运动的半径为
离子在距离荧光屏最短弦长为
，即
距离，对应圆心角最小，如图
则打在荧光屏上的最短时间为
C 错误；
D．因为离子半径满足
则离子打到荧光屏上的临界距离满足与板上边界相切于
点，下边界刚好击中
点，此时有
根据几何关系可知打在荧光屏上的距离为
D 正确。
故选BD。
6．如图为“EAST 超导托卡马克核聚变实验装置”的简化模型：把核材料约束在半径为r2的圆形区域内，等
离子体只在半径为r1的圆形区域内反应，环形区域(约束区)存在着垂直于截面的匀强磁场。假设约束的
核聚变材料只有氕核(
)和氘核(
)，已知氕核(
)的质量为m，电量为q，两个同心圆的半径满足r2
＝(
＋1)r1，只研究在纸面内运动的核子，不考虑核子间的相互作用、中子和质子的质量差异以及速
度对核子质量的影响。设核聚变材料氕核(
)和氘核(
)具有相同的动能Ek，则以下说法正确的是(
)
A．氕核(
)和氘核(
)的比荷之比为1：2
B．氕核(
)和氘核(
)分别在环形区域做匀速圆周运动的半径之比为1：
C．为了约束从反应区沿不同方向射入约束区的核子，则环形磁场区域所加磁场磁感应强度B 满足的条
件为B>
D．若约束区的磁感应强度为B0，氕核(
)从圆心O 点沿半径方向以某一速度射入约束区，恰好经过
约束区的外边界，则氘核(
)再次回到反应区所用时间t＝
【答案】BCD
【详解】
A．氕核(
)和氘核(
)的比荷之比为
故A 错误；
B．根据
得
则半径之比为
故B 正确；
C．如图1 所示，当离子的速度沿与内边界圆相切的方向射入磁场，且轨道与磁场外圆相切时所需磁场
的磁感应强度B，即为要求的值，设轨迹圆的半径为R1，由几何关系得
根据
解得
故C 正确；
D．如图2 所示，由几何关系得
解得
离子在b 区域中做匀速圆周运动的周期
，离子在b 区域中一次运动的时间
联立解得
故D 正确。
故选BCD。
7．(2020·浙江余姚中学高二月考)如图所示，真空室内有一个点状的α 粒子放射源P，它向各个方向发射α
粒子(不计重力)，速率都相同。ab 为P 点附近的一条水平直线(P 到直线ab 的距离PC=L)，Q 为直线
ab 上一点，它与P 点相距PQ=
L(现只研究与放射源P 和直线ab 同一个平面内的α 粒子的运动)，当
真空室内(直线ab 以上区域)只存在垂直该平面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场时，水平向左射出的
α 粒子恰到达Q 点。(α 粒子的电荷量为+q，质量为m；sin37°=0.6；cos37°=0.8)求：
(1)α 粒子的发射速率；
(2)能到达直线ab 的α 粒子所用最长时间和最短时间的比。
【答案】(1)v=
；(2)
【详解】
(1)设α 粒子做匀速圆周运动的半径R，过O 作AO 垂直于PQ，垂足为A，如图所示：
由几何关系可得
代入数据可得α 粒子轨迹半径
洛伦兹力提供向心力，有
解得α 粒子发射速度为
(2)粒子的运动轨迹圆弧O1和直线ab 相切于D 点时，α 粒子转过的圆心角最大，运动时间最长，如图所
示：
由几何关系可得
则
最大圆心角：
最长时间：
粒子的运动轨迹圆弧O2经C 点时，α 粒子转过的圆心角最小，运动时间最短，由几何关系可得
则
最小圆心角
最短时间
则最长时间和最短时间的比值为
8．(2020·苏州市相城区望亭中学高二月考)如图所示，左、右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为
d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量绝对值为q 的微观粒子，沿图示
方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，求粒子入射速度v0的最大值？(粒子不计
重力)
【答案】若粒子带正电，最大速度为
；若粒子带负电，最大速度为
【详解】
粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力
解得半径为
若粒子带正电，最大半径的轨迹如图
根据几何关系可知
解得半径为
则粒子入射速度最大值为
若粒子带负电，运动轨迹如图
根据几何关系可知
同理解得速度最大值为
9．如图甲所示，M、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正
对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场
方向为正方向。有一群正离子在t=0 时垂直于M 板从小孔O 射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量
为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而
产生的电场的影响。求：
(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
【答案】(1)
，(2)
(n=1，2，3…)。
【详解】
(1)正离子射入磁场，由洛伦兹力提供向心力，即：
qv0B0=
做匀速圆周运动的周期：
T0=
联立两式得磁感应强度：B0=
；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N 板射出磁场，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，v0的方向应如图
所示，有：
r=
当在两板之间正离子共运动n 个周期，即nT0时，有
r=
(n=1，2，3…)
联立方程求解，得正离子的速度的可能值为：
v0=
=
(n=1，2，3…)
10．(2020·山东高三月考)如图所示，半径为a 的圆内有一固定的边长为1.5a 的等边三角形框架ABC，框架
中心与圆心重合，S 为位于BC 边中点处的狭缝．三角形框架内有一水平放置带电的平行金属板，框架
与圆之间存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场．一束质量为m、电量为q，不计重
力的带正电的粒子，从P 点由静止经两板间电场加速后通过狭缝S，垂直BC 边向下进入磁场并发生偏
转．忽略粒子与框架碰撞时能量与电量损失．求：
(1)要使粒子进入磁场后第一次打在SB 的中点，则加速电场的电压为多大？
(2)要使粒子最终仍能回到狭缝S，则加速电场电压满足什么条件？
(3)回到狭缝S 的粒子在磁场中运动的最短时间是多少？
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【分析】
(1)带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，进入磁场后做圆周运动，结合几何关系找到半径，求解
加速电场的电压；(2)要使粒子能回到S，则每次碰撞时粒子速度都应与边垂直，则可能的情况是：粒
子与框架垂直碰撞，绕过三角形顶点时的轨迹圆弧的圆心应位于三角形顶点上，即SB 为半径的奇数倍；
要使粒子能绕过顶点且不飞出磁场，临界情况为粒子轨迹圆与磁场区域圆相切；(3)根据带电粒子在磁
场中做匀速圆周运动的轨迹图，找到圆周运动的圆心角，结合圆周运动周期公式，求出在磁场中运动的
最短时间；
【详解】
(1)粒子在电场中加速，qU＝
mv2
粒子在磁场中，qvB＝
r＝
解得
(2)要使粒子能回到S，则每次碰撞时粒子速度都应与边垂直，则r 和v 应满足以下条件：
①粒子与框架垂直碰撞，绕过三角形顶点时的轨迹圆弧的圆心应位于三角形顶点上，即SB 为半径的奇
数倍，
即
(n＝1，2，3，… )
②要使粒子能绕过顶点且不飞出磁场，临界情况为粒子轨迹圆与磁场区域圆相切，
即r≤a－
a
解得n≥3.3，即n＝4，5，6…
得加速电压
(n＝4，5，6，…)．
(3)粒子在磁场中运动周期为T
qvB＝
，T＝
解得T＝
当n＝4 时，时间最短，即 tmin＝3×6×
＋3×
T＝
T
解得tmin＝
.
11．(2020·浙江高三其他模拟)如图所示，真空中有以O 和O＇为圆心，半径都为r=10cm 的圆柱形匀强磁
场区域Ⅰ和Ⅱ，磁场的感应强度大小相等B=0.2T，方向垂直于纸面(xoy 平面)向里。圆柱O 没有筒壁，圆
柱O＇的筒壁光滑绝缘，粒子与筒壁碰撞后，粒子电量和速度大小不变，方向遵循反射定律。圆柱O＇
与x 轴的交点开有两个小孔A、C，并在C 处装有阀门，控制粒子通过。在y1=10cm 到y2=15cm 的区域
存在平行于y 轴，方向沿y 轴负方向的匀强电场。现打开阀门C，有一带正电的粒子在y 轴上的
y2=15cm 处静止释放，穿出电场后依次进入匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，经磁场偏转，与筒壁碰撞后从C 孔离开
磁场，到达位于x=40cm 处平行于y 轴的荧光屏MN，荧光屏就发光。带电粒子的比荷1×108C/kg。不计
粒子重力。求：
(1)电场强度的大小；
(2)若带电粒子从y2=15cm，x 坐标在-5cm≤x≤5cm 范围内的某位置静止开始进入电场加速，然后进入匀强
磁场，粒子进入磁场开始计时，在t=2π×10-7s 时刻关闭阀门C；
①从A 孔出去的粒子，与x 轴夹角的范围；
②能够从C 孔离开磁场的粒子到达荧光屏的位置(用纵坐标y 来表示)。
【答案】(1)
V/m；(2)①
，②y=0，
，
，
或
。
【详解】
(1)根据几何关系可得
由动能定理可得
解得
V/m
(2)①根据几何关系可得
②
粒子在筒壁两次碰撞点对圆心的夹角
所以
粒子与壁碰撞n-l 次后从C 处飞出。
(k=0，1，2，……)
(k=0，1，2，……)
所以
，且n 与2k+1 互质。
当k=0，n 只能取2，3。在磁场中的运动时间小于2T
n=2 时，
，θ=0
到达荧光屏的位置
y=0
n=3 时，
，
，到达荧光屏的位置
当k=1，n 可以取5，7，8。在磁场中的运动时间小于2T
n=5 时，
，
，到达荧光屏的位置
n=7 时，
，
。到达荧光屏的位置
n=8 时，
，
。到达荧光屏的位置
12．如图所示，MN 长为3L，NP 长为4L 的矩形MNPQ 区域内，存在以对角线MP 为分界线的两个匀强磁
场区域I 和II，方向均垂直纸面向外，区域I 的磁感应强度大小可调，区域II 的磁感应强度大小为B。
一质量为m、电量为q 的带正电粒子从M 点以平行于MN 边的方向射入磁场I 区域中，速度大小为
，不计粒子所受重力，矩形外边线上均存在磁场。(sin
=0.6，cos
=0.8)
(1)若粒子无法进入区域II 中，求区域I 磁感应强度大小范围；
(2)若区域I 的磁感应强度大小
，求粒子在磁场中的运动时间；
(3)若粒子能到达对角线MP 的中点O 点，求区域I 磁场的磁感应强度大小的所有可能值。
【答案】(1)
；(2)
；(3)若粒子由区域Ⅱ达到O 点，
、
、
；若粒子由区域I 达到O 点，
、
【详解】
(1)当粒子速度一定时，磁感应强度越小则粒子运动的半径越大，当运动轨迹恰好与NP 相切时，粒子恰
好不能进入区域Ⅱ，故粒子运动半径R＞3L，由
可得
(2)粒子在区域I 中运动：由
、
，解得
R=L
粒子在区域Ⅱ中运动
解得
画出轨迹如图所示，在区域I 中运动所对应的圆心角为
，在区域Ⅱ中运动所对应的圆心角为
，
所以粒子在磁场中运动的时间
(3)因为粒子在区域Ⅱ中的运动半径
，若粒子在区域I 中的运动半径R 较小，则粒子会从MQ 边射
出磁场，若粒子恰好不从MQ 边射出时应满足粒子运动轨迹与MQ 相切，如图所示
∠O2O1A=
，sin
=
又因为
sin
=2sin
cos
=
解得
①若粒子由区域Ⅱ达到O 点，每次前进
由周期性可得
MO=nMC2(n=1，2，3……)
即
解得
n≤3
n=1 时：
，
n=2 时
，
n=3 时
，
②若粒子由区域I 达到O 点
由周期性可得
MO=MC1+nMC2(n=0，1，2，3……)
即
解得
解得
n≤
n=0 时
，
n=1 时
，
13．(2020·江苏高考真题)空间存在两个垂直于
平面的匀强磁场，y 轴为两磁场的边界，磁感应强度分
别为
、
。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O 沿x 轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1
次、第2 次经过y 轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q 时，乙也恰好同时经过该点。已
知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q 到O 的距离d；
(2)甲两次经过P 点的时间间隔
；
(3)乙的比荷
可能的最小值。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】
(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由
得，
，
Q、O 的距离为：
(2)由(1)可知，完成一周期运动上升的距离为d，粒子再次经过P，经过N 个周期，
所以，再次经过P 点的时间为
由匀速圆周运动的规律得
，
绕一周的时间为
所以，再次经过P 点的时间为
两次经过P 点的时间间隔为
(3)由洛伦兹力提供向心力，由
得，
，
完成一周期运动上升的距离
若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在Q 点相遇，则
，
结合以上式子，n 无解。
若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲离子在Q 点相遇，则
，
计算可得
(n=1，2，3……)
由于甲乙粒子比荷不同，则n=2 时，乙的比荷
最小，为
14．在如图甲所示的xOy 平面内，y 轴右侧空间有分布均匀、随时间变化的电场和磁场，其变化规律分别
如图乙、丙所示，以y 轴正方向为电场强度的正方向，电场强度大小为E0、2E0、3E0、……；垂直xOy
平面向外为磁场的正方向。t=0 时刻，质量为m、电荷量为q 的负粒子，以初速度v0从坐标原点O 沿x
轴正方向射入，不计粒子的重力。已知磁感应强度大小
，求该粒子在：
(1)t0时刻的速度大小；
(2)2t0时刻的位置坐标；
(3)nt0(n=1，2，3，…)时刻的动能。
【答案】(1)
；(2)
，
；(3)当n 为偶数时
(n=2，4，6……)；当n 为奇数时
(n=1，3，5……)
【详解】
(1)带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，沿y 轴负方向的速度为
，
根据
解得
(2)粒子在
时间内在电场运动，则水平位移为
竖直位移有
粒子在
时间内是在磁场内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
周期
由题意可得，粒子运动轨迹如图所示
根据几何关系，可知水平位移为
竖直位移为
则2t0时刻的位置坐标为
，
(3)由于粒子每次经过磁场时初末速度相同，每次经过电场，在y 轴负方向不断加速，经k 次电场时，
(k=1，2，3……)
当n 为偶数时n=2k
(n=2，4，6……)
当n 为奇数时n=2k-1
(n=1，3，5……)
时刻的动能为
当n 为偶数时
(n=2，4，6……)
当n 为奇数时
(n=1，3，5……)
15．在空间建立直角坐标系xoy，以坐标原点O 为圆心作两个半径分别为r 和R 的同心圆，小圆与两坐标
轴分别交于M、P、两点，Q 也是小圆上的一点；两圆将空间分隔成三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。在区域Ⅰ内
存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，区域Ⅱ内也存在垂直于坐标平面的匀强磁场，区域Ⅲ内没有磁场。
一个不计重力、带电量为+q、质量为m 的粒子从M 点沿－y 方向进入磁场，从P 点进入区域Ⅱ，又从Q
点再次回到区域Ⅰ。已知∠POQ＝60°，求：
(1)求区域Ⅰ和区域Ⅱ内磁场的磁感应强度；
(2)若要使粒子约束在磁场内，求大圆半径R 的最小值；
(3)粒子在磁场中运动的周期。
【答案】(1)
，垂直xoy 平面向里；
，垂直xoy 平面向外；(2)
；(3)
【详解】
(1)设在区域Ⅰ内轨迹圆半径为r1=r
由牛顿第二定律得
则区域Ⅰ磁场的磁感应强度为
垂直纸面向里
设粒子在区域Ⅱ中的轨迹圆半径为r2，部分轨迹如图所示，由几何关系得
由牛顿第二定律得
所以
＝
方向与B1相反，即垂直xoy 平面向外
(2)由几何关系得
R＝2r2+r2＝3r2
即
R=
(3)轨迹从M 点到Q 点对应圆心角θ=90°+60°=150°，要仍从M 点沿y 轴负方向射入，需满足：
150n=360m，m、n 属于自然数，即取最小整数m=5，n=12，其中区域Ⅰ做圆周运动周期
T1=
区域Ⅰ做圆周运动周期
T2=
粒子在磁场中运动的周期
T=12(T1+T2)=
16．运动的合成与分解告诉我们一个复杂合运动可看成几个简单分运动同时进行，比如平抛运动：如果我
们想直接得到它的轨迹方程就比较困难，为方便处理，我们将合运动分解成一个匀速直线运动和一个匀
变速直线运动同时进行。这种思想方法得到了广泛的应用。如图所示，一人工转变核反应的反应区A，
内有α 粒子以速率v′轰击静止的铍核(
)，单位时间发射大量α 粒子，发生核反应生成碳核(碳12)和
另一个核子，三者速度在同一直线上，且碳核速度与α 粒子入射速度同向。反应区A 的大小忽略不计，
碳核仅在如图所示的竖直平面内，从反应区A 限定角度内可以沿各个方向按平面机会均等地射出，其速
率为
(θ 为碳核与水平方向的夹角，θ 最大为75°)。整个空间处于一个向右的场强为B 的
匀强磁场中，距离反应区右侧d 位置处有一个圆屏，圆心O 与反应区A 的连线垂直于圆屏。(不考虑粒
子重力作用及生成物间的相互作用)。已知电子电荷量大小为e，中子和质子质量均为m，于是各粒子的
质量和电荷量均可表示，求：
(1)写出核反应方程式，书写时请推断出核反应生成的另一核子，并计算θ=0 时另一核子的速率；
(2)若单位时间内
数量的碳核打到圆屏上，求圆屏的半径；
(3)若已知圆屏的半径为R，求单位时间内打到圆屏上碳核的数目占总生成碳核的百分比。
【答案】(1)
，
；(2)
；(3)见解析
【详解】
(1)核反应方程式为
反应前后动量守恒，有
当θ=0 时，解得
(2)生成碳核速度v 分解成水平方向与竖直方向，水平分速度为
，水平方向做匀速运动，竖直面
内，竖直分速度
，做匀速圆周运动，则有
，
圆周运动周期为
向左射出的碳核不能达到圆屏所在的竖直面，只有向右射碳核才能到达竖直面，向右射出的碳核从反应
区到圆屏平面的时间为
解得
即碳核正好转过
个圆周，对应圆心角β=120°，碳核做圆周运动的半径为
θ 为碳核与水平方向的夹角，θ 最大为75°，单位时间内
数量的碳核打到圆屏上，则θ=60°。由几何
关系可得
(3)综上分析，圆屏的半径为R，碳核的数目占总生成碳核的百分比为k，当θ 最大为75°时，碳核打到
圆屏上的位置距离圆心
a.当
时，向右射出的碳核粒子能够全部打到圆屏上，k=50%；
b.当
时，碳核做圆周运动的半径
则
及
17．如图甲所示，长方形MNPQ 区域(MN=PQ=3d，MQ 与NP 边足够长)存在垂直纸面向里的匀强磁场，
其磁感应强度为B。有一块长为5d、厚度不计的荧光屏ab，其上下两表面均涂有荧光粉，平行NP 边放
置在磁场中，且与NP 边相距为d，左端a 与MN 相距也为d。电子由阴极K 均匀地发射出来(已知电子
质量为m、电荷量为e、初速度可视为零)经加速电场加速后，沿MN 边进入磁场区域，若电子打到荧光
屏就被吸收。忽略电子重力和一切阻力，求：
(1)如果加速器的电压为U，求电子刚进入磁场的速度大小；
(2)调节加速电压，求电子落在荧光屏上，使荧光屏发光的区域长度；
(3)若加速电压按如图乙所示的图象变化，求从t=0 开始一个周期内，打在荧光屏上的电子数相对总电
子数的比例；并分析提高该比例的方法，至少提出三种。
【答案】(1)
；(2)
；(3)62.5%；方法见解析
【详解】
(1)根据
求得
(2)打在荧光屏a 点的电子，由几何关系得
求得
①若减小粒子的速度，粒子打到荧光屏的下表面，临界条件是轨迹相切于c 点，是粒子的最小速度，
由几何关系可知，对应粒子做圆周运动的半径
因此ac 区域长度是
②若增大粒子的速度，粒子打到荧光上表面，临界条件是粒子运动轨迹与NP 相切，
由几何关系得
那么
，
求得
由于
那么
发光区域的总长度为
(3)由第(2)步可知，粒子半径在
的区间内，粒子能打在荧光屏上
结合
得
可求得：当
时粒子能打在荧光屏上
因此
提高粒子打在荧光屏上比率的方法：
①扩大荧光屏上方磁场区域②荧光屏左端适当往左移一些③荧光屏适当往MQ 端移动④适当减小加速电
压的最大值⑤适当增大加速电压的最小值
18．利用电磁场可以控制带电粒子的速度大小与方向。在图示坐标系的第Ⅱ象限，存在一个圆心为坐标原
点的
圆环状的均匀辐向电场，圆环在y 轴上的截面长度为R，电场中各点电势为
，式中k 为
正的已知常量，r 为该点到圆心O 的距离。在y 轴右侧，圆心为(R，0)、半径为R 的虚线圆内分布着方
向垂直于圆面的匀强磁场，在
处有一竖直放置的足够长的探测屏。今在圆弧的
点
放置一个离子源，能不断释放质量为m、电荷量为
的带电离子。当磁场的磁感应强度大小为
时，
这些经电场加速的离子刚好能从磁场区域最高点射出。忽略离子初速度，不计离子重力及相互作用力，
不考虑空气阻力。
(1)求离子在磁场中的速率v；
(2)若磁场的磁感应强度大小可调，求离子打在屏上的纵坐标y 与磁感应强度大小B、原磁感应强度大小
的关系式；
(3)若将离子源沿环形电场外边界缓慢移动，使所有离子均沿竖直方向射出磁场，求磁场区域的最小面
积，画出磁场形状并标明磁感应强度的大小与方向。
【答案】(1)
；(2)
；(3)见解析
【详解】
(1)扇形电场的电势差为
离子在加速电场中根据动能定理有
联立解得速率
(2)改变磁场磁感应强度
，离子运动轨迹如下图所示
则离子打在屏上的纵坐标
二倍角公式
两半径满足
其中
联立解得
(3)两种可能情形：一是射出磁场的离子均沿整直向下(
)方向，所需磁场区域的最小面积为
磁场形状及磁感应强度的大小与方向如下图所示
二是射出磁场中的离子均沿竖直向上(
)方向，所需磁场区域的最小面积为
磁场形状及磁感应强度的大小与方向如下图所示
19．如图甲所示，空间中有一半径为2r，边界处由特殊绝缘材料制成圆筒，粒子打到边界会被筒壁反弹
(反射后粒子动能不变，其反射规律类似于光的镜面反射规律)。筒内有垂直纸面向外的匀强磁场，其大
小随时间呈周期变化(如图乙所示)，周期为T(未知)。以圆心O 为原点建立坐标轴， O 处有一质量为
m，带电量为+q 的粒子，在t=0 时刻以速度v0沿向y 轴正方向进入磁场，经t=0.4T 恰能第一次返回O 点。
已知
，粒子不计重力。求：
(1)通过计算，试画出粒子刚进入磁场至第一次返回O 点的运动轨迹；
(2)磁场变化的周期T；
(3)粒子经过M(-r，0)点可能的时刻t。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
或
(n=0，1，2，3……)
【详解】
令粒子在
中运动的轨迹半径为R，则
(1)洛伦兹力提供向心力
得
经分析，轨迹如图1 所示
(2)令粒子在
中的运动周期为
，则
由(1)作图可知：第一次经过O 点的时刻
故
(3)当
由
，
可知粒子在2B0中运动的轨道半径
粒子在2B0中运动的周期
即
当时，粒子恰回到O 点(如图2)
当粒子第一次过M 点时
当粒子第二次过O 点时
经分析粒子运动的大周期
(如图3)
当第二次经过M 点时
所以经过M 点时刻为
或
(n=0，1，2，3……)
20．真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B 垂直纸面向里为正方向，B0=1T，t0=π×l0-5s，k
为正整数。某直角坐标系原点O 处有一粒子源，在t=0 时刻沿x 轴正方向发射速度为v0=103m/s 的正点
电荷，比荷
=1×l06C/kg，不计粒子重力。
(1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3 次(从O 点出发记为第1 次)经过y 轴时的时刻；
(2)若k=2，求粒子在运动过程中与y 轴交点坐标的最大值和最小值；
(3)若t0=
10-5s，则k 取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值Tmin
和相应的k 值。
【答案】(1)0.001m；
；(2)
；
；(3)当
取非
的正整数时，均可以回到出发点；当
时，最小循环周期为
【详解】
(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由
解得
当
时，因为
，粒子第3 次经过
轴时恰好向上经历两个半圆(如图)则时间
(2)当
时，
，粒子一个循环周期中运动分别为半圆→整圆→半圆→整圆，因此由几何关系
得：
与
轴交点坐标的最大值为
与
轴交点坐标的最小值为
(3)因为
，所以粒子先做
圆弧运动，之后对
的不同值进行分类讨论：
如图可见
1、2、3、4 时可能的分段情况．
①
，粒子做
圆弧交替运动，向右上45°方向无限延伸，不会循环运动
②
，粒子做
圆弧与
圆弧交替运动，经过4 个周期回到出发点，循环周期
③
，粒子做
圆弧与
圆弧交替运动，经过2 个周期回到出发点，循环周期
④
，粒子做
圆弧与
圆弧交替运动，经过4 个周期回到出发点，循环周期
当
时，运动过程相似，每个周期中均增加
(正整数)个圆周，能循环的运动其循环周期均延长．
综上可得：
(1)当
取非
的正整数时，均可以回到出发点．
(2)当
时，最小循环周期为
．
21．在如图所示的坐标系中，仅第三象限的磁场垂直坐标系所在平面向外，其余象限的磁场方向均垂直坐
标系所在平面向里，四个象限中的磁感应强度大小均为B。其中M、N 两点为x 轴负半轴和y 轴负半轴
上的点，坐标分别
、
，一带负电的粒子由M 点沿MN 连线方向射入，忽略粒子的
重力。求：
(1)如果负粒子由M 点射入后刚好能经过坐标原点第一次离开边界线，负粒子在第三象限磁场中的路程
为多少？
(2)如果负粒子由M 点射入后能经O 点到达N，负粒子的路程为多少？
【答案】(1)
；(2)πa 或2πa
【详解】
(1)电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设圆周运动半径为R，若电子从M 点出发刚好经原点O 第一次
离开边界线，如图甲所示
则有
2Rcos45°＝
解得
R＝a
运动轨迹为四分之一圆周，所以运动的路程
s＝
(2)负粒子从M 点出发经原点O 到达N 点，若粒子经原点O 第一次射出磁场分界线，则轨迹如图甲，运
动路程为一个圆周即
s＝2πR＝2πa
若粒子第N 次离开磁场边界为O 点，则要回到N 点，经过O 点的速度必然斜向下45°，则运动轨迹如图
乙
根据几何关系有
圆周运动半径
运动通过的路程为
s＝
＝
＝πa
22．如图所示，在第一、四象限有垂直于纸面向里和向外的磁场区域Ⅰ和Ⅱ，OM 是两磁场区域的交界线，
两区域磁场磁感应强度大小相同 B =0.1T，OM 与 x 轴正方向夹角为α。在第二、四象限存在着沿 x
轴正向的匀强电场，电场强度大小E= 1×104V/m。一带正电的粒子,质量m=1.6×10 −24kg、电荷量
q=1.6×10−15C，由 x 轴上某点 A 静止释放，经电场加速后从 O 点进入Ⅱ区域磁场(带电粒子的重力不
计)
(1)若 OA 距离l1=0.2m，求粒子进入磁场后，做圆周运动的轨道半径大小R1；
(2)要使经电场加速后，从O 点进入磁场的所有带电粒子仅在第一象限区域内运动，设计两磁场区域大
小时，角α 最大不能超过多少？
(3)若
=30°，OM 上有一点 P(图中未画出)，距 O 点距离l2=0.3πm。上述带正电的粒子从 x 轴上某
一位置 C 由静止释放，以速度 v 运动到 O 点后能够通过 P 点，v 等于多大时，该粒子由 C 运动到
P 点总时间最短，并求此最短时间。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
.
【详解】
(1)设粒子到O 点时速度大小为
，从P 到O 点过程，有
①
得
在磁场中对粒子有
②
得
(2)设粒子进入磁场后，在Ⅰ和Ⅱ磁场区域做圆周运动的半径相同设为r.当a 取最大值时，粒子运动轨迹
如图
由几何关系可知
③
得
又因为
④
得
要使从0 点进入磁场的带电粒子仅在y 轴右侧区域运动，
不能超过
.
(3)设粒子运动至0 点速度大小为v，粒子在电场中运动时间为
，加速度大小为a，对粒子有
⑤
得
⑥
粒子在磁场中做匀速圆周运动轨道半径为r，周期为T 对粒子有
⑦
得
⑧
得
如图由几何关系知
⑨得
粒子每次在任意磁场中运动圆弧的圆心角均为
，弦长
假设粒子在磁场中刚好运动到P 点时间为
，则有
⑩
粒子运动到0 点时间为t，则有
代入数据有
当
，即：
时
此时，将
带入
得
假设成立，故粒子运动至P 点最短时间为
.
23．如图所示，圆心为O、半径为r 的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度
大小为B。P 是圆外一点，OP=3r，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从P 点在纸面内沿着与OP 成
60°方向射出(不计重力)，求：
(1)若粒子运动轨迹经过圆心O，求粒子运动速度的大小；
(2)若要求粒子不能进入圆形区域，求粒子运动速度应满足的条件。
【答案】(1)
；(2)
或
【详解】
(1)设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，圆心为
，依图题意作出轨迹图如图所示：
由几何知识可得：
解得
根据牛顿第二定律可得
解得
(2)若速度较小，如图甲所示：
根据余弦定理可得
解得
若速度较大，如图乙所示：
根据余弦定理可得
解得
根据
得
，
若要求粒子不能进入圆形区域，粒子运动速度应满足的条件是
或
24．在科学研究中，可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制。在如图所示的平面坐标系
xOy 内，以坐标原点O 为圆心，半径为
d 的圆形区域外存在范围足够大的匀强磁场。一质量为m、
电荷量为＋q 的粒子从P(0，
d)点沿y 轴正方向射入磁场，当入射速度为v0时，粒子从a
处进入无场区射向原点O，不计粒子重力。求：
(1)磁场的磁感应强度B 的大小
(2)粒子离开P 点后经多长时间第一次回到P 点
(3)若仅将入射速度变为3v0，则粒子离开P 点后运动多少路程经过P 点
【答案】(1)
；(2)
；(3)①
，其中
1、2、3、…；②
，其中
0、1、2、3、…
【详解】
(1)粒子的运动轨迹如图所示
由题条件可判断粒子做圆周运动半径为
粒子在磁场中
解得
(2)粒子运动轨迹如图示
粒子在磁场中运动时间
因为洛伦兹力提供向心力，则有
可得
粒子在无场区运动时间
粒子再次回到
点时间
解得
(3)粒子运动轨迹如图所示
粒子速度变为
，则在磁场中运动半径为
由
点出发后第一个圆弧的弧长
无磁场区圆的直径长度
①粒子以
沿
轴正向经过
粒子运动路程
，其中
1、2、3、…
②粒子以
大小沿
方向经过
，其中
0、1、2、3、…
代入得
，其中
0、1、2、3、…
25．如图所示，在直角坐标系
中，
，
范围内有两个匀强磁场区域I 和II，磁场方向均垂
直纸面向里，虚线
为它们的分界线，区域I 的磁感应强度大小为
，区域II 的磁感应强度大小
可调，
点为它们分界线上的某一点，已知
。质量为
，带电量为
的粒子从
点沿
轴
方向射入磁场I 中，速度大小为
，不计粒子所受重力。求：
(1)粒子不会飞出第一象限，求粒子在区域II 磁场中做圆周运动的半径大小应满足的条件；
(2)粒子在第一象限内运动的过程中，恰好能经过
点，求区域II 磁场的磁感应强度大小的所有可能值。
【答案】(1)
，(2)若粒子是从II 区通过
点，磁感应强度可能为：
，
；若粒子是
从I 区通过
点，磁感应强度为
。
【详解】
(1)两磁场分界线与x 轴夹角为
，设粒子在磁场I 和II 区内运动的半径分别是
、
，粒子在
磁场I 内运动时，洛伦兹力提供向心力：
解得：
由几何知识：粒子每在磁场I 运动一次，到OP 直线的位置向前推进
，每在磁场II 运动一次，
到OP 直线的位置向后倒退
：
粒子不会飞出第一象限，需满足：
解得：
；
(2) 粒子在磁场II 内运动时，洛伦兹力提供向心力：
若粒子是从II 区通过P 点：
解得：
，其中n=1，2，3…
符合条件的有
时：
对应：
时：
对应：
若粒子是从I 区通过P 点：
解得：
，其中n=1，2，3…
符合条件的有
时：
对应：
综上所述：若粒子是从II 区通过
点，磁感应强度可能为：
，
；若粒子是从I 区通过
点，磁
感应强度为
。
