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题型12 带电粒子在叠加场中的运动
黑吉辽蒙高考对叠加场的考查聚焦匀强电场、匀强磁场、重力场的两两/三者叠加，多为有界
场+临界极值+几何分析，侧重受力分析→运动状态判断→物理公式+几何关系联立，题型稳定、考
向明确，核心是判断粒子平衡、匀速圆周、匀变速曲线/直线三种运动状态，以下是适配天津考情
的全维度解码。一、天津高考考情核心特征1. 场的组合：高频考电场+磁场（正交/平行）、重力场
+电场+磁场（复合叠加），极少考非匀强场，侧重有界叠加场（矩形、圆形、有界直线边界）；2.
粒子类型：微观粒子（电子、质子、α 粒子）默认不计重力，宏观带电体（小球、油滴、尘埃）必
目录
第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局
第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学
总方法透视
典例引领
变式演练
考向01 带电粒子在叠加场中做直线运动
考向02 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动
考向03 带电粒子在叠加场中做旋进运动
考向04 带电粒子在叠加场中含动量问题
第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战
考虑重力，题意无提示时按此判定（天津高考无特殊反常规设定）；3. 设问方向：固定考速度大
小/方向、轨迹半径/圆心角、运动时间、出场位置、临界条件，多为计算题（16/17 题，中档偏
难），偶尔在选择题中考基础状态判断；4. 核心难点：正交叠加场中“洛伦兹力随速度变化”的动
态分析、临界极值的几何转化（如刚好不飞出、刚好相切），天津高考偏爱结合几何对称、勾股定
理、三角函数破题。二、核心题型分类（适配天津考情，按考频排序）题型1：重力场+电场+磁场
（三者正交，最高频）天津高考最常考模型，核心分两种运动状态，判定是关键：1. 平衡状态：
qE+mg+qvB=0（矢量和），粒子静止/匀速直线运动2. 非平衡状态：重力+电场力为恒力，洛伦兹
力为变力，题型2：电场+磁场（正交/平行，次高频）题型3：重力场+电场（叠加，基础铺垫）
Ⅰ：叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
Ⅱ：无约束情况下的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此
可求解问题．
③若沿固定的轨道运动，带电粒子还要受到其它力的作用。可根据带电粒子运动形式以及涉及的物理量，
选择相对应的办法求解。
(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子以大小和方向都唯一确定的速度做匀速直线运动。
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子做复杂的曲线运动。涉及时间的问题只可粗解。不涉及时间的
问题，因洛伦兹力不做功，只有电场力做功，故利用动能和电势能之和守恒或动能定理可详解．
(3)电场力、洛伦兹力、重力并存
①若电场力、洛伦兹力和重力三个力平衡，带电粒子做匀速直线运动。此时这三个力不在一条直线上，三
个力可围成一个三角形。利用解三角形的方法可求解。
②若重力和电场力平衡，带电粒子所受的洛伦兹力提供向心力，带电粒子做匀速圆周运动。即：
，
③若电场力、洛伦兹力和重力三个力合力不为零，带电粒子做复杂的曲线运动。涉及时间的问题只可粗
解。不涉及时间的问题，因洛伦兹力不做功，只有电场力和重力做功，故利用机械能和电势能之和守恒或
动能定理可详解。
④若沿固定的轨道运动，带电粒子还要受到其它力的作用。可根据带电粒子运动形式以及涉及的物理量，
选择相对应的办法求解。当带电粒子运动形式是直线运动时，根据涉及的物理量可利用动力学的三大规律
求解。当带电粒子做圆周运动时，通常利用向心力公式和动能定理求解。
Ⅲ：有约束情况下的运动
带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运
动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、
能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．
考向01 带电粒子在叠加场中做直线运动
【例1-1】（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，空间中存在竖直向下的匀强电场，虚线边界MN 的右侧还存
在垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。一带电小球从P 点沿着与水平方向成
角开始运动，运动到
虚线边界MN 上的Q 点时速度方向恰好水平向右，之后小球开始做匀速直线运动。已知小球的初速度大小
为
、质量为m、电荷量大小为q，重力加速度为g，匀强电场的电场强度
，下列说法正确的是（
）
A．小球带正电
B．匀强磁场的方向垂直于纸面向外
C．P、Q 两点的水平距离大小为
D．匀强磁场的磁感应强度大小为
【答案】C
【详解】A．由题意可带电小球从P 点到Q 点在竖直方向做匀减速直线运动，则加速度方向向上，小球受
到的电场力向上，与场强方向相反，所以小球带负电，故A 错误；
C．带电小球从P 点到Q 点过程，竖直方向有
，
水平方向有
联立解得P、Q 两点的水平距离大小为
，故C 正确；
BD．小球经过Q 点之后小球开始做匀速直线运动，根据平衡条件可知，洛伦兹力竖直向下，由左手定则
可知，匀强磁场的方向垂直于纸面向里；又
解得匀强磁场的磁感应强度大小为
，故BD 错误。
故选C。
【例1-2】（2025·辽宁丹东·二模）如图所示，平行板电容器两极板水平放置，两板间电压为U，板长为
d，板间距离为
，极板间存在垂直纸面水平向外的匀强磁场（图中没有画出）。一质量为m 的带正电物
块（可看成质点）以初速度
沿水平方向从电容器上极板左侧边缘进入电容器，做匀速圆周运动，从电容
器下板右侧边缘离开电容器，恰好由A 点沿切线进入固定的竖直光滑绝缘圆弧轨道，并从轨道最低点C 滑
上水平传送带（传送带足够长），传送带紧靠圆弧轨道末端，并与其水平相切。重力加速度大小为g，忽
略空气阻力。
(1)求两极板间磁场的磁感应强度
的大小；
(2)若仅在该圆弧轨道空间存在与平面平行的水平向左的匀强电场（图中未画出），物块所受的电场力
，圆轨道半径
，求物块对轨道的最大压力大小；
(3)若在（2）问的基础上，轨道C 点右侧空间再加上垂直纸面水平向里的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0T，
带电物块从电容器上极板左侧边缘进入电容器的初速度
m/s，物块质量为m＝2kg，电荷量q＝
2.0C，传送带以12m/s 的速度顺时针匀速转动，已知g 取10
，求物块滑上传送带过程中传送带对物块
做的功。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）平行板电容器内匀强电场的电场强度
小物块在电磁场中做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得
解得
小物块运动轨迹如图，由几何知识可得
解得
根据
解得
（2）设小物块在平行板电容器中做匀速圆周运动的偏转角为a，则有
，
因为
，所以小物块在A 点所受电场力与重力的合力沿OA 方向，对轨道的压力最大在A 点，有
解得
（3）设小物块在C 点的速度大小为
，小物块从A 点运动到C 点的过程中，由动能定理
解得
当
时，
物块脱离传送带，则根据动能定理
【变式1-1】（2025·辽宁鞍山·二模）空间中存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，一带电粒子从
点进入
该空间做匀速直线运动（粒子的重力可忽略），经过一段时间粒子运动至
点，此时撤掉电场，又经过相
同时间粒子速度偏转
时到达S 点，则线段
与
间夹角的正切值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【详解】带电粒子在叠加场中做匀速直线运动，设PQ 两点的距离为，所用时间为，则有
此时撤掉电场，带电粒子只受洛伦兹力作用，此时速度偏转
时到达S 点，由几何关系，可知QS 两点
的距离为
，在磁场偏转有
联立解得
设线段
与
间夹角为
，由几何关系可知，
角的对边为PQ，邻边为QS，则有
故选D。
【变式1-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，在竖直面内建立直角坐标系，x 轴水平向右，y 轴竖
直向上，空间中存在水平向右的匀强电场E 和垂直于纸面向内的匀强磁场B，已知电场强度
，磁
感应强度
。在坐标原点向该平面内射出一质量为
、电荷量为
的带正电微粒
（可视为点电荷，重力不可忽略），微粒恰能在
坐标平面内做直线运动。（g 取
）
(1)求微粒发射时的速度大小和方向；
(2)如果发射微粒时电场方向改为竖直向上，大小不变，求微粒距
轴最远时的位置坐标；
(3)如果发射微粒时撤去电场，则微粒运动的最大速度是多少？速度最大时微粒与x 轴的距离是多少。
【答案】(1)
，速度方向与x 轴正方向夹角
(2)
(3)
【详解】（1）微粒做匀速直线运动，受力如图所示
带电微粒所受重力为
受电场力为
设速度方向与x 轴正方向夹角为
，则
则
洛伦兹力
（2）若电场方向竖直向上，大小不变，则重力与电场力平衡，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，
受力和运动如下图
由洛伦兹力提供向心力
解得半径
微粒运动到距
轴最远处时，横坐标
纵坐标
则此时微粒的位置坐标为
（3）若释放微粒时撤去电场，将微粒在
点的速度分解为
和
，如下图所示
则
沿
轴正方向的洛伦兹力
则微粒的一个分运动：沿
轴正方向以
做匀速直线运动；另外一个分运动以
做逆时针方向匀速圆周运
动。
则运动到最低点时，两分运动速度同向，此时微粒对地速度达到最大
根据动能定理：
则
考向02 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动
【例2-1】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，长为L＝0.8m 的轻杆竖直放置，上端与小球A 相连，下端用光滑
转轴固定于水平桌面上。小球A 恰好与立方体B 接触，B 的右侧紧贴放置一小物体C；距离物体C 足够远
处，静止放置带负电的小物体D；D 的右侧空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。D
到桌面右端距离d＝0.5m，桌面距地面高度H＝0.75m。A 受微小扰动后，杆与A 向右转动，B、C 一起向
右运动。A 与B 刚分离时，A 受到杆的弹力为零；B 离开A 后，用外力制动，C 继续向右运动与D 碰撞
（仅发生一次碰撞且碰撞时间极短）；碰撞后，D 减速运动并离开桌面，第一次落地时与桌面右端的水平
距离
m。A、B、C 和D 满足的质量关系为
；
kg，D 所带电荷量q＝
0.1C 且始终保持不变；D 与桌面间动摩擦因数
，其余各处摩擦不计；电场的场强E＝1N/C，磁感应
强度
T，重力加速度g 取10
。求：
(1)物体D 离开桌面时速度大小；
(2)物体C 与物体D 碰撞后，物体D 速度大小；
(3)物体C 与物体D 碰撞过程中损失的动能。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）依题意，物体D 带负电，离开桌面后，由于
，所以物体D 在洛伦兹力作用
下沿顺时针方向做匀速圆周运动，如图所示，设半径与竖直方向夹角为
根据几何关系有
解得R＝0.5m
根据牛顿第二定律有
解得
（2）设物体D 在桌面上向右运动，任意时刻的速度为，受力分析如图所示
根据牛顿第二定律，竖直方向有
，水平方向有
由于
解得
从碰撞结束到物体D 离开桌面过程中，取一个很短的时间间隔
，根据动量定理有
两边求和
有
解得
（3）设A 与B 刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰好为θ，依题意，此时小球A 受到杆的弹力为零，对
小球A，根据牛顿第二定律有
此时A 与B 水平方向速度相同，有
对小球A 和物体B、C，从开始释放到A 与B 刚脱离接触的瞬间，根据机械能守恒定律
有
解得θ＝30°，
m/s
之后物体C 继续向右运动，与物体D 碰撞，对物体C 和D，以水平向右为正，根据动量守恒定律有
解得
根据能量守恒定律有
解得
【例2-2】（2025·四川绵阳·三模）图所示，竖直平面内的xOy 直角坐标系，水平x 轴上的D 点与坐标原点
O 的距离
，y 轴上的P 点与O 点的距离L=5m。在y<0 区域，充满沿y 轴负方向的匀强电场E 和磁
感应强度大小B=1T、方向垂直xOy 平面向里的匀强磁场。一质量m=1kg、电荷量q=1 C 的带负电小D 球，
在P 点以初速度v0沿x 轴正方向射出，进入y<0 区域后恰好能做匀速圆周运动。重力加速度g 取10m/s2。
(1)求电场强度E 的大小；
(2)若小球能通过D 点，求初速度v0的可能大小；
(3)撤去电场，再让该小球在P 点从静止开始自由下落，求小球在y<0 区域运动过程中距x 轴的最远距离ym
及小球的最大速度vm。
【答案】(1)10N/C
(2)见解析
(3)
，
【详解】（1）小球在y<0 区域恰好做匀速圆周运动，小球重力与电场力是一对平衡力，即qE= mg
解得 E=10N/C
（2）小球在P 点以初速度v0沿x 轴正方向射出后，可以有两种情况通过D 点。一是直接通过D 点。二是
先进入y<0 区域，小球又有两种方式通过D 点，一是经过n 次在y<0 区域做匀速圆周运动、斜向上进入
y>0 区域运动，然后通过D 点；二是经过n 次在y<0 区域做匀速圆周运动、斜向上进入y>0 区域时，通过
D 点。
情况一：设小球经过时间 t 通过D 点，则
，
解得 t= 1s
解得
情况二：小球在P 点以初速度v0射出，设第一次到达x 轴上某点D1与O 点的距离为d1，参照情况一，有d1
= v0
设小球进入y<0 区域时速度大小为v，方向与x 轴的夹角为α，沿y 轴方向的分速度大小为vy，做匀速圆周
运动的半径为R，从x 轴上D2点离开电磁场，设D1与D2点之间的距离为d2，如图1 所示，则
，
解得
①小球经过n 次在y<0 区域做匀速圆周运动、斜向上进入y>0 区域时，通过D 点，如图2 所示。由斜抛的
对称性及几何关系有
解得
②小球经过n 次在y<0 区域做匀速圆周运动、斜向上回到y>0 区域时通过D 点，如图3 所示。由斜抛的对
称性及几何关系有
解得
（3）撤去电场，小球在y<0 区域运动过程中，只有重力做功，离x 轴的最远时，小球的速度水平而且此时
小球的速度最大。设小球在磁场中运动过程中竖直方向上速度为vy，此分速度使小球在磁场中受到水平向
左的洛伦兹力，经过时间
，小球距x 轴的距离最远，则
在水平方向，由动量定理有
小球从P 点运动到距x 轴的最远距离的过程中，由动能定理
解得
，
【变式2-1】（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图所示，在
坐标系中，有沿
轴正向的匀强电场和垂直坐标
平面向外的匀强磁场，电场强度大小
，磁感应强度大小为
。在坐标平面内的某点沿某
方向射出一质量为
电荷量为
的带正电微粒，微粒恰能在
坐标平面内做直线运动，
且运动轨迹经过
点。已知
轴正方向竖直向上，重力加速度
取
。
(1)求微粒发射的速度大小和方向；
(2)微粒到达
点时电场方向变为竖直向上，大小不变，求微粒距
轴最远时位置坐标；
(3)若微粒到达
点时撤去电场，求微粒运动的最大速度为多大？速度最大时轨迹离
轴的距离为多大。
【答案】(1)
，速度方向与
轴负方向夹角
(2)
(3)
，
【详解】（1）微粒做匀速直线运动，受力如图所示
带电微粒受重力为
受电场力为
受洛伦兹力
由受力平衡及几何关系可得
解得
设速度方向与
轴负方向夹角为
，则
可知
，即速度方向与
轴负方向夹角为45°。
（2）微粒到达O 点时，电场方向变为竖直向上，大小不变，则重力与电场力平衡，粒子在洛伦兹力作用
下做匀速圆周运动，受力和运动如下图
由洛伦兹力提供向心力，可得
解得半径
微粒运动到A 点时距
轴最远处时，其横坐标为
其纵坐标为
此时微粒的位置坐标是
。
（3）微粒到达
点时撤去电场，将微粒在
点的速度分解为
和
，如下图所示
则
产生沿
轴正方向的洛伦兹力
则微粒的一个分运动沿
轴负方向以
做匀速直线运动。
微粒的另外一个分运动以
做匀速圆周运动，运动轨迹如图中虚线圆。
则运动到最低点时，两分运动速度同向，此时微粒速度最大，为
又因为
联立可得，此时距
轴的距离
【变式2-2】（2025·内蒙古赤峰·二模）喷墨打印机的原理图如图所示。板间电压可以调整，板间距为
。
在两板间的右侧
区域内，存在垂直纸面向里的磁感强度为
的匀强磁场。在两板间的左侧存在一个可以
上下移动的喷嘴，喷出水平的质量均为
的带电墨滴。电源电压为
时，墨滴在两板间无磁场区域内恰能
沿水平方向向右做匀速直线运动。重力加速度为
。下列说法正确的是（ ）
A．墨滴带正电
B．墨滴所带电荷量为
C．墨滴从左侧飞出的最大速度为
D．墨滴从右侧飞出的最小速度
【答案】CD
【详解】AB．根据题意，电源电压为
时，上极板带正电，下极板带负电，可知电场方向向下，墨滴在
两板间无磁场区域内恰能沿水平方向向右做匀速直线运动，对墨滴受力分析可知受到重力和电场力，两力
合力为零，可知墨滴受到电场力竖直向上与电场方向相反，可知墨滴带负电，根据平衡条件有
而
联立解得
故AB 错误；
CD．墨滴进入电场，磁场共存区域后，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供匀速圆周运动的向心力
解得
从上极板边缘射进的墨滴最容易从两板间射出，当刚好从左侧飞出，有最大速度，如图所示
则有
解得
同理，墨滴刚好从右侧飞出，有最小速度，由几何关系
由
联立解得
故CD 正确。
故选CD。
考向03 带电粒子在叠加场中做旋进运动
【例3-1】（2025·辽宁沈阳·二模）如图所示，在空间直角坐标系
、
区域内存在沿z 轴负方向的
匀强电场，在
区域内存在沿x 轴负方向、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在
区域内还可以施加
沿x 轴方向的交变电场
和沿z 轴方向的交变电场
。一质量为m、电荷量为
（
）的粒子从yOz
平面内的
点沿着与z 轴正方向成某一角度的方向射出，经电场偏转后恰好从原点O 沿y 轴正方
向以速度v 进入磁场和交变电场区域，当粒子经过原点O 时开始计时，交变电场
、
随时间变化的规律
分别如图乙、丙所示，图乙中电场的正方向沿x 轴正方向，图丙中电场的正方向沿z 轴正方向，图乙、丙
中
，不计粒子重力。
(1)求粒子从P 点射出时的速度；
(2)若仅在
区域内施加如图乙所示的沿x 轴方向的电场
，求
时刻粒子的速度大小；
(3)若在
区域内同时施加如图乙、丙所示的交变电场
、
，求粒子相邻两次经过原点O 的时间间隔
及粒子在运动过程中与xOz 平面间的最大距离。
【答案】(1)
，速度方向与z 轴正方向间的夹角
(2)
(3)
,
【详解】（1）粒子偏转的逆过程可视为类平抛运动沿y 轴负方向，有
沿z 轴负方向，有
联立可得粒子从P 点射出时速度的大小
速度方向与z 轴正方向间的夹角
解得
故粒子从P 点射出时的速度与z 轴正方向间的夹角为
，斜向右上方。
（2）粒子在yOz 平面内做匀速圆周运动，沿x 轴方向做往返运动。粒子在yOz 平面内做圆周运动，则有
解得
根据
可得粒子做圆周运动的周期
在
时刻，粒子沿x 轴方向的速度
此刻粒子的速度大小
（3）粒子在复合场内可视为沿yOz 平面和沿x 轴方向的合运动。粒子在yOz 平面内的运动，在
时间
内，在yOz 平面内做圆周运动的半径
粒子在
时间内，粒子做滚轮线运动，可视为沿y 轴的匀速运动和在yOz 平面内圆周运动的叠加，匀
速直线运动的速度满足
解得
其运动轨迹的示意图如图所示
粒子在运动过程中与xOz 平面间的最大距离
由原点出发回到x 轴的时间
（
、2、3……）
粒子沿x 轴方向做往复运动，回到yOz 平面的时间
（
、2、3…）
粒子连续两次经过原点的时间间隔，应是粒子在yOz 平面内回到x 轴和沿x 轴方向回到yOz 平面所需时间
的最小公倍数
【例3-2】（2025·辽宁沈阳·三模）如图所示，空间某区域存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为
；
匀强磁场与电场方向垂直，磁感应强度大小为
。一质量为
、电荷量为
的带正电粒子，从
点以初速
度
水平向右射入，恰好沿直线经过
点，a、b 两点间距为
。不计粒子重力，电场与磁场的范围足够大，
下列说法正确的是（ ）
A．仅改变粒子的电性，粒子无法沿直线经过
点
B．仅改变粒子入射方向（从
点水平向左射入），粒子仍可沿直线经过
点
C．仅改变粒子初速度
的大小，粒子一定无法经过
点
D．仅改变粒子初速度
的大小，若
，粒子一定经过
点
【答案】D
【详解】A．正电粒子受到竖直向下的电场力
和竖直向上的洛伦兹力
，粒子在复合场中做匀速
直线运动，有
仅改变粒子电性，则所受的电场力方向向上，洛伦兹力向下，但仍满足
故仅改变粒子的电性，粒子仍沿直线经过
点，A 错误；
B．从
点水平向左射入，粒子所受的电场力向下，由左手定则可知洛伦兹力向下，故粒子所受的合外力
竖直向下，故粒子不可能可沿直线经过
点，B 错误；
CD．若只改变粒子速度大小，则电场力与洛伦兹力不再等大，故粒子不在做匀速直线运动，设粒子速度变
为
，可将速度
分解为
，满足
则可将粒子的速度
所对应的洛伦兹力分力
平衡电场力而做匀速直线运动，另一个分速度产生的洛
伦兹力
使粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有
匀速圆周运动的周期为
联立解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
即粒子一边做圆周运动，一边沿
方向以
做匀速直线运动，则当满足
时粒子仍从b 点离开，联立解得当
时粒子仍从b 点离开，C 错误；D 正确。
故选D。
【变式3-1】（2025·吉林长春·三模）如图，在空间直角坐标系
中存在磁感应强度大小为
的匀强
磁场，磁场沿
轴正方向，在
处有一垂直
轴足够大的接收屏。原点
处有一粒子源，仅在
平面
内向各个方向发射速度大小为
、质量为
、电荷量为
的正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用
和接收屏累积电荷产生的影响。
(1)求粒子运动的半径和周期
。
(2)若在磁场区再加一个沿
轴正方向电场强度大小为
的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上
坐标最大值和最小值两点的空间坐标。
(3)若粒子源只向
轴负方向发射该种粒子，粒子在磁场中运动时始终受到与速度大小成正比、方向相反的
阻力，比例系数为
。粒子速度第一次沿
轴正方向时的位置设为
点（未画出），已知
点的
坐标为
，求
点的空间坐标和粒子在
点的速度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
，
【详解】（1）由牛顿第二定律
解得
根据周期公式
解得
（2）粒子沿
轴方向做初速度为零、加速度大小为
的匀加速直线运动，由牛顿第二定律
解得
粒子在垂直
轴的平面上做半径为
的匀速圆周运动如图初速度方向沿
轴负方向的粒子打在接收屏上前
运动的时间最长
对应
坐标有最大值
由几何知识可得该点
坐标为
，其对应的坐标为
初速度沿
轴正方向偏向
轴负方向
角方向的粒子打在接收屏前运动的时间最短
由几何知识可得该点
坐标为0，对应
坐标有最小值
其对应的坐标为
（3）粒子从
点至
点过程，沿
轴方向由动量定理有
即
解得
所以
点坐标为
沿
轴方向由动量定理有
即
解得
【变式3-2】（2025·辽宁沈阳·二模）如图，空间直角坐标系
中有一与
面平行的界面M 将足够大
的空间分为Ⅰ、Ⅱ两个区域，界面M 与
轴交点坐标为（0，，0）且界面M 上有一足够大的接收屏（未
画出）。在
点存在一粒子源，仅在
平面内沿各个方向均匀发射速率为
、电荷量为
、质量为
的粒子。Ⅰ区域存在沿
轴正方向、磁感应强度
的匀强磁场，Ⅱ区域存在沿
轴正方向、磁感应
强度
的匀强磁
的匀强电场，不计粒子重力及粒子间的相互作用，不考虑相对论效应。
(1)求粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动的半径和周期
；
(2)若在Ⅰ区域再加一个沿
轴正方向、场强
的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上的
坐标最大和最小的点在坐标系
中的坐标；
(3)若
点发射源只沿
轴负方向发射该种粒子，Ⅰ区域仍存在沿
轴正方向、场强
的匀强电场
（未画出），撤去接收屏，求粒子进入Ⅱ区域后能够达到的最大速率和最大速率时的
坐标。
【答案】(1)
，
(2)（
，，
），（
，，
）
(3)
，
【详解】（1）粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
解得
根据周期公式
解得
（2）粒子沿z 轴方向做初速度为零、加速度为a 的匀加速运动，根据牛顿第二定律可得
解得
粒子在垂直z 轴的平面上做半径为的匀速圆周运动，沿z 轴负方向看如图所示
初速度方向沿y 轴负方向的粒子打在接收屏前运动的时间最长，即
对应z 坐标有最大值
由几何知识可得该点x 坐标为
，其对应的坐标为（
，，
）
初速度方向沿y 轴正方向偏向x 轴负方向
角的粒子打在接收屏前运动的时间最短
对应z 坐标有最小值
由几何知识可得该点x 坐标为0，其对应的坐标为（
，，
）
（3）将粒子刚进入Ⅱ区域的速度分解为沿y 轴正方向的分速度
，和另一分速度
，令
所对应的洛伦
兹力与电场力平衡，由平衡条件可得
解得
由平行四边形定则可得粒子的另一分速度
沿z 轴正方向，大小
粒子的运动可看作以
沿y 轴正方向做匀速直线运动和以
沿x 轴负方向观察做顺时针匀速圆周运
动的合运动。
粒子的z 坐标最大时，
与
方向相同，对应的合速度最大，即
沿x 轴负方向发射的粒子通过界面M 时，垂直z 轴方向的速度分量沿y 轴正方向，大小为
通过界面M 前的运动时间为
通过界面M 时的z 坐标为
粒子沿z 轴方向的速度
沿y 轴方向的速度也为
。
粒子刚进入Ⅱ区域至达到最大速度时，在z 方向上通过的距离等于粒子以
做匀速圆周运动的半径
，则
解得
所以粒子达到最大速度时的z 坐标为
考向04 带电粒子在叠加场中含动量问题
【例4-1】（2026·辽宁沈阳·调研）如图所示为一“匚”字型金属框架截面图，上下为两水平且足够长平行
金属板，通过左侧长度为
的金属板连接。空间中有垂直纸面向里场强大小
的匀强磁场，金
属框架在外力的作用下以速度
水平向左做匀速直线运动。框架内
处有一质量为
、带
正电
的小球。若以某一速度水平向右飞出时，则沿图中虚线
做直线运动。重力加速度
取
。求：
(1)小球沿图中虚线
做直线运动速度大小。
(2)若小球在
点以初速度
与水平方向成
斜向下射入，求小球开始运动到最低点
的竖直距离。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）框架向左运动，产生感应电动势
板间场强：
小球做匀速直线运动，受力平衡：
解得
（2）解法一：将
分解为
，
对水平方向动量定理则有
根据能量守恒可得
解得：
解法二：配速法：将
分解出
，使得其洛伦兹力，电场力，重力，三者平衡，则有
其中
，
所以，小球两个分运动分别是：以速度为
做匀速直线运动和以速度为
做匀速圆周运动，
只有圆周运动有竖直方向的位移，则有
解得
【例4-2】（2025·内蒙古·调研）如图所示，两足够长的极板水平放置，板间距离为
，两极板间加恒定电
压
，板间有水平向里的匀强磁场，磁感应强度
未知。一带正电的粒子恰好能以速度
沿两板正中间匀
速穿过。粒子质量为
，电荷量为
。两板间的电场可视为匀强电场，不计粒子所受重力和粒子运动对电
场的影响。下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度大小为
B．仅减小板间电压
，粒子不可能击中上极板
C．仅增大
，使粒子击中上极板，击中前瞬间的速率与
的大小有关
D．仅向上平移下极板，能使粒子恰击中下极板
【答案】AD
【详解】A．对粒子进行受力分析可知，粒子在混合场中受到竖直向下的电场力和竖直向上的洛伦兹力的
作用，因为粒子以速度
沿两板正中间匀速穿过，所以洛伦兹力与电场力平衡，即
解得磁感应强度大小为
，故A 正确；
B．仅减小板间电压
，电场强度
减小，粒子受电场力减小，洛伦兹力大于电场力，粒子将向上偏，若
板间距离
较小，粒子可能击中上极板，故B 错误；
C．仅增大磁感应强度
，使粒子击中上极板，设粒子到达上极板的速率为，洛伦兹力不做功，对粒子列
动能定理方程有
可得
可知与磁感应强度
的大小无关，故C 错误；
D．设将下极板向上平移
时粒子恰能击中下极板，到达最低点时粒子下降高度为，速度为
，方向水
平向右，则有
设电场强度变为
，则有
粒子所受电场力增加，所以粒子向下偏转，运动轨迹如图所示：
设粒子向最低点运动过程中，某一时刻速度为，速度方向与水平方向夹角为
，此时洛伦兹力大小为
，方向与竖直方向夹角为
，经过极短时间
，水平方向由动量定理有
对从开始到最低点过程求和，可得
由动能定理有
联立可求出
的值，即仅向上平移下极板，能使粒子恰击中下极板，故D 正确。
故选AD。
【变式4-1】如图，一根固定的足够长的绝缘细杆竖直放置。质量为
、电荷量为
的带电小球套在细杆
上，已知小球与杆间的动摩擦因数为
。小球始终处于磁感应强度大小为
的匀强磁场中，磁场方向垂直
细杆所在的竖直平面，不计空气阻力。小球以初速度
从
点沿细杆向上运动至最高点后又下降回到
点，
回到
点前已经开始做匀速运动，已知重力加速度为
，则对小球上升到最高点又回到
点的过程，下列
说法正确的是（ ）
A．小球克服摩擦力所做的功为
B．小球所受洛伦兹力的冲量等于零
C．小球运动的总时间为
D．小球上升的运动时间等于小球下降的运动时间
【答案】BC
【详解】A．因为小球下降回到
点前已经开始做匀速运动，所以有
求得回到
点时的速度大小为
根据动能定理可得
解得
，故A 错误；
B．洛伦兹力
上升过程中，根据左手定则可知方向向左，洛伦兹力的冲量为
下降过程中，洛伦兹力冲量大小为
根据左手定则可知方向向右，所以全过程中小球受洛伦兹力的冲量等于零，故B 正确；
C．同理分析摩擦力
的冲量大小也为零，
根据动量定理得
解得
，故C 正确；
D．小球上升的加速度大小
下降的加速度大小
因为
，所以小球上升的运动时间小于小球下降的运动时间，故D 错误。
故选BC。
【变式4-2】（2025·吉林·模拟预测）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律，设计装
置如图所示，频率为
的激光照射在竖直放置的锌板K 的中心位置O 点，其右侧距离为
处有另一足够大极板A，A 上正对O 点有一竖直狭缝，并在两极板间加电压
，两极板间
电场可视为匀强电场。在A 板右侧有宽度为D、方向垂直纸面向内、大小为
的匀强磁场。锌板的
逸出功
，普朗克常量
，电子质量为
，元电荷
，
，
，
。不计光电子重力及光电子间的相互作用。求：
(1)光电子到达极板A 的最大速度
；
(2)极板A 上有光电子打中的区域面积；
(3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D 应满足的条件；
(4)将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足
，x 为该位置到磁
场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D 应满足的条件。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）由爱因斯坦光电效应方程得
电场中动能定理
解得
（2）设极板上有光电子打中的区域为半径为y 的圆形区域，电子的最大动能为
当电子以最大速度且沿平行极板方向逸出锌板时，电子打到圆形区域的边缘，此时电子在平行极板方向做
匀速直线运动，则
电子在垂直极板方向做匀加速直线运动，有
其中，根据牛顿第二定律可知，电子沿垂直极板方向的加速度大小为
联立得
则极板A 上有光电子打中的区域面积为
（3）设电子经过A 板时最大速度大小为
，与板最小夹角为α，则
解得
所有电子均不从右侧边界飞出临界情况如图
由几何关系得
解得
（4）取向下为y 轴正方向，由y 方向动量定理得
则
所以
当
向上时，电子水平位移最大，此时
磁场宽度D'应满足的条件
1．（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，倾角为37°的光滑斜面ABC 固定在水平地面上，一个质量为m，带
电量为+q 的小球从斜面底端A 点以初速度v 沿斜面向上运动。整个装置处于水平向右的匀强电场中，场强
，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在运动的过程中机械能先增大后减小
B．小球离开C 点后，经过
的时间距离水平地面最远
C．若小球从斜面AC 边的中点以相同的初速度v 沿斜面向上运动，则其落地点比从A 点出发时更远
D．若以斜面竖直边BC 所在直线为分界线，在其右侧空间再加上磁感应强度
的匀强磁场，磁
场方向垂直于纸面向里，小球仍从斜面底端A 点以初速度v 沿斜面向上运动，则小球在运动过程中与
AC 所在直线的最大距离为
【答案】D
【详解】A．由于小球在运动的过程中电场力做正功，所以小球的机械能一直增大，故A 错误；
B．由于
，则
则小球在斜面上做匀速直线运动，小球离开C 点后，距离水平地面最远有
故B 错误；
C．由于小球在斜面上做匀速直线运动，所以若小球从斜面AC 边的中点以相同的初速度v 沿斜面向上运动，
则其落地点与从A 点出发时距离相等，故C 错误；
D．若以斜面竖直边BC 所在直线为分界线，在其右侧空间再加上磁感应强度
的匀强磁场，磁场方
向垂直于纸面向里，小球仍从斜面底端A 点以初速度v 沿斜面向上运动，根据配速法可知，小球将以
的
速度沿AC 方向做匀速直线运动，以
的速度做匀速圆周运动，则小球在运动过程中与AC 所在直线的最大
距离为
故D 正确。
故选D。
2．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）如图所示，在竖直空间中建立直角坐标系
，整个空间中存在竖直向
上的匀强电场和垂直于
平面向里的匀强磁场。质量为
、电荷量为
的带正电小球从
点沿
轴正方
向以大小为
的速度射出，小球恰能沿
轴运动，不计空气阻力，且小球所受的电场力大小等于其重力大
小的一半。若该小球从
点沿
轴正方向以大小为
的速度射出，在小球之后的运动过程中，下列说法正
确的是（ ）
A．小球运动至最高点时的速度大小为
B．小球第一次运动至最低点时的位置坐标为
C．小球运动至最低点时的加速度大小为
D．相邻两次通过
轴时的距离可能为
【答案】BC
【详解】A．当小球从
点沿
轴正方向以大小为
的速度射出，小球恰能沿
轴运动，且小球所受的电场
力大小等于其重力大小的一半，该过程中小球一定沿
轴做匀速直线运动，则有
，
解得
若该小球从
点沿
轴正方向以大小为
的速度射出，可以将
分解为沿
轴正方向的
和
轴负方向成
角的
，则沿
轴正方向的
所受的洛伦兹力恰好与电场力、重力平衡，该方向做匀速直线运动，
与
轴负方向成
角的
对应的洛伦兹力给小球提供向心力，使其绕逆时针方向做匀速圆周运动，则
有
，
小球运动到最高点时的速度为
，故A 错误；
B．小球第一次运动至最低点时，运动时间
则有
，
，故B 正确；
C．结合上述，小球运动至最低点时的加速度大小为
，故C 正确；
D．一个周期内，小球在
轴上方运动时间为
，
小球在
轴下方运动时间为
则有
，故D 错误。
故选BC。
3．（2025·吉林·模拟预测）如图所示，空间存在着方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于纸面向内、磁感
应强度大小为B 的匀强磁场，带电量为+q、质量为m 的小球Q 静置在光滑绝缘的水平高台边缘，另一质量
为m 的不带电的绝缘小球P 以水平初速度
向Q 运动，小球P、Q 正碰过程中没有机械能损失且电
荷量不发生转移，已知匀强电场的电场强度为
，水平台面距离地面高度为
，两球均可看作质点，
重力加速度为g，不计空气阻力。求：
(1)P、Q 两球首次发生弹性碰撞后，小球Q 离地面的最大高度；
(2)P、Q 两球首次发生弹性碰撞后，经多少时间小球P 落地；落地点与平台边缘间的水平距离。
【答案】(1)
(2)
，
【详解】（1）小球P、Q 首次发生弹性碰撞时，根据动量守恒及能量守恒有
，
联立解得
碰后对于小球Q，由于
故小球Q 做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
设小球Q 初始位置离地高度为，则小球Q 离地面的最大高度为
解得
（2）对于小球Q，由于
故Q 球做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即有
经
小球P、Q 再次发生弹性碰撞，由（1）可知碰后
，
小球P 离开平台后做平抛运动，平抛的时间为
，则
所以，P 与Q 首次发生碰撞后到落地，经过的时间
解得
落地点与平台边缘的水平距离为
4．（2025·吉林长春·二模）如图，水平固定的平行带电极板
间距为
，板间产生匀强电场，电场强
度大小为
，两板间同时存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为
的匀强磁场。一质量为
、电荷量为
的带正电的粒子，由两板间左侧中点
以初速度
水平向右射入两极板间，该粒子恰好沿直线运动。仅将
粒子初速度大小调整为
，发现粒子由
点（
点未标出）沿水平方向射出两极板间的区域。不计粒子
重力，下列说法正确的是（ ）
A．M 板带正电，N 板带负电
B．粒子速度
C．
与
一定在同一水平线上
D．
的大小可能等于
【答案】BC
【详解】AB．粒子恰好沿直线运动，可知，粒子所受电场力和洛伦兹力等大反向，则有
解得
由左手定则可知，粒子所受洛伦兹力竖直向下，则电场力竖直向上，由于粒子带正电，可知电场方向竖直
向上，则N 板带正电，M 板带负电，故A 错误，B 正确；
CD．当射入速度大小为
时粒子做匀速直线运动，由此可知，可将
分解为水平向右的
和
，则满足
即
可知，粒子一个分运动为以初速度
向右匀速直线运动，另一个分运动为以速度
在竖直平面内做圆周运
动，设其半径为r，则有
解得
P 点为粒子轨迹最高点，只有当粒子运动至轨迹最高点时，其才能沿水平方向射出两极板间的区域，此时
速度沿水平方向向右，可知Q 点与P 点在同一水平线上，能射出两板间区域，可知
则
的大小不可能等于
，故C 正确，D 错误。
故选BC。
5．（2025·内蒙古乌兰察布·二模）如图，磁感应强度大小为B 的匀强磁场和电场强度大小为E 的匀强电场，
方向均平行于纸面向上，电场和磁场区域足够大。带电粒子（不计重力）由O 点沿x 轴正向入射到电磁场
中，在z 轴（0，0，h）处P 点有一接收器，则接收器接收的粒子比荷可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】带电粒子以初速度沿Ox 轴进入，磁场B 沿Oz 轴，故粒子在xy 平面将做匀速圆周运动自洛伦兹力
提供向心力，则有
、
其角速度
同时，电场E 也沿Oz 轴，使粒子在z 方向做匀加速运动，加速度为
xy 平面运动方程，设粒子从O（0，0）出发，初速度沿+x，则半径
角速度
在t = 0 时，x=0，y=0，速度沿+x，则有
、
粒子只有在ωt = 2nπ（n 为正整数）时才再次回到xy 平面的原点（0，0）。其最小正周期对应n=1，时间
为
z 方向运动方程为
要求粒子同时满足在xy 平面回到原点且到达z= h，即
（n=1，2，3……）
则
（n=1，2，3……）
又
代入可解得
（n=1，2，3……）
由上式可见，当n = 1 时，
当n= 2 时，
故选BD。
6．（2025·内蒙古乌兰察布·二模）如图所示，以过P 点的竖直线为界，空间中存在水平向左的匀强电场和
垂直于纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q 的带正电小球以一定初速度从A
点水平向右射出，恰好由P 点沿切线无能量损失地进入半径为R 的竖直光滑固定圆管轨道（小球直径与圆
管内径相同且两者忽略不计），轨道圆心为O 点，最低点和最高点分别为M、N，小球从P 点进入轨道时
的动能等于从A 点射出时动能的
，小球恰好能到达圆管轨道最高点N 点，∠POM=60°，重力加速度为
g，不计空气及摩擦阻力，求
(1)小球经过M 点时，轨道下表面对小球的支持力；
(2)匀强电场的场强大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因小球恰好能到达圆管轨道最高点N 点，故小球在N 点的速度为0
对M 到N，由动能定理
解得
在M 点，小球受重力，洛伦兹力和支持力，由牛顿第二定律
解得
（2）对P 到M，由动能定理
解得
在P 点，把
水平竖直分解
得
，
对A 到P，水平方向有
，
竖直方向有
依题意，
则有
综上，解得
7．（2025·内蒙古赤峰·二模）下端封闭，上端开口，内壁光滑的细绝缘玻璃管竖直放置，管底放一个直径
略小于玻璃管内径的带正电小球。空间存在着水平方向垂直纸面向里的匀强磁场，以带电小球所在初始位
置为原点，建立坐标系如图所示。使玻璃管保持竖直沿
轴正方向匀速运动，小球离开管之前的运动轨迹
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】小球随玻璃管在水平方向做匀速直线运动，根据左手定则，竖直方向受向上的洛伦兹力，大小为
F=qvB 是恒力，由牛顿第二定律得
可知小球的加速度不随时间变化，恒定不变，故小球竖直方向做匀加速直线运动，水平方向做匀速直线运
动，则小球运动轨迹是开口向上的抛物线；
故选B。
8．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，
为竖直平面（纸面）内的平面坐标系，y 轴竖直，AC 是半
径为L 的四分之一光滑固定圆弧槽，其半径
在y 轴上，C 点到原点O 的距离为L，P 点的坐标为（
，
0）；x 轴所在的水平面上分布着特殊磁性材料薄膜，第I、Ⅳ象限内存在磁感应强度大小相等，方向分别
垂直纸面向内、竖直向下的匀强磁场，第I 象限内存在竖直向下的匀强电场（图中未画出）。一质量为m
的不带电绝缘小球甲从A 点上方D 处由静止释放后，恰好从槽口A 沿切线方向进入圆弧槽，到达槽口C 时
与停在此处的带负电小球乙发生弹性正碰，碰撞后乙在第I 象限内做匀速圆周运动（碰撞后球乙的电荷量
不变），通过x 轴的位置为P 点，（乙球通过P 点时速度不变）。甲离开C 点后也到达P 点，并将甲球移
出场区。已知乙的质量为
、电荷量为q，重力加速度大小为g，空气阻力不计，两球均视为质点，求：
（1）两小球碰撞后瞬间甲球的速度
的大小；
（2）A、D 两点间的高度差h；
（3）从乙球到达P 点开始计时，
时乙球距离P 点的距离S。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）碰撞后甲做平抛运动，设甲从C 点运动到P 点的时间为
，则有
，
解得两小球碰撞后瞬间甲球的速度大小为
（2）设两小球碰撞前瞬间甲的速度大小为v，碰撞后瞬间乙的速度大小为
，则由动量守恒定律和能量守
恒定律有
，
解得
，
对甲从D 点运动到C 点的过程，根据机械能守恒定律有
解得
（3）乙在第I 象限做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示
设轨迹圆的半径r，则有
解得
设乙离开第I 象限时，速度与
轴正方向的夹角为
，则
解得
乙在磁场中的运动周期为
乙在第Ⅳ象限内的运动可是看成水平方向的匀速圆周运动和竖直方向的匀加速直线运动，竖直方向有
根据洛伦兹力提供向心力
，
可得
由于
则乙球距离P 点的距离为
9．（2025·辽宁·三模）如图所示，虚线MN 和PQ 间存在着水平向左、电场强度大小为E 的匀强电场，虚
线PQ 下方空间存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为
的带
电小球以某一水平初速度从MN 边界上方的A 点水平抛出后从C 点进入匀强电场，然后从D 点垂直于PQ
方向进入匀强磁场。已知A、C 两点间的高度差为l，水平距离为2l，重力加速度为g。求：
（1）小球平抛运动的初速度大小；
（2）虚线MN 与虚线PQ 的距离；
（3）小球在匀强磁场中运动的最大速度和离PQ 边界的最大距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）小球在虚线MN 上方做平抛运动有
，
解得小球平抛运动的初速度大小为
（2）小球进入电场时的竖直分速度
设小球在匀强电场中运动时间为
，小球水平方向做匀减速直线运动，由牛顿第二定律有
由题意可知
小球在竖直方向做匀加速直线运动，有
解得
（3）小球进入匀强磁场后，设想它除了竖直向下的初速度外
，还同时存在水平向右的速度
和水平向
左的速度
，竖直方向
小球水平向右运动受到的洛伦兹力与重力平衡，则有
设初速度
与水平向左的速度
的合速度为v，则有
当小球运动到最低点时其速度最大，为
解得
根据洛伦兹力提供向心力
设v 与PQ 边界的夹角为θ，小球与PQ 边界的最大距离
其中
解得
10．（2025·辽宁大连·二模）如图所示，空间存在一范围足够大的、方向垂直于
平面向外的匀强磁场，
x 轴下方的磁感应强度大小为B，x 轴上方的磁感应强度大小为2B。一个质量为m、电量为
的粒子以速
度
从坐标原点O 沿y 轴正方向射入到磁场中，粒子重力忽略不计。
（1）求粒子在x 轴上方和下方运动半径的比值；
（2）①定性画出粒子从O 点出发到回到O 点运动的轨迹图；
②求粒子从O 点出发到返回O 点所经历的时间t；
（3）若在
平面再施加沿y 轴正方向的匀强电场，场强大小
，粒子从O 点出发第一次经过x 轴
的交点为P，为了求出OP 之间的距离，某物理学习兴趣小组讨论得出，可以将粒子从O 点到P 点的运动
分成两个分运动，一个分运动在洛伦兹力和电场力作用下做匀速运动，一个分运动仅受洛伦兹力做匀速圆
周运动。根据兴趣小组提供的思路，求出OP 之间的距离。
【答案】（1）
；（2）①见解析，②
；（3）
【详解】（1）洛伦兹力提供向心力
，
粒子在x 轴上方和下方运动半径的比值
（2）①定性画出粒子从O 点出发到回到O 点运动的轨迹图如图
②粒子在x 轴上方运动的时间
粒子在x 轴下方运动的时间
则粒子从O 点出发到返回O 点所经历的时间
（3）将速度
分解为沿x 轴正方向的速度
和沿左上方的速度
，则粒子一个分运动在洛伦兹力和电
场力作用下以速度
沿x 轴正方向做匀速运动，一个分运动仅受洛伦兹力以速度
做匀速圆周运动。仅
考虑以速度
做匀速圆周运动，如图
粒子在x 轴上方磁场运动周期
根据几何关系
即粒子轨迹与x 轴相交时，运动了
，
还需考虑粒子在这段时间内向x 轴正方向做匀速运动，运动的距离为
得OP 之间的距离
11．（2025·辽宁·模拟预测）如图（a）所示，在竖直面内以
点为坐标原点、取水平向右为
轴正方向、
竖直向上为
轴正方向建立直角坐标系
。坐标系所在空间存在着匀强电场和匀强磁场，
时电场方
向沿
轴负方向，其方向变化如图（b）所示，磁场垂直于坐标系平面向外。电荷量大小为
的小球（可视
为质点）在
时刻从坐标原点
获得一沿
轴正方向的初速度，恰好能够在坐标平面内做匀速圆周运动，
运动一圈后开始沿直线运动，重力加速度为
，求：
（1）小球的电性和质量以及匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）小球的初速度大小；
（3）
时刻小球的位置坐标。
【答案】（1）负电，
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球在重力、电场力和洛伦兹力的作用下做圆周运动，则电场力与重力平衡，可知电场力
竖直向上，电场力方向与电场强度方向相反，则小球带负电，根据
解得
小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有
由题意可知，
时小球恰好运动一个周期，有
解得
（2）电场的方向变为竖直向上，小球正好做匀速直线运动，根据平衡条件有
解得
（3）由
解得
时刻小球的横坐标
纵坐标
即位置坐标为
。
12．（2025·辽宁抚顺·三模）竖直平面内有如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅱ象限内有一个以坐标
原点O 为圆心半径为R 的四分之一光滑圆弧形轨道，有沿x 轴负方向的匀强电场，电场强度为
。在第Ⅲ、Ⅳ象限内有沿y 轴正方向的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，电场强度大
小也为
，磁感应强度为
。在紧贴圆弧轨道下端内侧的A 点有一质量为m、电荷量为
的小球大小可忽略，从A 点以某一速度
（
大小可调）沿圆弧轨道内侧竖直向上射入电场，x 轴上
OC 之间有一长度为R 的薄板，重力加速度为g。求：
（1）为使小球能够从B 点射出，
的最小值；
（2）从B 点飞出的小球打到薄板上的可能范围；
（3）若第Ⅲ、Ⅳ象限内的匀强磁场的方向改成竖直向下，
。在x 轴下方放置另一块水平的面
积足够大的挡板M，M 在磁场中可以且只能上下移动。试画出从B 点飞出的小球在挡板M 上的所有可能
落点的范围。（只要正确画出图形即可，无需算出范围大小）
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）在B 点小球对轨道的压力为0 时
最小，根据牛顿第二定律
①
小球由A 到B 根据动能定理
②
由①②解得
（2）如图所示
设小球到B 点速度为
，竖直方向
③
④
水平方向
⑤
由③⑤解得
由已知条件知在第3、4 象限时
所以小球做匀速圆周运动设小球做匀速圆周运动的速度为，则
⑥
⑦
弦长
⑧
由③到⑧解得
可见弦长
与
无关是定值，小球从磁场到达x 轴的坐标为
当
时
若
增加则落点向右移动直到小球打到C 点，所以小球打到薄板上最右侧的点为C 点，所以小球落点坐标
（3）如图所示阴影部分表示所有可能落点的范围，其中AB、CD 是和
轴及虚线相切的圆弧，
是ox
在挡板上的投影。
