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专题08 数列
易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题）
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言：
(
，
为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b 组成等差数列，则A 叫做a，b 的等差中项．
3、通项公式与前n 项和公式
（1）通项公式：
．
（2）前项和公式：
．
（3）等差数列与函数的关系
①通项公式：当公差
时，等差数列的通项公式
是关于
的一次函数，
且一次项系数为公差
.若公差
，则为递增数列，若公差
，则为递减数列．
②前n 项和：当公差
时，
是关于
的二次函数且常数项为0.
已知数列
是等差数列，
是其前
项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广：
．
（2）若
，则
．
1
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（3）若
的公差为d，则
也是等差数列，公差为
．
（4）若
是等差数列，则
也是等差数列．
2、等差数列前
项和的性质
（1）
；
（2）
；
（3）两个等差数列
，
的前n 项和
，
之间的关系为
.
（4）数列
，
，
，…构成等差数列．
3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（1）若项数为
，则
，
；
（2）若项数为
，则
，
，
，
.
最值问题：解决此类问题有两种思路：
一是利用等差数列的前
项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；
二是依据等差数列的通项公式
，当
时，数列一定为递增数列，当
时，数列一定为递减数列．所以当
，且
时，无穷等差数列的前
项和有最大值，其最大值是所
有非负项的和；当
，且
时，无穷等差数列的前
项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，
求解非负项是哪一项时，只要令
即可
易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性
求解数列问题，要注意
的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.
例 ．已知等差数列
的前n 项和为
，且
，
，求
取得最大值时对应的n 值.
变式1．数列
是等差数列，
，
．
(1)从第几项开始有
？
(2)求此数列的前
项和的最大值．
变式2．记
为等差数列
的前n 项和，已知
，
．
2
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(1)求
的通项公式；
(2)求
的最小值．
变式3．等差数列
，
，公差
．
(1)求通项公式和前
项和公式；
(2)当
取何值时，前
项和最大，最大值是多少．
1．已知数列
是等差数列，若
，
，且数列
的前
项和
，有最大值，当
时，
的最大值为（ ）
A．20
B．17
C．19
D．21
2．已知等差数列
的前n 项和为
，
，且
，则
取得最小值时n 的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
3．已知数列
中，
若其前n 项和为Sn，则Sn 的最大值为（ ）
A．15
B．750
C．
D．
4．若
是等差数列，首项
，
，
，则使前
项和
成立的最大自然
数
是（ ）
A．2021
B．2022
C．4042
D．4043
5．设
是等差数列，
是其前n 项和，且
，
，则下列结论正确的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
与
均为
的最大值
3
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6．设等差数列
的前
项和为
，公差为
．已知
，
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．设
的前
项和为
，则
时，
的最大值为27
7．已知数列
的前
项和
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是
为等差数列的充要条件
B．
可能为等比数列
C．若
，
，则
为递增数列
D．若
，则
中，
，
最大
8．已知数列
的前n 项和
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是等差数列
B．
C．
D．
有最大值
9．数列
的前
项和为
，已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是递增数列
B．
C．当
时，
D．当
或4 时，
取得最大值
10．等比数列
中
，
，则数列
的前
项和的最大值为 ．
11．记等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则当
取得最大值时，n＝ ．
易错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它）
4
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1、等比数列的定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个
数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
表示。
数学语言表达式：
(
，
为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数
，
，
成等比数列，那么
叫做
与
的等比中项，其中
.
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n 项和公式
（1）通项公式：若等比数列
的首项为
，公比是
，则其通项公式为
；
通项公式的推广：
.
（2）等比数列的前
项和公式：当
时，
；当
时，
.
已知
是等比数列，
是数列
的前
项和．（等比中项）
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即
，
，
，…仍是等比数列，公比为
.
（2）若
，
（项数相同）是等比数列，则
，
，
，
，
仍是等比数
列．
（3）若
，则有
口诀：角标和相等，项的积也相等 推广：
（4）若
是等比数列，且
，则
（
且
）是以
为首项，
为公差的
等差数列。
（5）若
是等比数列，
，则
构成公比为
的等比数列。
易错提醒：若
成等比数列，则
为
和
的等比中项。只有同号的两数才有等比中项， “
”仅是“
为
和
的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。
5
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例 ．已知各项均为正数的等比数列
中，
，则
等于（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
变式1．已知等差数列
的公差
，且
，
，
成等比数列，则
( )
A．
B．
C．
D．
变式2．已知
，如果
，
，
，，
成等比数列，那么（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
变式3．已知等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
1．已知等差数列
的前
项和为
，公差不为0，若满足
、
、
成等比数列，则
的值为
（ ）
A．2
B．3
C．
D．不存在
2．已知公差不为零的等差数列
中，
，且
，
，
成等比数列，则数列
的前9 项的
和为（ ）
A．1
B．2
C．81
D．80
3．已知
，
，则使得
成等比数列的充要条件的
值为（ ）
A．1
B．
C．5
D．
6
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4．已知等差数列
的公差不为0，
且
成等比数列，则错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．正项等比数列
中，
是
与
的等差中项，若
，则
（ ）
A．4
B．8
C．32
D．64
6．已知实数4，m，9 构成一个等比数列，则圆锥曲线
＋y2＝1 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或7
7．数列
为等比数列，
，
，命题
，命题
是
、
的等比中项，则
是
的
（ ）条件
A．充要
B．充分不必要
C．必要不充分
D．既不充分也不必要
8．在数列
中，
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．已知
是等差数列，公差
，前
项和为
，若
，
，
成等比数列，则
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
10．数1 与4 的等差中项，等比中项分别是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
11．已知数列
是等差数列，
，其中公差
，若
是
和
的等比中项，则
（ ）
A．398
B．388
C．189
D．199
7
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易错点三：忽略等比数列求和时对的讨论（等比数列求和）
等比数列前
项和的性质
（1）在公比
或
且
为奇数时，
，
，
，……仍成等比数列，其公比为
；
（2）对
，有
；
（3）若等比数列
共有
项，则
，其中
，
分别是数列
的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前
项和
，令
，则
（
为常数，且
）
易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：
，所以在利用等比数列求和公式
求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1 和q≠1 讨论..
例 ．设等比数列
的前n 项和为
.已知
，
，则
.
变式1．记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
．
变式2．在等比数列
中，
，
，令
，求数列
的前n 项和
．
变式3．数列
前
项和
满足
，数列
满足
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)对任意
，将数列
中落入区间
内项的个数记为
，求数列
前
项和
．
8
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1．已知
为等比数列，其公比
，前7 项的和为1016，则
的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
2．已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，
，
（
，
），
为其前
项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在等比数列
中，
，
，则（ ）
A．
的公比为4
B．
的前20 项和为170
C．
的前10 项积为
D．
的前n 项和为
5．已知正项等比数列
的前n 和为
，若
，且
，则满足
的n 的最大值为
.
6．已知等比数列
的前n 项和为
，
，且－3，
，
成等差数列，则数列
的通项
．
7．设
为等比数列
的前
项和，若
，
，则
8．已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，且
，则
．
9．已知各项均为正数的等比数列
的前
项和为
，
，
，则
．
10．数列
的前n 项和为
，且
，
，则满足
的最小的自然数n 的值为
．
9
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11．在正项等比数列
中，已知
，
，则公比
．
易错点四： 由
求
时忽略对“
”的检验（求通项公式）
类型1 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此
数列的一个通项．
类型2 公式法：
若已知数列的前n 项和
n
S 与
的关系，求数列
的通项
可用公式
构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即
和
合为一个表达，（要先分
和
两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型3 累加法：
形如
型的递推数列（其中
是关于
的函数）可构造：
将上述
个式子两边分别相加，可得：
①若
是关于
的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若
是关于
的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若
是关于
的二次函数，累加后可分组求和；
④若
是关于
的分式函数，累加后可裂项求和．
10
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类型4 累乘法：
形如
型的递推数列（其中
是关于
的函数）可构造：
将上述
个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型5 构造数列法：
（一）形如
（其中
均为常数且
）型的递推式：
（1）若
时，数列{
}为等差数列；
（2）若
时，数列{
}为等比数列；
（3）若
且
时，数列{
}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方
法有如下两种：
法一：设
，展开移项整理得
，与题设
比较系数
（待定系数法）得
，即
构成以
为首项，以
为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可得
11
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法二：由
得
两式相减并整理得
即
构成以
为首项，以
为公比的等比数列．求出
的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如
型的递推式：
（1）当
为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设
，通过待定系数法确定
的值，转化成以
为
首项，以
为公比的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出
的
通项整理可得
法二：当
的公差为
时，由递推式得：
，
两式相减得：
，令
得：
转化为类型Ⅴ㈠求出
，再用类型Ⅲ（累加
法）便可求出
（2）当
为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设
，通过待定系数法确定
的值，转化成以
为首项，
以
为公比的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理
可得
法二：当
的公比为
时，由递推式得：
——①，
，两边同时
12
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乘以
得
——②，由①②两式相减得
，即
，在
转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为
（其中p，q 均为常数）或
（其中p，q， r 均为常
数）时，要先在原递推公式两边同时除以
，得：
，引入辅助数列
（其中
），
得：
再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当
为任意数列时，可用通法：
在
两边同时除以
可得到
，令
，则
，在
转化为类型Ⅲ（累加法），求出
之后得
．
类型6 对数变换法：
形如
型的递推式：
在原递推式
两边取对数得
，令
得：
，化归为
型，求出
之后得
（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型7 倒数变换法：
形如
（
为常数且
）的递推式：两边同除于
，转化为
形式，
化归为
型求出
的表达式，再求
；
13
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还有形如
的递推式，也可采用取倒数方法转化成
形式，化归为
型求出
的表达式，再求
．
类型8 形如
型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列
的形式求解．方法为：设
，比较系数
得
，可解得
，于是
是公比为
的等比数列，这样就化归为
型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，
可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
易错提醒：在数列问题中，数列的通项
与其前n 项和
之间关系如下
，在
使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛
｝的
与
关系时，先令
求
出首项
，然后令
求出通项
，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令
求
出通项
，也不对
进行检验.
例 ．已知数列
和
，其中
的前项和为
，且
，
.
(1)分别求出数列
和
的通项公式；
(2)记
，求证：
.
14
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变式1．数列
的前n 项和
，已知
，
，k 为常数.
(1)求常数k 和数列
的通项公式；
(2)数列
的前n 项和为
，证明：
变式2．设各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
.证明：对一切正整数
，
.
变式3．已知数列
的前
项和为
，且
（
）.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
1．已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)当
时，求
；
(2)若
为等比数列，求
的值.
2．已知数列
的前
项和为
，且
与
的等差中项为
.
(1)求数列
的通项公式.
(2)设
，求数列
的前
项和
.
3．已知数列
的前n 项和为
，
且
，
.
15
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(1)求
；
(2)记
，求数列
的前n 项和.
4．已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，当
时，
是4 的常数列.
(1)求
的通项公式；
(2)当
时，设数列
的前
项和为
，证明：
.
5．在数列
中，
，
是
的前n 项和，且数列
是公差为
的等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
6．已知数列
的前
项和是
，且
.
(1)证明：
是等比数列.
(2)求数列
的前
项和
.
7．已知首项为4 的数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前n 项和
．
8．设数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
16
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(2)设数列
的前
项和为
，求证：
．
9．设各项均为正数的数列
的前n 项和为
，且满足
．
(1)求出数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前n 项和为
，求
时，n 的最小值．
10．已知
为数列
的前
项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，
，求数列
的前
项和
．
11．已知各项均为正数的数列
的前n 项和为
，且
，
（
且
）．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
易错点五：裂项求和留项出错（数列求和）
常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
17
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（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
18
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（5）
（6）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
，设
，易得
，
于是
（7）
积累裂项模型4：对数型
积累裂项模型5：三角型
19
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（1）
（2）
（3）
（4）
，
则
积累裂项模型6：阶乘
（1）
（2）
常见放缩公式：
（1）
；（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
20
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（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）
；
（13）
．
（14）
．
易错提醒：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下
第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前
面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。
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例 ．已知数列
的前
项和为
，
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，证明：
.
变式1．记
为数列
的前n 项和，满足
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
.
变式2．已知首项为1 的数列
，其前
项利为
，且数列
是公差为1 的等差数列
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
变式3．已知数列
为非零数列，且满足
.
(1)求
及数列
的通项公式；
(2)若数列
的前
项和为
，且满足
，证明：
.
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1．已知
是数列
的前
项和，
，且
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式．
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
2．已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，当
时，
是4 的常数列.
(1)求
的通项公式；
(2)当
时，设数列
的前
项和为
，证明：
.
3．在数列
中，
为数列
的前
项和，且满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
.求数列
的前
项和
.
4．设数列
前n 项和为
，
，
.
(1)求
，及
的通项公式；
(2)若
，证明：
.
5．已知等差数列
的前n 项和为
，且
，数列
的前n 项之积为
，
，且
．
(1)求
；
(2)令
，求正整数n，使得“
”与“
是
，
的等差中项”同时成立；
(3)设
，
，求数列
的前2n 项和
．
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6．设
是等比数列的公比大于，其前
项和为
，
是等差数列，已知
，
，
，
.
(1)求
，
的通项公式
(2)设
，求
；
(3)设
，数列
的前
项和为
，求
.
7．已知数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式
(2)若
，数列
的前n 项和为
，证明：
.
8．设
为数列
的前
项和，
(1)求
的通项公式；
(2)若数列
的最小项为第
项，求
；
(3)设
数
的前
项和为
，证明：
9．已知正项数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
.
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10．已知数列满足
，且
.
(1)证明：
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)已知数列
满足
，求
的前
项和
.
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