初中数学·方法专题·一文搞懂十字相乘法

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一文搞懂十字相乘法：拆两头，凑中间

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十字相乘法大概是初中代数里"两极分化"最严重的方法：会做的同学，三秒钟出答案；不会的同学盯着常数项拆上五分钟，最后写出来的多半还是错的。

最典型的一道：分解 x² − 7x + 12。一届一届总有学生写成 (x − 2)(x − 6)。问他怎么想的，他说 2 乘 6 等于 12。没错，积是对了，可和是 8，不是 7。展开一乘，x² − 8x + 12，跟原式对不上。

错全在这句话上：拆出来的两个数，积要等于常数项，和还要等于一次项系数。两个条件，缺一不可。只验一个，等于没验。

这篇把它从头讲清：这个十字从哪来、四步怎么走、符号怎么定、哪里最容易翻车。文末留了 5 道练习，做完再对答案。

▍一、它不是新东西，就是整式乘法倒过来

先把话说透：十字相乘法不是什么新发明，它就是整式乘法的"倒带"。

正着算，你早就会了：(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6。倒过来，给你 x² + 5x + 6，让你找回去——这就是十字相乘要干的事。中间那两个 3x 和 2x 是从哪冒出来的？画个面积图看看。

图里那两块斜对着的长条，就是十字图上两条交叉线的来历。所谓"交叉相乘再相加"，不过是把中间项的产生过程，画成了一个固定的十字骨架。

记住这个一般式：

x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)

找两个数：积等于常数项，和等于一次项系数。找得到，就能拆；找不到，就换方法，别恋战。

▍二、四步走：竖拆 → 叉乘 → 验和 → 横读

十字相乘有固定动作，四步。先拿开头那道 x² − 7x + 12 走一遍——常数项 12 是正的，一次项是 −7x，说明拆出的两个数都得是负的：−1×(−12)、−2×(−6)、−3×(−4)，三对里挑，哪对的和是 −7？只有 −3 和 −4。

第①步 竖拆：二次项系数是 1，左列直接写 x、x；常数项拆成 −3 和 −4，写右列。

第②步 叉乘：x×(−4) = −4x，x×(−3) = −3x，斜着各乘一次。

第③步 验和：−4x + (−3x) = −7x，正好等于一次项，这条十字成立。

第④步 横读：横着各读一行，写成 (x − 3)(x − 4)。

回头再看开头那个错解 (x − 2)(x − 6) 错在哪，一目了然：积是 12，和却是 8。验和不验积或者只验积不验和，都是白忙。

二次项系数不是 1 的怎么办？两头都得拆。看这道：

例：分解因式 2x² + 5x − 3

二次项 2x² 拆成 2x 和 x；常数 −3 是负的，拆成一正一负。摆出十字：2x 配 −1，x 配 +3，交叉乘出 6x 和 −x，相加正好 5x。横着读，答案 (2x − 1)(x + 3)。整个过程见下图。

▍三、符号怎么定：一张表说清

十字相乘一半以上的错，错在符号。其实符号有铁律，就两行：

常数项是正数：拆出的两数同号，符号都跟一次项系数走。一次项是 +7x，两数都正；是 −7x，两数都负。

常数项是负数：两数一正一负，绝对值大的那个，符号跟一次项系数。比如 x² − 2x − 8：一次项是 −2x，所以大数取负，拆成 −4 和 +2，和为 −2，分解成 (x − 4)(x + 2)。

这张表在下面第四张图的底部，建议保存。每次拆完别急着落笔，先花三秒验一遍和——这三秒，考试时值一道大题。

▍四、这五个坑，一届踩一遍

下面五条，全是从作业和试卷里捞出来的真实错法。每条都是错解和正解对照着看。

五条里，前两条是"十字画错"，中间两条是"顺序不对"，最后一条是"收尾草率"。特别说第三条：有公因式先提出来，再画十字，这个顺序不能颠倒——不提公因式硬拆，十次有九次拆不出来，剩下一次是错的。

▍五、什么时候用，什么时候别用

上一篇讲配方法时提过一句：十字相乘凑不出来，就上配方。这篇补全另一半——什么时候该想到十字相乘，什么时候别死磕。

它俩不是对手，是接力：常数项能整拆的，十字最快，几秒出答案；拆不出的（比如 x² + 4x − 1），配方和公式法兜底。先花十几秒试十字，试不出立刻换道，这才是完整的解题策略。

▍六、实战练习：5 题，做完再看答案

难度从前到后递增，前两题送分，最后一题是填空题里常见的逆向套路。别跳着做，也别提前翻答案。

① 分解因式：x² + 6x + 8② 分解因式：x² − 4x − 21③ 分解因式：6x² − x − 2④ 分解因式：a³ − 3a² − 4a⑤ 已知关于 x 的二次三项式 x² + mx + 12 能在整数范围内分解因式，写出所有满足条件的整数 m

做完再往下翻。

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▍参考答案与思路

①积 8、和 6：2×4=8，2+4=6。得 (x + 2)(x + 4)。

②常数 −21 < 0，两数一正一负，绝对值大的取负：−7 和 +3，和为 −4，积为 −21。得 (x − 7)(x + 3)。符号拿不准时，按第三节的表先定符号，再凑数。

③二次项系数 6 = 6×1 或 2×3，两种都要试；常数 −2 = 1×(−2)。凑出 (2x + 1)(3x − 2)。验算：(2x+1)(3x−2) = 6x² − 4x + 3x − 2 = 6x² − x − 2 ✓。

④别急着十字——先提公因式 a：a(a² − 3a − 4)，再对括号里十字相乘：a(a − 4)(a + 1)。顺序错了，这题基本做不出来。一提、二套、三分组。

⑤反过来想：m 就是"积为 12、和为 m"的那两个整数的和。12 的整数拆法共 6 对：1×12、2×6、3×4，以及它们的负对，对应的和为 ±13、±8、±7。所以 m = ±7、±8、±13，共 6 个。漏掉负号那一半，是最常见的丢分点。

十字相乘法练熟了，因式分解和解一元二次方程这两块的口算速度会完全不一样。但它始终建立在那个前提上：积对，和也要对。每次落笔前花三秒验和，比考完捶胸顿足划算得多。

做过的同学，欢迎留言对个答案，也说说错在第几题——错得集中的那道，我下期展开讲。下期打算写换元法：像 (x + 1)² − 5(x + 1) + 6 这种式子，怎么一眼看穿它的真面目。

—— 完 ——