初中数学二次函数题型练习

初中数学二次函数题型练习

知识梳理

一、二次函数的定义

1．定义：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．

注意：二次函数的二次项系数，而b、c可以为零．

二、二次函数的图象和性质

1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．

2．二次函数的性质：

（1）函数的图象与a的符号关系．

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点；

③决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．

（2）抛物线的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是（y轴）．

3．二次函数的性质：

4．二次函数()的性质：

5．二次函数的性质：

配方：二次函数

注意：二次函数与坐标轴的交点：

（1）与y轴的交点：；

（2）与x轴的交点：使方程成立的x值．

一、二次函数的解析式

1．一般式：

已知图象上三点、、，可用一般式求解二次函数解析式．

2．顶点式：

已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式．

3．两点式：

已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．

4．对称式：

已知抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式．

注意：

（1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；

（2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．

一、二次函数的图象判断

（一）．二次函数图象与系数的关系

1.二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数：在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴

⑴在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，

即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

（3）的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”

3. 常数项：

⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

（二）．二次函数的图象信息

（1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性．

（2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性．

（3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性．

（4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性．

（5）根据抛物线的对称轴可得与的大小关系，可得的正负性．

（6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c的等式．

（7）根据抛物线的顶点，判断的大小．

二、二次函数的几何变换

1．二次函数图象的平移

平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”．

2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达．

（1）关于x轴对称

关于x轴对称后，得到的解析式是．

关于x轴对称后，得到的解析式是．

（2）关于轴对称

关于y轴对称后，得到的解析式是．

关于y轴对称后，得到的解析式是．

（3）关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是．

关于原点对称后，得到的解析式是．

（4）关于顶点对称

关于顶点对称后，得到的解析式是．

关于顶点对称后，得到的解析式是

（5）关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是

3．二次函数图象的翻折

函数的图象可以由函数通过关于x轴的翻折变换得到．

具体规则为函数图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方

三、二次函数的区间最值

1．定轴定区间

对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）

（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．

（2）若，如图②，当，；当，．

（3）若，如图③，当，；当，．

（4）若，，如图④，当，；当，．

2．动轴或动区间

对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．

四、二次函数的应用

1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为：

（1）经济利润类问题（2）方案选择类问题（3）行程问题（4）建模类问题（5）工程问题。

2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。

五、二次函数和方程综合

1．函数和二次函数的交点

（1）交点求解，联立方程组，并代入求解．

（2）交点个数，联立方程组，消元得到一元二次方程，看判别式（）．

（3）交点关系，联立方程组，看判别式（），再用韦达定理．

2．一元二次方程的解也可以看成函数和二次函数的交点的横坐标．

3. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数：①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离. 

②当时，图象与轴只有一个交点；③当时，图象与轴没有交点.

当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

4. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

5.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下

面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系

六、二次函数的线段最值

1．定点在同侧，需要对称转化为异侧；

2．动线段端点不重合，需要平移转化到同一点．

七、二次函数和不等式综合

1．数形结合，可以通过二次函数和其它函数的图象解不等式．

2．根的分布：一元二次方程根的分布问题，即一元二次方程的实根在什么区间内的问题，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x轴的交点）问题，因此，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．

（1）0分布或k分布

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