ARTICLE · 1196203
初中数学|初二全等三角形雨伞模型:角平分线遇垂线,辅助线这样添
🔷 第六篇：全等三角形「燕尾模型」专项突破
全等三角形的雨伞模型难度其实不大，特别是辅助线逻辑呢也很固定。
但批改作业时经常发现，不少孩子看到角平分线搭配垂线，第一反应就硬算角度，结果越推导思路越混乱。
抓住核心逻辑就很简单：角平分线 + 垂线同时出现，优先延长垂线段补出等腰三角形。
本篇把雨伞模型识别要点、辅助线思路、完整例题与变式一次性梳理清楚。
💡 【模型长什么样】
雨伞模型，顾名思义，像一把撑开的小雨伞，核心由角的两边和角平分线以及角平分线的垂线所组成。
通过延长线段与直线相交，构造一对全等三角形，完成线段、角度的转移。
解题思路：AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C，证明△ABD≌△ACD，得到AB=AC，BD=CD。
老师提示：角平分线 + 垂线凑一起，多半要延长垂线段补成等腰。
🎯 【考场上到底怎么下手】
第一步：识别题干中的角平分线；
第二步：定位和角平分线配套的垂线段；
第三步：延长这条垂线，和角的另一边产生交点；
第四步：证三角形全等，完成线段、角度转移。
📝 【典型例题｜实战精讲】
【例6】如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG。（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断△BEG的形状，并说明理由。
👨🏫 【老师实战点评】
这是雨伞模型的标准考题，出现角平分线 + 垂线条件。
先延长 BE 与 AC 相交补全等腰三角形，再倒角完成全等证明。
第（2）小问先猜想三角形形状，再借助全等完成边角转移。
🔄 【变式训练｜逐层练透】
【变式6‑1】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF=2CD。
👨🏫 【老师实战点评】
这道题目属于考试常考题目，要点在于先识别模型，再联想辅助线方法。
看到角平分线搭配垂线，想到雨伞模型，直接延长补等腰，即可证全等。
由全等推导出线段的倍数关系，将CD转化为某条线段的一半，就可以证明BF=2CD。
【变式6‑2】求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半。要求：（1）根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，使得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；（2）根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程。
👨🏫 【老师实战点评】
这道题是对基础性质定理的证明题。
表面考察尺规作图，本质依旧是全等构造。
完成作图后，利用雨伞模型延长垂线，对30°所对直角边做线段转移，以此证明斜边一半的结论。
【变式6‑3】 如图①，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足 E 在 CD 的延长线上。求证：BE=1/2 CD。
（1）观察分析：延长 BE，CA，交于点 F。可证明△≌△，依据是______；从而得到______；再证 BE=FE=1/2 BF=1/2 CD。
（2）类比探究：如图②，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D 在线段 BC 上，∠BDE=1/2∠C，BE⊥DE，垂足为 E，DE 与 AB 相交于点 F。试探究 BE 与 DF 的数量关系，并证明你的结论。
👨🏫 【老师实战点评】
这道题目可以看成【变式6‑1】的延伸探究题目。
第（1）小问填空引导思路，延长 BE、CA 交于 F，先完成全等，再推导中点与线段一半关系。
第（2）小问侧重类比迁移，依旧抓住角平分线 + 垂线，延长线段补等腰。
⚠️ 【真实易错坑点】
1. 识别出角平分线加垂线，但想不到延长垂线段；
2. 延长之后字母标注混乱，全等对应顶点书写出错；
3. 只完成一次全等证明，忽略等腰三线合一条件；
4. 面对二倍线段关系不会做转移，一味硬算边长。
🗣️ 【解题口诀】
遇见燕尾凹，连线拆两三角；外角慢慢推，忌直接默写。
📢 【欢迎关注】
本篇为 “八上全等系列” 第 6 篇，回顾上一篇：一线三等角模型；后续更新：角平分线模型。
看得懂不代表真的掌握，能够独立完整推导才是扎实吃透。
本篇整理完整模型梳理 + 例题，适配日常巩固和考前快速复盘。
需要本篇，可以关注公众号学懂初中数学，后台回复即可获取。
小伙伴们，你们学会了么？评论区告诉我们吧！
