高中数学知识点清单151平面向量基本定理

平面向量基本定理

如果 ，是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数，，使

若， 不共线，我们把{，} 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。

平面向量基本定理的证明

存在性证明即在同一平面内总有满足条件的 ，，，使

成立。利用平行四边形定理，以，为平行四边形的两个边，为平行四边形的对角线组成一个平行四边形。由此可以使等式成立。

唯一性证明即对任一向量，在同一平面存在唯一一对实数，，使

若在同一平面内存在另一对实数， 使等式成立。则有

因为向量， 不共线，所以 ，。