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专题4.3 角
典例体系（
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页）
一、知识点
1. 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫
做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续
旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。
2.角的表示：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3 等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ 等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C 等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE 等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°
4.角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180 等分，每一份就是1 度的角，单位是度，用“°”表示，1 度记作
“1°”，n 度记作“n°”。
把1°的角60 等分，每一份叫做1 分的角，1 分记作“1’”。
把1’ 的角60 等分，每一份叫做1 秒的角，1 秒记作“1””。
1°=60’，1’=60”
5.角的性质
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
（2）角的大小可以度量，可以比较
（3）角可以参与运算。
6.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
7.余角和补角
①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数
学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α 与∠β 互余；反过来，如果∠α 与∠β 互余，那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数
学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α 与∠β 互补；反过来如果∠α 与∠β 互补，那么∠α+∠β=180°
③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
二、考点点拨与训练
考点1：钟面上的角度计算
典例：（2020·福建宁化·初一期末）上午
时，钟表的时针与分针的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：∵钟表中一圈有12 个大格
∴1 个大格的对应的角度为360°÷12=30°
∵
时，时针与分针间有2 个大格
∴此时钟表的时针与分针的夹角为30°×2=60°
故选B．
方法或规律点拨
此题考察的是求钟表的分针与时针的夹角问题，掌握钟表的特征和周角的定义是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）设时钟的时针与分针所成角是
，则正确的说法是（ ）
A．八点一刻时，
是平角
B．十点五分时，
是锐角
C．十一点十分时，
是钝角
D．十二点一刻时，
是直角
【答案】B
【解析】解：A． 分针一分钟走6 度,时针是0.5 度，8:15 时,时针离"12 点"的角度是:30×8+15×0.5=247.5 度.
分针行了15×6=90 度.故二针的夹角是:247.5-90=157.5 度，所以八点一刻时，
是钝角；
B．同理， 十点五分时，
是锐角；
C． 十一点十分时，
是锐角；
D． 十二点一刻时，
是锐角；
故选B．
2．（2020·内蒙古额尔古纳·期末）在上午八点半钟的时候，时针和分针所夹的角度是（ ）
A．85°
B．75°
C．65°
D．55°
【答案】B
【解析】解：如图，上午八点半钟时，时针和分针中间相差2.5 个大格．
∵钟表12 个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴上午八点半钟的时候，时钟的时针和分针所夹的角度是2.5×30°=75°．
故选：B．
3．（2021·湖南长沙·明达中学月考）若钟表分针走30 分钟，则钟表的时针转 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为整个钟面12 小时，时针每小时转
，且30 分钟等于
小时，
所以若钟表分针走30 分钟，钟表的时针转的角度是
，
故选：B．
4．（2020·浙江青田·初一期末）上午
，时钟上分针与时针之间的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：9：30 时针与分针相距3.5 份，每份的度数是30°，
在时刻9：30，时钟上时针和分针之间的夹角（小于平角的角）为3.5×30°=105°．
故选：B．
5．（2020·福建宁化·期中）某校七年级在下午5：00 开展“阳光体育”活动，下午5：00 时刻，时钟上分
针与时针所夹的角等于_______度．
【答案】150
【解析】因为分钟一分钟走6°，所以下午5：00 时刻，时钟上分针与时针所夹的角为
；
故答案为150．
6．（2020·浙江松阳·期末）上午8：25 时，时钟的时针和分针的夹角(小于平角的角)度数是_______．
【答案】102.5°
【解析】∵分钟每分钟转动360°÷60=6°，时针每分钟转动360°÷12÷60=0.5°，
∴8：25 时针和分针的夹角（小于平角的角）度数为： (8×30°+25×0.5°)-25×6°=102.5°．
故答案为：102.5°．
7．（2020·全国单元测试）由2 点30 分到2 点55 分，时钟的时针旋转了________度，分针旋转了________
度，此刻时针与分针的夹角是_________度
【答案】12.5 150 117.5
【解析】解：∵时针在钟面上每分钟转
，分针每分钟转
，又从2 点30 分到2 点55 分经过了25 分
钟，∴时钟的时针旋转了
，时钟的分针旋转了
．
∵2 点55 分时时针距离3 还有
，分针指向11，中间相差3 个数字，钟表12 个数字，每相邻两个数
字之间的夹角为
，此时分针与时针的夹角是
．
故答案为12.5；150；117.5．
8．（2020·全国单元测试）时钟的分针从4 点整的位置起，顺时针方向转_______度时，分针才能第一次与
时针重合．
【答案】
【解析】解：由题意得：
分针每分钟走
，时针每分钟走
，则
，解得
，
即经过
分钟后，分针与时针重合，
∴分针转了
度．
故答案为
．
10．（2020·湖北黄石·初一期末）如图，上午6：30 时，时针和分针所夹锐角的度数是_____．
【答案】15°
【解析】∵时针12 小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°，
∴时针1 小时转动30°，
∴6：30 时，分针指向刻度6，时针和分针所夹锐角的度数是30°×
=15°．
故答案是：15°．
11．（2020·全国单元测试）钟面上从2 点到4 点有几次时针与分针夹成
的角？分别是几点几分？
【答案】钟面上从2 点到4 点有4 次时针与分针夹成
角，分别是2 点整，2 点
分，3 点
分，3
点
分．
【解析】解：共有4 次时针与分针所夹的角为
．根据时针与分针的速度可知分针比时针每分钟转动快
．
第1 次正好为2 点整；
第2 次设为2 点
分时，时针与分针的夹角为
，则
，解得
；
第3 次设为3 点
分时，时针与分针的夹角为
，则
，解得
；
第4 次设为3 点
分时，时针与分针的夹角为
，则
，解得
．
综上，钟面上从2 点到4 点有4 次时针与分针夹成
角，分别是2 点整，2 点
分，3 点
分，3 点
分．
考点2：方位角及其应用
典例：（2020·全国单元测试）如图所示，点
表示
城，点
表示
城．
（1）如果
城在
城的南偏西
方向，请画出从
城到
城方向的射线；
（2）如果
城在
城的北偏东
方向，在
城的南偏东
方向，请确定
城的位置．（用点
表
示）
要求：不写画法，保留画图痕迹，写出结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）以
城为观测中心，画出南偏西
方向，就是从
城到
城方向的射线，如图所示，射
线AB 即为所求；
（2）以
城为中心，画出北偏东
方向，以
城为中心，画出南偏东
方向，两个方向的交点处，
就是
城，如图所示，
城即为所求．
方法或规律点拨
此题考查的是根据方位角画图，掌握方位角的定义是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示，射线OP 表示的方向是（ ）
A．东偏北65°
B．北偏东25°
C．北偏西65°
D．北偏东65°
【答案】D
【解析】解：90°-25°=65°，
则射线OP 表示的方向是北偏东65°．
故选：D．
2．（2019·河北涿鹿·期末）如图，点A 位于点O 的
A．南偏东35°方向上
B．北偏西65°方向上
C．南偏东65°方向上
D．南偏西65°方向上
【答案】B
【解析】解：由图可得，点A 位于点O 的北偏西65°的方向上．
故选B．
3．（2020·全国单元测试）射线
位于北偏东
方向，射线
位于南偏东
方向，则
的度
数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
．
故选A．
4．（2020·哈尔滨工业大学附属中学校初一开学考试）某人在点
处看点
在北偏东
的方向上，看点
在北偏西
的方向上，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由题意可作如图所示：
．
故选B．
5．（2020·全国课时练习）如图所示，由点A 测点B 的方向是（ ）
A．南偏东38°
B．南偏东52°
C．北偏西38°
D．北偏西52°
【答案】A
【解析】根据图上的信息以及方位角的定义，B 点在A 点南偏东
．
故选：A．
6．（2020·全国课时练习）若点B 在点A 北偏东30°处，点C 在点A 南偏东40°处，那么
的度数是（
）
A．70°
B．80°
C．100°
D．110°
【答案】D
【解析】
．
故答案选D．
7．（2020·山东单县·初一期末）如图，
是表示北偏东
方向的一条射线，则
的反向延长线
表示的是（ ）
A．北偏西
方向上的一条射线
B．北偏西
方向上的一条射线
C．南偏西
方向上的一条射线
D．南偏西
方向上的一条射线
【答案】D
【解析】
如图，根据对顶角相等可知∠2=55°，再根据余角的性质可得∠1=35°，
∴
的反向延长线
表示的是：南偏西55°方向上的一条射线或西偏南35°方向上的一条射线．
故选：D．
8．（2020·全国单元测试）若从点
看点
的方向是南偏东
，那么从点
看点
的方向是_______．
【答案】北偏西
【解析】因为从点
看点
的方向是南偏东
，所以从点
看点
的方向是北偏西
；
故答案为北偏西
．
9．（2020·全国单元测试）
、
两个城市的位置如图所示，那么
城在
城的_______方向．
【答案】北偏东
【解析】解：由图可知：
城在
城的北偏东90°－60°=
故答案为：北偏东
．
10．（2020·全国单元测试）根据图填空：点A 在点O 的______________方向，点C 在点O 的
______________方向．
【答案】东偏北50° 西南
【解析】在图中找到A 点和C 点位置，然后根据方向和偏角可得：
点A 在点O 的东偏北50°方向，点C 在点O 的西南方向．
故答案为：东偏北50°；西南．
11．（2020·辽宁北镇·期末）如图，直线
与
相交于点
，
，且
平分
，若
，则
的度数为_____．
【答案】20º．
【解析】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
又∵∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°−40°＝140°，
又∵OC 平分∠AOF，
∴∠AOC＝12×140°＝70°，
∴∠BOD＝180°−90°−70°＝20°．
故答案为：20°．
考点3：角的运算
典例：（2020·巨野县育才实验学校初一月考）计算：
（1）
（2） 180º-（34º55′+21º33′）
【答案】（1）
；（2）123°32′
【解析】解：（1）
；
（2）原式=180°-55°88′
=179°60′-56°28′
=123°32′；
方法或规律点拨
本题考查了度分秒的换算：度、分、秒是常用的角的度量单位．1 度=60 分，即1°=60′，1 分=60 秒，即
1′=60″．
巩固练习
1．（2020·全国初一课时练习）计算：
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
．
故选：B．
2．（2020·全国单元测试）（1）已知
，
，则
_______；
（2）已知
，
，则
_______．
【答案】
【解析】解：（1）
（2）
故答案为：
，
．
3．（2020·全国单元测试）计算：
________________；
________________．
【答案】
【解析】解：
故答案为：
；
．
4．（2020·湖南雨花·初一期末）计算：48°37'+53°35'＝_____．
【答案】
【解析】48°37'+53°35'=101°72'=
.
5．（2020·全国初一课时练习）计算：90°
18°35'
﹣
＝__．
【答案】
【解析】解：90°-18°35'=71°25′．
故答案是：71°25′．
6．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）计算30°52′+43°50′=______
【答案】74°42′
【解析】解：30°52′+43°50′=73°102′=74°42′
故答案为：74°42′．
7．（2020·全国单元测试）（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）原式
．
（2）原式
．
（3）原式
．
（4）原式
．
考点4：与三角板有关的角度计算
典例：（2020·湖南天心·长郡中学初一期末）如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，∠AOC＝
30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O 处，一边OE 在射线OA 上，另一边OD 与OC 都
在直线AB 的上方．
（1）将图1 中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t 秒后，OD 恰好平
分∠BOC．
①此时t 的值为 ；（直接填空）
②此时OE 是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转
一周，如图3，那么经过多长时间OC 平分∠DOE？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC 平分∠DOB？请画图并说明理由．
【答案】（1）①3，②是，理由见解析；（2）t＝5 秒或69 秒时，OC 平分∠DOE；理由见解析；（3）经
秒时，OC 平分∠DOB．画图说明理由见解析．
【解析】（1）①∵∠AOC＝30°，∠AOB＝180°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°，
∵OD 平分∠BOC，
∴∠BOD＝
BOC＝75°，
∴t＝
；
故答案为3；
②是，理由如下：
∵转动3 秒，∴∠AOE＝15°，
∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝15°，
∴∠COE＝∠AOE，
即OE 平分∠AOC．
（2）三角板旋转一周所需的时间为＝
＝72（秒），射线OC 绕O 点旋转一周所需的时间为
＝45
（秒），
设经过x 秒时，OC 平分∠DOE，
由题意：①8x
5
﹣x＝45
30
﹣
，
解得：x＝5，
②8x
5
﹣x＝360
30+45
﹣
，
解得：x＝125＞45，不合题意，
③∵射线OC 绕O 点旋转一周所需的时间为
＝45（秒），45 秒后停止运动，
∴OE 旋转345°时，OC 平分∠DOE，
∴t＝
＝69（秒），
综上所述，t＝5 秒或69 秒时，OC 平分∠DOE．
（3）如图3 中，由题意可知，
OD 旋转到与OB 重合时，需要90÷5＝18（秒），OC 旋转到与OB 重合时，需要（180
30
﹣
）÷8＝
（秒），
所以OD 比OC 早与OB 重合，
设经过x 秒时，OC 平分∠DOB，
由题意：8x﹣（180
30
﹣
）＝
（5x
90
﹣
），
解得：x＝
，
所以经
秒时，OC 平分∠DOB．
方法或规律点拨
本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，关键是根据线的运动得到角的等量关系，然后根据题意列
出式子计算即可．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）用两个三角板（一个是
，一个是
）不可能画出的角度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：因为三角板的度数：30°，60°，90°，45°，45°，90°．
可以画出的角度是：15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°．
∴不可能画出的角度是115°；
故选：B．
2．（2020·山东莘县·期末）如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合与点O，若∠DOC＝
28°，则∠AOB 的度数为（ ）
A．62°
B．152°
C．118°
D．无法确定
【答案】B
【解析】解：∵∠COB＝∠DOB﹣∠DOC＝90°
28°
﹣
＝62°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝90°+62°＝152°．
故选：B．
3．（2020·湖北荆州·月考）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果
∠1=20°，那么∠2 的度数是（ ）
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
【答案】B
【解析】根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1
45°=25°
﹣
，
4．（2020·山西浑源·初一期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，
∠1=27°40′，∠2 的大小是( )
A．27°40′
B．57°40′
C．58°20′
D．62°20′
【答案】B
【解析】∵∠1=27°40′，
∴∠CAE=60°-27°40′=32°20′，
∴∠2=90°-32°20′= 57°40′.
故选B.
5．（2020·全国初一课时练习）如图，将两块三角尺AOB 与COD 的直角顶点O 重合在一起，若
∠AOD=4∠BOC，OE 为∠BOC 的平分线，则∠DOE 的度数为（ ）
A．36°
B．45°
C．60°
D．72°
【答案】D
【解析】∵∠AOB=90°,∠COD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD ，
∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180° ，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD=4∠BOC，
∴4∠BOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=36°，
∵OE 为 ∠BOC 的平分线，
∴∠COE=
∠BOC=18°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−18°=72°，
故选D.
6．（2020·广西平桂·期末）如图，将一副三角板叠放一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOD +∠COB
的度数为___________度．
【答案】180
【解析】∠AOD+∠COB=∠COD+∠AOC+∠COB =∠COD+∠AOB=90°+90°=180°．
故答案是：180．
7．（2020·广东省汕头市潮阳区铜盂中学初三月考）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重
合于O 点，且∠AOB＝155°，则∠COD＝_____．
【答案】25
【解析】∵△AOD 与△BOC 是一副直角三角板，∴∠AOD+∠COB＝180°，
∴∠AOC+2∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°．
∵∠AOB＝155°，∴∠COD＝180°﹣∠AOB＝180°
155°
﹣
＝25°．
故答案为25．
8．（2020·全国单元测试） 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD=127°，则
∠BOC=_______．
【答案】53°
【解析】∵∠AOB=∠COD=90°
∴∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=180°
即∠AOD+∠BOC=180°
∵∠AOD=127°
∴∠BOC=53°，
故答案为：53°．
9．（2020·全国单元测试）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝
_____．
【答案】180°
【解析】
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∴∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠BOC+∠BOD，
又∵∠BOC+∠BOD=∠COD，且∠AOB=∠COD=90°，
∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°．
10．（2019·广东郁南·初一期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．
（1）判断∠ACE 与∠BCD 的大小关系，并说明理由；
（2）若∠DCE=30°，求∠ACB 的度数；
（3）猜想：∠ACB 与∠DCE 有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠ACE=∠BCD；（2）150°；（3）∠ACB+∠DCE=180°，见解析
【解析】解：（1）∠ACE=∠BCD，理由如下：
∵∠ACE+∠DCE=90°，∠BCD+∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠BCD；
（2）由余角的定义，得∠ACE=90°﹣∠DCE=90°
30°=60°
﹣
，
由角的和差，得∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°+90°=150°；
（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：
由角的和差，得∠ACB=∠BCE+∠ACE，
∠ACB+∠DCE=∠BCE+（∠ACE+DCE）=∠BCE+∠ACE=180°．
11．（2020·全国初二课时练习）将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE 的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD 的度数．
【答案】（1）∠CAE＝18°；（2）∠ACD＝120°．
【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝4∠2，
∴4∠2+∠2＝90°，
∴∠2＝18°，
又∵∠DAE＝90°，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，
∴∠CAE＝∠2＝18°；
（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°，
∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，
又∠ACE＝2∠BCD，
∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．
12．（2019·河北涿鹿·期末）把一副三角板的直角顶点O 重叠在一起．
（1）问题发现：如图①，当OB 平分∠COD 时，∠AOD+∠BOC 的度数是 ；
（2）拓展探究：如图②，当OB 不平分∠COD 时，∠AOD+∠BOC 的度数是多少？
（3）问题解决：当∠BOC 的余角的4 倍等于∠AOD 时，求∠BOC 的度数．
【答案】（1）180°；（2）180°；（3）60°．
【解析】解：（1）∵OB 平分∠COD，
∴∠BOC=∠BOD=45°．
∵∠AOC+∠BOC=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°．
故答案为180°；
（2）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°；
（3）∵由（1）、（2）得，∠AOD+∠BOC=180°，
∴∠AOD=180°﹣∠BOC．
∵∠AOD=4（90°﹣∠BOC），
∴180°﹣∠BOC=4（90°﹣∠BOC），
∴∠BOC=60°
．
13．（2020·广东东莞·初一期末）直角三角板ABC 的直角顶点C 在直线DE 上，CF 平分∠BCD．
（1）在图1 中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝ ；
（2）在图1 中，若∠BCE＝α，∠ACF＝ （用含α 的式子表示）；
（3）将图1 中的三角板ABC 绕顶点C 旋转至图2 的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF 与∠ACE 的度数．
【答案】（1）20°；（2）
；（3）∠ACF＝75°，∠ACE＝120°
【解析】解：（1）如图1，
∵∠ACB＝90°，∠BCE＝40°，
∴∠ACD＝180°-90°-40°＝50°，∠BCD＝180°-40°＝140°，
又CF 平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF＝
∠BCD＝70°，
∴∠ACF＝∠DCF-∠ACD＝70°-50°＝20°；
故答案为：20°；
（2）如图1，
∵∠ACB＝90°，∠BCE＝
°，
∴∠ACD＝180°-90°-
°＝90°-
，∠BCD＝180°-
，
又CF 平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF＝
∠BCD＝90°-
，
∴∠ACF＝90°-
90°
﹣
＋
＝
；
故答案为：
；
（3）∠ACF＝
∠BCE．理由如下：
如图2，
∵点C 在DE 上，
∴∠BCD＝180°-∠BCE＝180°-150°＝30°．
∵CF 平分∠BCD，
∴∠BCF＝
∠BCD＝
×30°＝15°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠ACB-∠BCF＝90°-15°＝75°．
∴∠ACE＝360°-∠ACB﹣∠BCE＝360°-90°-150°＝120°．
考点5：与角平分线有关的证明与计算
典例：（2020·福建泉州五中月考）（问题提出）已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝
∠AOC，∠BOD＝
3∠BOC（∠BOC＜50°），求∠BOC 的度数．
（问题思考）聪明的小明用分类讨论的方法解决．
（1）当射线OC 在∠AOB 的内部时，①若射线OD 在∠AOC 内部，如图1，可求∠BOC＝16.1°；问：当
射线OC 在∠AOB 的内部时，②若射线OD 在∠AOB 外部，如图2，请你求出∠BOC 的度数
（问题延伸）
（2）当射线OC 在∠AOB 的外部时，请你画出图形，并求∠BOC 的度数
【答案】（1）②34.5°；（2）画图见解析；11.5°或48.3°．
【解析】（1）②
如图所示，设
，则
，
，
，
，
即
；
（2）当射线OC 在∠AOB 的外部时，根据题意此时射线OC 靠近射线OB，
∠BOC＜50°，
，
射线OD 的位置也只有两种可能；
设
，
①若射线OD 在∠AOB 的内部，如图1 所示：
则
，
，
，
，
即
；
②若射线OD 在∠AOB 外部，如图2 所示：
则
，
，
，
，
即
．
方法或规律点拨
本题主要考查角的和差倍分关系，关键是根据题意得到角之间的等量关系，然后列出算式进行求解即可．
巩固练习
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示，
，
，
平
分
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：∵∠AOC=90°，∠COB=
，
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=90°+
．
∵OD 平分∠AOB，
∴∠BOD=
（90°+
）=45°+
，
∴∠COD=∠BOD-∠COB=45°-
，
故选：C.
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）在同一平面内，若∠AOB＝90º，∠BOC＝40º，
则∠AOB 的平分线与∠BOC 的平分线的夹角等于( )．
A．65º
B．25º
C．65º 或25º
D．60º 或20º
【答案】C
【解析】（1）当OC 在∠AOB 内部时；
∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，OD，OE 是∠AOB 的与∠BOC 的平分线，
∴∠AOD=∠DOB=
∠AOB=
×90°=45°，∠BOE=∠EOC=
∠BOC=
×40°=20°，
∴∠DOE=∠DOB-∠EOB=45°-20°=25°；
当OC 在∠AOB 外时，
∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，OD，OE 是∠AOB 的与∠BOC 的平分线，
∴∠AOD=∠DOB=
∠AOB=
×90°=45°，∠BOE=∠EOC=
∠BOC=
×40°=20°，
∴∠DOE=∠DOB+∠EOB=45°+20°=65°；
故选：C
3．（2020·福建宁化·期中）如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD 等
于( ).
A．35°
B．70°
C．110°
D．145°
【答案】C
【解析】∵OC 平分∠DOB，∠COB=35°，
∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°,
∴∠AOD=180°-70°=110°.
故选C.
4．（2020·湖南天心·长郡中学初一期末）如图，∠AOB 是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON 分
别是∠AOC、∠BOD 的平分线，∠MON 等于（ ）
A．90°
B．135°
C．150°
D．120°
【答案】B
【解析】∵∠AOB 是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，
∴∠COD＝90°（互为补角）
∵OM，ON 分别是∠AOC，∠BOD 的平分线，
∴∠MOC+∠NOD＝
（30°+60°）＝45°（角平分线定义）
∴∠MON＝90°+45°＝135°．
故选：B．
5．（2020·山东莘县·期末）如图，OA⊥OB，∠BOC＝30°，OD 平分∠AOC，则∠BOD＝_____度．
【答案】30
【解析】∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，即∠AOD+BOD＝90°；
∵OD 平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC，
即∠BOD+∠BOC+BOD＝90°，
即2∠BOD+∠BOC＝90°
∵∠BOC＝30°，
∴∠BOD＝30°．
故答案为：30．
6．（2020·全国单元测试）如图所示，已知
，
，
成一直线，
，且
，
，则
_______ ．
【答案】108
【解析】解：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
故答案为：108
7．（2020·全国单元测试）如图所示，
是
的平分线，
是
的平分线，
是
的平分线，那么
_______．
【答案】
【解析】∵
是
的平分线，
∴∠AOC=∠EOC=
∠AOE，
∵
是
的平分线，
是
的平分线，
∴∠AOB=∠BOC=
∠AOC=
∠AOE，
∠COD=∠DOE=
∠EOC=
∠AOE，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，
∴∠AOD=
∠AOE，
∠BOE=
∠AOE，
∴∠AOD=∠BOE，
故答案为：BOE．
8．（2020·陕西神木·初一期末）如图，已知OE 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠BOC 的角平分线．
（1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE 的度数；
（2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE 的度数．
【答案】(1) 45°;(2) 45°.
【解析】解：（1）∵ OE 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠BOC 的角平分线．
∴ ∠AOE=
∠AOC ,
∠COD=
∠BOC ,
∵∠AOC=120°,∠BOC=30°
∴ ∠AOE=
×120° =60°
∠COD=
× 30°= 15°
∠DOE=∠AOC - ∠AOE - ∠COD
=120°- 60°-15°= 45°.
（2）∵ ∠AOB=90°，∠BOC=α
∴ ∠AOC = 90°+α
∵ OE 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠BOC 的角平分线．
∴∠AOE=
∠AOC , ∠COD=
∠BOC
∠AOE=
（90°+α），∠COD=
α
∠DOE=∠AOC - ∠AOE-∠COD
= （90°+α）-
（90°+α）-
α = 45°
9．（2020·全国单元测试）如图所示，
平分
，
、
是
的三等分线．
（1）如果
，求
的度数；
（2）如果
，
，求
的度数．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】解：（1）∵
平分
，
、
是
的三等分线，
∴
，
，
∵
，
∴
即
，
∴
，
∴
；
（2）∵
、
是
的三等分线，
∴
，
∵
，
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
考点6：与余角（补角）有关的证明与计算
典例：（2020·内蒙古海勃湾·初一期末）点O 为直线AB 上一点，将一直角三角板OMN 的直角顶点放在点
O 处．射线OC 平分∠MOB．
(1)如图1，若∠AOM=30°，求∠CON 的度数；
(2)在图1 中，若∠AOM=a，直接写出∠CON 的度数（用含a 的代数式表示）；
(3)将图1 中的直角三角板OMN 绕顶点O 顺时针旋转至图2 的位置，一边OM 在射线OB 上方，另一边ON
在直线AB 的下方．
①探究∠AOM 和∠CON 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC=3∠BON 时，求∠AOM 的度数．
【答案】(1) 15°;(2) ∠CON=
a;(3) ①见解析；②144°.
【解析】解：(1)由已知得∠BOM=180°－∠AOM=150°，
又∠MON 是直角，OC 平分∠BOM，
所以∠CON=∠MON－∠BOM=90°－×150°=15°.
(2)∠CON= a.
(3)设∠AOM=a，则∠BOM=180°－a，
①∠AOM=2∠CON.
理由如下：
∵OC 平分∠BOM，
∴
∵
∴
∴
②由①知
∴
解得
∴
.
方法或规律点拨
本题主要考查角度间的计算、余角补角的性质及角平分线的性质与一元一次方程的应用，综合性大，需综
合运用所学知识求解.
巩固练习
1．（2020·湖北曾都·期末）如图，点O 为直线AB 上一点，OC⊥OD．如果∠1=35°，那么∠2 的度数是（
）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【答案】C
【解析】∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°．
∴∠2＝180°−∠COD−∠1＝180°−90°−35°＝55°，
故选C．
2．（2020·山东莘县·期末）如图，直线BC 与MN 相交于点O，AO 丄OC，OE 平分∠BON，若
∠EON=20°，求∠AOM 的度数．
【答案】50 o
【解析】解：∵OE 平分∠BON，
∴∠BON=2∠EON=40°，
∴∠COM=∠BON=40°，
∵AO⊥BC，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOM=90°-∠COM=90°-40°=50°．
3．（2020·福建宁化·期中）已知
为直线
上的一点，
是直角，
平分
．
（1）如图1，若
=
°，则
= °，
与
的数量关系为 ．
（2）当射线
绕点
逆时针旋转到如图2 的位置时，（1）中
与
的关系是否仍然成立？
如成立，请说明理由．
（3）在图3 中，若
=
°，在
的内部是否存在一条射线
，使得
？若存在，请求出
的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）56°；∠BOE＝2∠COF；(2) ∠BOE＝2∠COF 仍然成立，理由见解析；（3）存在，∠BOD
＝16°.
【解析】解：（1）∵∠COE 是直角，∠COF＝28°，
∴∠EOF＝90°−∠COF＝62°，
∵OF 平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝124°，
∴∠BOE＝180°−∠AOE＝56°，
若∠COF＝n°，则∠EOF＝90°− n°，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°− 2n°，
∴∠BOE＝180°−∠AOE＝2n°，
∴∠BOE＝2∠COF；
（2）∠BOE＝2∠COF 仍然成立，
理由：设∠COF＝n°，
∴∠EOF＝90°−∠COF＝90°−n°，
∵OF 平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°−2n°，
∴∠BOE＝180°−∠AOE＝2n°＝2∠COF，
故∠BOE 与∠COF 的关系是仍然成立；
（3）由（2）可知：∠BOE＝2∠COF＝130°，
∴∠AOE＝180°−∠BOE＝50°，
∵OF 平分∠AOE，
∴∠AOF＝
∠AOE＝25°，
∵2∠BOD＋∠AOF＝
（∠BOE−∠BOD），
∴2∠BOD＋25°＝
（130°−∠BOD）
解得：∠BOD＝16°.
4．（2020·广西陆川·期末）如图，OD、OC、OB、OA 分别表示东西南北四个方向，OM 的方向是西偏北
50°，OE 的方向是北偏东15°，OE 是∠MOG 的平分线，∠MOH=∠NOH=90°.
(1)OH 的方向是_______，ON 的方向是________；
(2)通过计算，判断出OG 的方向；
(3)求∠HOG 的度数.
【答案】（1）南偏西50°，南偏东40°；（2）北偏东70°；（3）160°.
【解析】（1）∵OM 的方向是西偏北50°，
∴∠COM=50°,
∵∠MOH=90°，
∴∠COH=90°-50°=40°,
∴∠BOH=90°-40°=50°,
∴OH 的方向是南偏西50°.
∵∠NOH=90°，∠BOH=50°,
∴∠BON=90°-50°=40°,
∴ON 的方向是南偏东40°.
（2）∵∠COM=50°,
∴∠AOM=90°-50°=40°,
∴∠MOE=40°+15°=55°,
∵OE 是∠MOG 的平分线，
∴∠GOE=∠MOE=55°,
∴∠AOG=15°+55°=70°,
∴OG 的方向是北偏东70°；
（3）∠HOG=360°-∠HOM-∠MOE-∠GOE
=360°-90°-55°-55°
=160°.
5．（2020·广西陆川·期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3 倍，求这个角的余角和补角
的度数．
【答案】这个角的余角是50°，补角是140°．
【解析】解：设这个角为x°，
则180﹣x+10＝3（90﹣x），
解得：x＝40
即这个角的余角是50°，补角是140°．
答：这个角的余角是50°，补角是140°．
6．（2020·全国单元测试）如果一个角的余角是这个角的
，求这个角的度数．
【答案】
【解析】解：设这个角为
，
得
，
．
答：这个角的度数为
．
7．（2020·全国单元测试）如图所示，已知
、
、
在一直线上，
、
分别是
和
的角平分线．
（1）求
的度数；
（2）分别写出
的余角和补角．
【答案】（1）
；（2）
的余角为
、
，补角为
．
【解析】解：（1）∵
、
分别是
和
的角平分线，
∴
，
，
∵
，
∴
；
（2）由（1）得
；∵
，∴
的余角为
、
，补角为
．
8．（2020·全国单元测试）如图所示，已知点A、O、E 在同一直线上，
，
，
．
（1）写出图中的一对互余的角____________，一对互补的角______________．
（2）画出
的角平分线
．
（3）
______________．
【答案】（1）
和
；
和
；（2）作图见解析；（3）
．
【解析】（1）因为
，
所以
+
=
，
故
和
互余；
因为点A、O、E 在同一直线上，
所以
=
所以
+
=
，
故
和
互补；
故答案为：
和
；
和
．
（2）因为
，
，
所以
，
，
在
内用量角器取
，即OF 为
的角平分线，如下图：
（3）由（1）知
+
=
，
所以
，
所以
，
故答案为：
．
9．（2020·云南镇康·初一期末）一个角的余角比这个角的补角的
还小10°，求这个角．
【答案】60°
【解析】解：设这个角为xº，
列方程：90-x=
（180-x）-10，
解得x=60，
故这个角是60 度．
10．（2019·贵州花溪·初一学业考试）互补的两个角之差是
，求其中较小角的余角度数．
【答案】14°
【解析】解：设较小的角为x，则其补角为180°－x，
根据题意得：180°－x－x＝28°，
解得x＝76°，
则90°－x＝90°－76°＝14°，
答：其中较小角的余角的度数为14°．
11．（2020·苏州高新区实验初级中学初一期末）如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC=48°，OD 平分
∠AOC，∠DOE=90°．
(1)图中有 个小于平角的角；
(2)求出∠BOD 的度数；
(3)试判断OE 是否平分∠BOC，并说明理由．
【答案】（1）9；（2）156°；（3）OE 平分
，理由见解析．
【解析】（1）小于平角的角有：
，共有9 个
故答案是： 9；
（2）∵OD 平分
，
∴
∴
；
（3）OE 平分
，理由如下：
∵
，
∴
∴
∴OE 平分
．
12．（2020·江西育华学校初一期末）如图，已知
，
是
的平分线．
（1）如图1，当
与
互补时，求
的度数；
（2）如图2，当
与
互余时，求
的度数．
【答案】(1)65°；(2)20°
13.（2020·广东郁南·初一期末）如图，以点O 为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD.
（1）若∠AOC、∠BOD 都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB 和∠DOC 的度数.
（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD 的度数.
（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α 为多少度时，∠AOD 和∠BOC 互余？并说明理由.
【答案】（1）∠AOB=30°，∠DOC=30°；（2）∠COD=30°；（3）当α=45°时，∠AOD 与∠BOC 互余．
【解析】（1）∵∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=90°
60°=30°
﹣
，
∠DOC=∠BOD﹣∠BOC=90°
60°=30°
﹣
；
（2）设∠COD=x°，则∠BOC=100°﹣x°．
∵∠AOC=110°，
∴∠AOB=110°
(100°
﹣
﹣x°)=x°+10°．
∵∠AOD=∠BOC+70°，
∴100°+10°+x°=100°﹣x°+70°，
解得：x=30，
即∠COD=30°；
（3）当α=45°时，∠AOD 与∠BOC 互余．理由如下：
要使∠AOD 与∠BOC 互余，即∠AOD+∠BOC=90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=90°，
即∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠AOC=∠BOD=α，
∴∠AOC=∠BOD=45°，
即α=45°，
∴当α=45°时，∠AOD 与∠BOC 互余．
14．（2020·河南渑池·初一期末）点
在直线
上，射线
上的点
在直线
上方，
（1）如图（1），求
的度数；
（2）如图（2），点
在直线
上方，
与
互余，
平分
，求
的度数；
（3）在（2）的条件下，点
在直线
下方，
平分
，若
与
互补，求
的度数．
【答案】（1）144°；（2）81°；（3）117°或171°
【解析】解：（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，
∵∠BOC+∠AOC=180°，
∴α+4α=180°，
∴α=36°，
∴∠AOC=144°；
（2）∵∠AOD 与∠BOC 互余，
∴∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，
∴∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=180°-54°-36°=90°，
∵OE 平分∠COD，
∴∠COE=
∠COD＝
×90°=45°，
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=45°+36°=81°，
（3）①如图1，∵OG 平分∠FOB，
∴∠FOG=∠BOG，
∵∠FOD 与∠BOG 互补，
∴∠FOD+∠BOG=180°，
设∠BOG=x°，∠BOF=2x°，∠BOD=∠DOC+∠BOC=36°+90°=126°，
∵∠FOD=∠BOD+∠BOF，
∴126+2x+x=180，
解得：x=18，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=81°+2×18°=117°；
②如图2，∵OG 平分∠FOB，
∴∠FOG=∠BOG，
∵∠FOD 与∠BOG 互补，
∴∠FOD+∠BOG=180°，
∴∠FOD+∠FOG=180°，
∴D，O，G 共线，
∴∠BOG=∠AOD=54°，
∴∠AOF=180°-∠BOF=72°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-81°=99°，
∴∠EOF=∠AOF+∠AOE=72°+99°=171°．
15．（2020·河北泊头·初一期末）如图，直线AB 与CD 相交于点O，OE 平分∠AOD，OF 平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝70°，求∠DOE 和∠EOF 的度数；
(2)请写出图中∠AOD 的补角和∠AOE 的余角．
【答案】(1) 90°；(2)∠AOD 的补角：∠AOC 和∠BOD；∠AOE 的余角：∠DOF 和∠BOF.
【解析】
【分析】(1)因为∠AOC＝70°，
所以∠AOD＝180°－∠AOC＝110°，
所以∠BOD＝180°－∠AOD＝70°.
又因为OE 平分∠AOD，所以∠DOE＝
∠AOD＝55°，
又因为OF 平分∠BOD，所以∠DOF＝
∠BOD＝35°.
所以∠EOF＝∠DOE＋∠DOF＝90°.
(2)∠AOD 的补角：∠AOC 和∠BOD；
∠AOE 的余角：∠DOF 和∠BOF.
16．（2020·福建福州·初一月考）如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．
（1）比较∠EOM 与∠FON 的大小，并写出理由；
（2）求∠EON+∠MOF 的度数．
【答案】（1）∠EOM=∠FON；理由见解析；（2）180°.
【解析】（1）∠EOM=∠FON．
∵∠EOM+∠MOF=90°=∠FON+∠MOF，
∴∠EOM=∠FON；
（2）∵∠EON+∠MOF=∠EOM+∠MOF+∠FON+∠MOF，
∴∠EON+∠MOF=∠EOF+∠MON=180°．
【解析】(1)∵∠AOB 与∠COB 互补，
∴∠COB=180°-∠AOB=180°-50°=130°，
∵OD 是∠COB 的平分线
∴∠COD=
∠COB=
×130°=65°；
(2)∵∠AOB 与∠COB 互余，
∴∠COB=90°-∠AOB=90°-50°=40°，
∵OD 是∠COB 的平分线，
∴∠COD=
∠COB=
×40°=20°．
