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专题06 抛体运动
题型一 平抛运动基本规律的应用.........................................................................................................1
题型二 有约束条件的平抛运动模型.....................................................................................................4
类型1 从斜面飞出的平抛运动问题..............................................................................................4
类型2 飞向斜面的平抛运动问题..................................................................................................7
类型3 对着竖直墙壁的平抛运动..................................................................................................9
类型4 圆弧面上的平抛运动........................................................................................................11
题型三 平抛运动的临界与极值问题...................................................................................................13
题型四 斜抛运动...................................................................................................................................14
题型五 类平抛运动...............................................................................................................................16
题型一 平抛运动基本规律的应用
1．性质
加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
2．基本规律
以抛出点为原点，水平方向(初速度v0方向)为x 轴，竖直向下方向为y 轴，建立平面直角坐标系，
则：
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝.
3．对规律的理解
(1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度
v 0 无关．
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度
v 0 和下落高度
h 共同决定，与其他因素无关．
(3)落地速度：vt＝＝，以θ 表示落地速度与x 轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与
初速度
v 0 和下落高度
h 有关．
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间
隔Δt 内的速度改变量Δv＝gΔt 相同，方向恒为竖直向下，如图所示．
(5)两个重要推论
①做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，
如图中A 点和B 点所示．
②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位
移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
1.
如图所示，从高度为H 的A 点以初速度v0水平向左抛出一颗石子（可视为质点），石
子刚好落在砖墙的最下端B 处。已知砖墙的高度为3
4 H，重力加速度为g，不计空气阻力，则
石子在下落过程中到达与砖墙顶部等高的C 点时，到墙面的距离L 为（ ）
A．v0
❑√
H
g
B．v0
❑√
H
2 g
C．v0
❑√
2 H
g
D．2v0
❑√
H
g
2.
如图所示，某同学在面对竖直墙壁练习打网球。该同学将网球以v0=50 m /s的初速度
正对墙壁水平击出，击球点距离地面高度H =1.8 m，到竖直墙壁的水平距离x =15 m。网球跟
竖直墙壁碰撞后，竖直方向的分速度大小不变，反弹后水平速度的大小变为碰前的60%，g 取
10 m /s
2，网球可视为质点，不计空气阻力，则网球第一次的落地点与击球点之间的水平距离
为（ ）
A．8.0m
B．7.5m
C．7.0m
D．6.0m
3.
中国海警船装备的最新水炮具有极高的威力，这些水炮通过高压将水喷射出去，水炮
的最大压力是普通消防车水枪压力的四百多倍。如果水炮炮口距离海平面高度为h=20m，水炮
将水以v0=150m/s 的初速度水平喷射出，重力加速度g 取10m/s2，忽略空气阻力。喷射出的水
炮水平射程为（ ）
A．300m
B．400m
C．500m
D．600m
4.
某草坪安装了一个水平喷水的喷灌系统，喷头离地面的高度为h，调整喷水速度使水
恰好覆盖到离喷头水平距离为s 的草坪边缘。若喷头高度调整为h
2
，仍要让水覆盖到原草坪边
缘，忽略空气阻力，喷水的初速度应调整为原来的（ ）
A．❑√2倍
B．
❑√2
2
C．1 倍
D．2 倍
5.
如图所示，A、B 为小球做平抛运动轨迹上的两点，小球在A 点的速度大小为v1，方
向与水平方向的夹角α =37°，在B 点的速度方向与水平方向的夹角β =53°。已知重力加速度
的大小为g，sin37° =0.6，求：
(1)小球在B 点的速度大小v2；
(2)小球从A 点运动到B 点的时间t。
题型二 有约束条件的平抛运动模型
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律
还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利
解决．常见的模型如下：
方法
内容
斜面
总结
分
解
速
度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：v＝
分解速度，构建速度
三角形
分
解
位
移
水平：x＝v0t
竖直：y＝gt2
合位移：s＝
分解位移，构建位移
三角形
类型1 从斜面飞出的平抛运动问题
6.
北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是
北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名跳雪爱好者a，b（可视为质点）从雪道末端
先后以初速度之比va:vb=1:4，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名跳
雪爱好者从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是（ ）
A．他们飞行时间之比为1：4
B．他们飞行的水平位移之比为1：8
C．他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1：16
D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同
7.
如图所示，虚线MN 是竖直面内的斜线，两个小球分别从MN 上的A、B 两点水平抛
出，过一段时间再次经过虚线MN，则下列说法错误的是（ ）
A．两球经过虚线MN 时的速度大小可能相同
B．两球经过虚线MN 时的速度方向一定相同
C．两球可能同时经过虚线MN 上的同一位置
D．A 处抛出的球从抛出到经过虚线MN 所用时间一定比B 处抛出的球从抛出到经过虚线MN 所
用时间长
8.
如图所示，从倾角为θ 的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球
均落在斜面上。当抛出的速度为v0时，从抛出至落到斜面的运动时间为t1，位移大小为s1，离
斜面的最远距离为d1，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为2v0时，从
抛出至落到斜面的运动时间为t2，位移大小为s2，离斜面的最远距离为d2，小球到达斜面时速
度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则下列关系式正确的是（ ）
A．d2=2d1
B．t2=2t1
C．s2=2s1
D．α1=α2
9.
如图所示，阳光垂直照射到斜面草坪上，在斜面顶端O 点把一小球水平击出让其在与
斜面垂直的竖直面内运动，小球刚好落在斜面的底端C 点。B 点是小球运动过程中距离斜面的
最远处，A 点是在阳光照射下小球经过B 点的投影点，不计空气阻力，则（ ）
A．若斜面内D 点在B 点的正下方，则OD 与DC 长度相等
B．小球在斜面上的投影做匀速运动
C．OA 与AC 长度之比为1 3∶
D．小球在B 点的速度与OC 段平均速度大小相等
10. 小明坐在倾角为θ =37°的斜坡上将质量为m=1kg的小球抛出，抛出点可近似认为贴
近斜坡，并最终落在斜坡上，小球抛出瞬间的速度大小为v0=2m /s，不计空气阻力，
g=10 m /s
2，sin37° =0.6，求：
(1)若小球抛出时速度沿水平方向，求落在斜坡上的时间t和小球的位移大小s；
(2)若小球抛出时速度可沿任意方向，求小球运动的最长时间t m。
类型2 飞向斜面的平抛运动问题
11. 一种定点投抛的游戏可简化为如图所示的模型，斜面AB 的倾角为θ =37°，A、B 两
点分别是斜面的最底端和顶端，洞口处于斜面上的P 点，O 点在A 点的正上方，A、B、O、P
四点在同一竖直面内。第一次小球以3 m /s的水平速度从O 点抛出，正好落入洞中的P点，
OP的连线正好与斜面垂直；第二次小球以另一水平速度也从O 点抛出，小球正好与斜面在Q
点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度大小取g=10 m /s
2，sin37° =0.6.下列说法正确的
是（ ）
A．小球从O点运动到P 点的时间是0.4s
B．Q点在P 点的下方
C．第二次小球水平抛出的速度小于3 m /s
D．O、A 两点的高度差为5 m
12. 如图所示，在同一竖直平面内，水平面的右端固定一倾角为θ =24°的斜面，在水平
面上D 点正上方O 点处水平向右以v0=6 m /s的速度抛出一个小球M，同时位于斜面底端C 点、
质量m=5kg的滑块，在沿斜面向上的恒定拉力F 作用下由静止开始向上加速运动，经过时间
t =1s恰好在P 点被M 击中。已知滑块与斜面间动摩擦因数
μ=0.2,CD =3.75 m ,cos24° =0.9,sin 24° =0.4，重力加速度g=10 m /s
2，小球和滑块均可
看成质点，不计空气阻力，则拉力F 大小为（ ）
A．27 N
B．36N
C．48N
D．54N
13. 如图所示，以水平向右为x轴，以竖直向上为y轴建立直角坐标系，发射器能把小球
以v0和2v0的速度从坐标原点射出，射出方向均与x轴正向成60
∘角，过原点放置一块很长的倾
斜挡板，以v0射出的小球沿x轴正向击打在挡板上A点，A点坐标（x，y）。不计空气阻力，
下列说法正确的是（ ）
A．v0射出的小球离斜面最远时经过的位置的纵坐标为1
2 y
B．2v0射出的小球击打斜面上的点的坐标为（2x，2y）
C．挡板所在的直线方程是y =
❑√3
2 x
D．以v0和2v0的速度射出的两小球击打到挡板的速度不平行
14. 如图，斜面上有a、b、c、d 四个点，ab＝bc＝cd。从a 点正上方的O 点以速度v0水
平抛出一个小球，它落到斜面上b 点。若小球从O 点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的
(不计空气阻力)( )
A．b 与c 之间某一点
B．c 点
C．c 与d 之间某一点
D．d 点
15. 如图甲所示，一质点从固定光滑斜面上O 点以初速度v1斜向上抛出，方向与斜面夹角
为α，质点与斜面依次在A、B、C 三点发生碰撞后原路返回O 点；改变初速度为v2，方向与斜
面夹角为β，质点与斜面依次在D、E 两点发生碰撞后，竖直上升至F 点后原路返回O 点，如
图乙所示。设质点与斜面碰撞前后的平行斜面速度不变，垂直速度反向，空气阻力不计，则下
列说法一定正确的是（ ）
A．AB
BC = 2
1
B．OD
DE = 2
1
C．v1
v2
= 6
5
D．tanα
tan β = 5
6
类型3 对着竖直墙壁的平抛运动
16. 在同一竖直平面内距离地面高度为hA、hB处的A、B 两点，A、B 所在竖直线与球网
之间的水平距离为L。有两个网球以相同大小的速度v0分别斜向上和斜向下抛出，与水平方向
的夹角均为θ，网球恰好均能掠过球网，且轨迹平面与球网垂直，tanθ = 1
2
，不计空气阻力。
则A、B 两点高度差为（ ）
A．L
B．5 L
4
C．L
2
D．L
4
17. 某海洋乐园里正在进行海豚戏球表演，海豚与高台边缘的水平距离为H。驯兽师在高
台边缘，距水面高度为H 处静止释放球的同时，海豚以一初速度v₀ 跃出水面，速度方向与水
面夹角为θ，如图所示。设海豚跃出水面后姿势保持不变，不计空气阻力，若海豚可以顶到球，
则下列选项中可能正确的是（ ）
A．v0= ❑√
4
3 gH
B．v0= ❑√
3
2 gH
C．θ=30°
D．θ = 45
∘
18. 用题图甲所示的足球发球机在球门正前方的A、B两个相同高度的位置发射同一足球，
情景如题图乙所示，两次足球都水平击中球门横梁上的同一点，不计空气阻力。则（ ）
A．两次击中横梁的速度相同
B．足球两次运动的速度变化量相同
C．从B位置发射的足球初速度较大
D．从A位置发射的足球在空中的运动时间长
19. 如图甲所示，小明同学在某次投篮练习中，将篮球从P 点以初速度v0斜向上抛出，篮
球从Q 点进入篮框，篮球抛出的同时用摄像机拍摄篮球的运动并利用视频跟踪软件进行分析。
篮球的初速度与水平方向的夹角为60°，斜向下进篮框时速度与水平方向的夹角为30°。从抛
出时刻开始计时，篮球在竖直方向上的位置坐标随时间的变化图像如图乙所示。取重力加速度
g=10m/s2，不计空气阻力，篮球可视为质点，则（ ）
A．v0=5m/s
B．v0=10m/s
C．PQ 连线与水平方向的夹角的正切值为
❑√3
3
D．PQ 连线与水平方向的夹角的正切值为
❑√3
2
20. 如图所示，某同学向一圆柱形杯中水平抛出一小物块（可视为质点），小物块恰好经
过杯口中心无阻挡地落到杯底边沿P 点。已知杯内高h，杯底直径为D，重力加速度为g，抛
出点O 与竖直杯壁（厚度不计）在同一竖直线上。忽略空气阻力，则小物块水平抛出时的速
度大小为（ ）
A．
❑√6 gh
4 h
D
B．
❑√6 gh
2h
D
C．
❑√gh
4 h D
D．
❑√gh
2h D
类型4 圆弧面上的平抛运动
21. 如图所示竖直放置的圆环半径为R，以圆心O 为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，
不计空气阻力，从下列哪个位置沿x 轴正方向水平抛出小球（可以看成质点）有可能垂直打到
圆环上（ ）
A．(- R
2 ,0)
B．(
R
2 ,0)
C．(0, R
2)
D．(0, R)
22. 如图所示，AB 为半圆环ACB 的水平直径，C 为环上的最低点，环半径为R。一个小
球从A 点沿AB 以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ）
A．v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长
B．即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同
C．若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环
23. 如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为1
4
圆弧bc，半径为R，O 为圆心，若在O
点以大小不同的初速度v0沿Oc 方向水平抛出小球，小球落在坑内。空气阻力可忽略，重力加
速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．落在球面上的最小速度为❑√2 gR
B．落在球面上的最小速度为❑√
❑√3 gR
C．小球的运动时间与v0大小无关
D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上
24. 如图所示，一小球以一定初速度水平抛出，忽略空气阻力。当小球以速度v0抛出时，
经历时间t1后以v A恰好击中斜面A 处（抛出点与A 点的连线垂直于斜面）。当小球以速度3v0
抛出时，经历时间t2后以vB恰好从B 点沿圆弧切线进入圆轨道。则（ ）
A．t1:t2=
2
3 tan
2θ
B．t1:t2=
2
tan
2θ
C．v A:vB= sinθ
❑√tan
2θ+ 4
3 tanθ
D．v A:vB= 2cosθ
❑√tan
2θ+ 4
3 tanθ
25. 如图所示，在水平放置的半径为R 的圆柱体的正上方的P 点将一小球以水平速度v0沿
垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q 点沿切线飞过，测得
O、Q 连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是（ ）
A．
v0
g tanθ
B． g tanθ
v0
C．Rsinθ
v0
D．Rcosθ
v0
题型三 平抛运动的临界与极值问题
处理平抛运动中的临界问题要抓住两点
(1)找出临界状态对应的临界条件．
(2)要用分解速度或者分解位移的思想分析平抛运动的临界问题．
26. 如图，倾角θ＝30°的斜面体放在水平面上，斜面ABCD 为边长为L 的正方形，在斜面
左上角A 点沿AB 方向水平抛出一个小球，小球做类平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角
C 点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（ ）
A．
❑√gL
2
B．
❑√2 gL
2
C．❑√gL
D．
❑√6 gL
2
27. 如图所示，一只蜘蛛在地面与竖直墙壁间结网，蛛丝AB 与水平地面之间的夹角为
45°，A 到地面的距离为1m，重力加速度g 取10m/ s
2，空气阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距
地面0.6m 的C 点以水平速度υ0跳出，要到达蛛丝，水平速度υ0至少为（ ）
A．❑√2m/s
B．2m/s
C．2❑√2m/s
D．2❑√3m/s
28. 如图所示，在水平地面上方有一矩形平台，平台的长度L=1m，在平台上放一张与平
台等宽、长为L
2
的薄板（将平台左半边完全覆盖），一枚硬币放置在薄板上且到平台左边缘的
距离为L
4
，硬币与薄板间的动摩擦因数μ1=0.4，薄板与平台间的动摩擦因数为μ2=0.2，硬币
与平台间的动摩擦因数μ3=0.152。在平台右侧的水平地面上倾斜固定一个空心的薄壁半球，
半球的半径R =0.28 m，A 、B分别是半球开口的最高点与最低点且A、B连线与水平方向的
夹角θ =37
∘。现对薄板右边缘施加一个水平向右、大小为F =0.1N的外力使薄板水平向右运动。
一段时间后，硬币由平台右边缘飞出，并恰好由B点沿圆弧的切线方向进入半球。已知硬币的
质量为m=10g，薄板的质量为0.5 m，硬币可视为质点，硬币运动过程中与A、B点始终处于
同一竖直面内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，硬币滑下薄板后立即撤走薄板，不计空气阻力，
取重力加速度g=10 m /s
2，sin37
∘=0.6，cos37
∘=0.8。求：
(1)硬币在薄板上滑动时，硬币和薄板各自的加速度大小；
(2)硬币离开平台右边缘时的速度大小；
(3)平台距离地面的高度。
题型四 斜抛运动
1．落点与抛出点在同一水平面上时的飞行时间：t＝.
2．射高：Y＝＝.
3．落点与抛出点在同一水平面上时的射程
X＝v0x·t＝v0cos θ·＝.
4．影响射程的因素
(1)当θ 一定，v0越大，射程越大．
(2)当v0大小一定，θ＝45°时射程最大，当θ>45°时，射程随θ 增大而减小；θ<45°时，射程随θ 减小
而减小．
29. 如图所示，某同学在进行投篮练习，A、B、C 是篮球运动轨迹中的三个点，其中A 为
抛出点，B 为运动轨迹的最高点，C 为篮球落入篮筐的点，且A、B 连线垂直于B、C 连线，
A、B 连线与水平方向的夹角θ =60°。不计空气阻力，则AB 与BC 的竖直高度之比为（ ）
A．9:1
B．4:1
C．3:1
D．2:1
30. 如图甲所示，波光喷泉的水柱从一个水池喷到另一个水池，人们在水柱下穿行不湿衣
服，奇妙无穷。图乙是波光喷泉在空中形成的一根水柱，喷口与水平面的夹角为θ，水离开喷
口的初速度为v0，B为最高点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．水达到最高点B时的速度大小为v0sinθ
B．水在B点的加速度小于C点的加速度
C．水从B点运动到D点所用的时间为v0cosθ
g
D．水平射程AD为v0
2sin2θ
g
31. 如图所示，一半圆槽固定在水平面上，小球从半圆槽的左侧端点斜抛出去，能够垂直
打到弧面上的P 点。已知半圆槽的半径。R =15 m，P 点距圆心O 的水平距离x =9 m，重力加
速度g 取10m/s
2。对于小球从抛出到打到弧面这段过程分析可知（ ）
A．小球的运动时间为3s
B．小球的水平分速度大小为12m/s
C．小球的末速度大小为15m/s
D．小球的轨迹最高点距圆心O 的水平距离也为9m
题型五 类平抛运动
32. 如图所示，光滑斜面长为l，宽为b，顶角为θ，一物块从斜面左上方顶点P 以平行于
底边的初速度水平射入，沿斜面运动，恰好从底端Q 离开斜面，物块可看成质点，则（ ）
A．物块的初速度v0=b ❑√
gsinθ
2l
B．物块的初速度v0=b ❑√
gcosθ
2l
C．物块到达Q 点时的速度vQ=
❑√
4 gl
2cosθ+ gb
2cosθ
2l
D．物块到达Q 点时的速度vQ=
❑√
2gl
2cosθ+ gb
2cosθ
2l
33. 如图所示，A、B 两质点以相同的水平速度v0抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为
P1，B 在光滑斜面上运动，落地点为P2。不计阻力，则P1、P2在x 轴方向上的远近关系是（
）
A．P1较远
B．P2较远
C．P1、P2
等远
D．B 运动的时间t B= ❑√
2h
gsin
2θ
34. 如下图所示，将扁平的石子快速抛向水面，石子遇水后不断地在水面上连续向前多次
跳跃，直至最后落入水中，俗称“打水漂”，假设小明在离水面高度h0=0.8 m处，将一质量
m=20g的小石片以水平初速度v0=10 m /s抛出，玩“打水漂”，小石片在水面上滑行时受到
的水平方向的阻力恒为f =0.5 N，竖直方向分力未知．在水面上弹跳数次后沿水面滑行（水平
方向）的速度减为零后沉入水底。假设小石片每次均接触水面Δt =0.04s后跳起，跳起时竖
直方向的速度与此时沿水面滑行的速度之比为常数k = 2
3
，取重力加速度g=10 m /s
2，不计空
气阻力，求小石片：
（1）第一次与水面接触前水平方向的位移x；
（2）第一次与水面接触过程中在竖直方向上的分加速度ay的大小；
（3）最后一次弹起在空中飞行的时间t。（该问结果保留2 位有效数字）
